第2章一元二次方程 高频易错题型能力达标测评2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》高频易错题型
能力达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．下列配方正确的是（　　）
A．x2+2x+5＝（x+1）2+6
B．x2+3x＝（x+）2﹣
C．3x2+6x+1＝3（x+1）2﹣2
D．x2﹣
2．关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是（　　）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
3．已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（　　）
A．0
B．1
C．﹣1
D．±1
4．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（　　）
A．6.5
B．7
C．6.5或7
D．8
5．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x+k2﹣2k﹣3＝0的常数项等于0，则k的值等于（　　）
A．﹣1
B．3
C．﹣1或3
D．﹣3
6．有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm2，为了有效利用材料，则截去的小正方形的边长是（　　）．
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
7．我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，最终以每平方米12150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是（　　）
A．8%
B．9%
C．10%
D．11%
8．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　）
A．﹣1
B．2
C．22
D．30
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．已知关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　
　．
10．方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且，则m＝　
　．
11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、B分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF，则△CDE面积的最大值为　
　．
12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m值是　
　．
13．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是　
　．
14．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，某△ABC的边长恰好都是这个方程的根，则△ABC的周长为　
　．
15．已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣2）2+n＝0的解是　
　．
16．若实数a，b满足a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0，则＝　
　．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．解下列方程：
（1）（y﹣2）（y﹣3）＝12；
（2）2x2+3x﹣1＝0（请用配方法解）．
18．（1）若x满足（x﹣2018）2+（x﹣2021）2＝31，求（x﹣2018）（x﹣2021）的值．
（2）当m为何值时，代数式m2+4m有最小值，并求出这个最小值．
19．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值．
解：x2+6x﹣1＝x2+2×3 x+32﹣32﹣1
＝（x+3）2﹣10
∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0．
∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．
即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数．
问题：（1）已知y＝x2﹣4x+7，求证y是正数．
知识迁移：（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q均以同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）当Rt△ABC的斜边长c＝，且两直角边a和b恰好是这个方程的两个根时，求Rt△ABC的面积．
21．列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
22．合肥长江180艺术街区进行绿化改造，用一段长40m的篱笆和长15m的墙AB，围成一个矩形的花园，设平行于墙的一边DE的长为xm；
（1）如图1，如果矩形花园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成，当花园面积为150m2时，求x的值；
（2）如图2，如果矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，当花园面积是150m2时，求BF的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：A选项，（x2+2x+1）+4＝（x+1）2+4；故A不符合题意；
B选项，（x2+2×x+（）2）﹣（）2＝（x+）2﹣（）2，故B不符合题意；
C选项，3x2+6x+1＝3（x2+2x+1）﹣2＝3（x+1）2﹣2，故C符合题意；
D选项，x2﹣x+＝[x2﹣2×x+（）2]﹣（）2+＝（x﹣）2+，故D不符合题意；
故选：C．
2．解：m2x2﹣8mx+12＝0，
解法一：△＝（﹣8m）2﹣4m2×12＝16m2，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
解法二：（mx﹣2）（mx﹣6）＝0，
∴x1＝，x2＝，
∵关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，
∴＞0，＞0，
∴m＝1或2或3或6，
则满足条件的m的值的个数是4个，
故选：B．
3．解：把y＝0代入（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0得：
4m2﹣4＝0，即m2﹣1＝0
解得：m1＝1，m2＝﹣1
当m＝1时，关于y的方程由于二次项系数为0不再是一元二次方程，
所以m＝﹣1．
故选：C．
4．解：∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，
