(共6张PPT)
习题
3.3
北师版·九年级下册
1.
“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问:径几何 ”转化为现在的数学语言就是:如图，CD为⊙О的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长.
【教材P76
第1题】
知识技能
解：连接OA,设⊙O的半径为r寸，则OE=（r-1）寸.
∵CD为直径，且CD⊥AB,∴
寸.
在Rt△AOE中，
∵OA2=AE2=OE2,∴r2=52+（r-1）2，
解得r=13.
∴CD=26寸.
2.如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值.
【教材P76
第2题】
解：如图所示，过点O作OC⊥AB于点C，
则
.
在Rt△ACO中，
故点O到AB的距离为24mm，∠OAB的余弦值为0.6.
3.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
【教材P77
第3题】
解：AC=BD.理由如下:
如图所示,过点О作OE⊥AB于点E.
∵在大圆中,AE=EB,在小圆中,CE=ED,
∴AE-CE=EB-ED,即AC=BD.
数学理解
4.如图，M