∴△＝[﹣（k+3）]2﹣4×k×6＝0，
解得k＝3，
∴一元二次方程为x2﹣6x+6＝0，
∴两腰之和为＝4，
∴△ABC的周长为4+3＝7，
故选：B．
5．解：由题意，得k2﹣2k﹣3＝0＝0且k+1≠0，
所以（k﹣3）（k+1）＝0且k+1≠0，
所以k﹣3＝0．
解得k＝3．
故选：B．
6．解：设截去的小正方形的边长是xcm，由题意得
（28﹣2x）（20﹣2x）＝180，
解得：x1＝5，x2＝19，
∵20﹣2x＞0，
∴x＜10．
∴x2＝19，不符合题意，应舍去．
∴x＝5．
∴截去的小正方形的边长是5cm．
故选：C．
7．解：设平均每次下调的百分率为x
则：15000 （1﹣x） （1﹣x）＝12150
∴（1﹣x）2＝0.81
∴1﹣x＝0.9或1﹣x＝﹣0.9
解得：x＝0.1或x＝1.9
∵x＜1
∴x＝1.9（舍）
∴x＝0.1
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选：C．
8．解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，
∴α+β＝2，α2﹣2α﹣4＝0，
∴α2＝2α+4
∴α3+8β+6＝α α2+8β+6
＝α （2α+4）+8β+6
＝2α2+4α+8β+6
＝2（2α+4）+4α+8β+6
＝8α+8β+14
＝8（α+β）+14＝30，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：∵关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，
则△＝1﹣4m≥0，且m≠0．
解得m≤且m≠0．
故答案为：m≤且m≠0．
10．解：∵方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴△＝m2﹣4×1×（﹣1）≥0，
m2+4＞0，
由题意得：x1 x2＝﹣1；x1+x2＝﹣m，
∵，
∴＝﹣3，
＝﹣3，m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
11．解：设AD＝x，则CE＝AD＝x，CD＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴S△CDE＝＝＝﹣（x2﹣8x+16﹣16）＝﹣（x﹣4）2+8，
∵﹣＜0，
∴当x＝4，即AD＝4时，△CDE面积有最大值是8，
故答案为：8．
12．解：根据题意，得
x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，
∴m2﹣4＝0，
解得，m＝±2；
又∵二次项系数m﹣2≠0，即m≠2，
∴m＝﹣2；
故答案为：﹣2．
13．解：设方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0的公共根为t，
则t2+mt+1＝0①，
t2+t+m＝0②，
①﹣②得（m﹣1）t＝m﹣1，
如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，不符合题意；
如果m≠1，那么t＝1，
把t＝1代入①，得1+m+1＝0，解得m＝﹣2．
故常数m的值为﹣2．
故答案为：﹣2．
14．解：因为2是方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，
所以4﹣4m+3m＝0，
所以m＝4．
当m＝4时，原方程为：x2﹣8m+12＝0，
所以（x﹣2）（x﹣6）＝0，
所以x1＝2，x2＝6．
当△ABC的边长分别是2、2、6时，
由于2+2＜6，构不成三角形；
当△ABC的边长分别是2、6、6时，
能构不成三角形，此时三角形的周长为2+6+6＝14．
当△ABC的边长分别是2、2、2时，
此时三角形的周长为2+2+2＝6．当△ABC的边长分别是6、6、6时，
此时三角形的周长为6+6+6＝18．
故答案为：14或6或18．
15．解：∵关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
∴方程m（x+a﹣2）2+n＝0可变形为m[（x﹣2）+a]2+n＝0，
∵此方程中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，
解得x1＝﹣1或x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
16．解：若a≠b，
∵实数a，b满足a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0，
∴a、b看作方程x2+x﹣1＝0的两个根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣1，
则＝＝＝＝﹣3．
若a＝b，则原式＝2．
故答案为：2或﹣3
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．解：（1）∵（y﹣2）（y﹣3）＝12，
∴y2﹣5y﹣6＝0，
∴（y﹣6）（y+1）＝0，
∴y1＝6，y2＝﹣1．
（2）∵2x2+3x﹣1＝0，
∴2（x2+x）＝1，
2（x2+x+﹣）＝1，
∴2（x+）2﹣＝1，
∴2（x+）2＝，
∴（x+）2＝，
∴x＝．
∴x1＝，x2＝．
18．解：（1）∵（x﹣2018）﹣（x﹣2021）＝3，（x﹣2018）2+（x﹣2021）2＝31．
∴[（x﹣2018）﹣（x﹣2021）]2＝9．
∴（x﹣2018）2+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2018）（x﹣2021）＝9．
∴31﹣2（x﹣2018）（x﹣2021）＝9．
∴（x﹣2018）（x﹣2019）＝11．
（2）m2+4m＝m2+4m+4﹣4
＝（m+2）2﹣4．
∵（m+2）2≥0．
∴（m+2）2﹣4≥﹣4．
∴m2+4m的最小值为﹣4．
19．证明：（1）y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3
＝（x﹣2）2+3．
∵（x﹣2）2≥0．
∴y≥0+3＝3．
∴y＞0．
∴y是正数．
（2）由题意：AP＝2t，CQ＝t，PC＝6﹣2t．（0≤t≤）
∴S＝PC CQ．
＝（6﹣2t） t
＝﹣t2+3t
＝﹣（t2﹣3t）
＝﹣（t﹣）2+．
∵（t﹣）2≥0．
∴当t＝时，S有最大值．
20．解：（1）由题意可知：△＝4﹣4（m﹣1）＞0，
∴m＜2；
（2）由题意可知：a+b＝2，ab＝m﹣1，
由勾股定理可知：a2+b2＝3，
∴（a+b）2﹣2ab＝3，
∴4﹣2（m﹣1）＝3，
∴m＝，
∴ab＝，
∴S＝ab＝
21．解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38﹣9＝29元/千克．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
22．解：（1）由题意得：（40﹣x）x＝150；
解得：x1＝10，x2＝30，
∵30＞15
∴x＝30舍去，
∴x＝10m；
答：x的值为10m；
（2）设BF＝y；则（25﹣2y）（y+15）＝150；
解得y1＝﹣（舍去），y2＝5，
答：BF的长为5m．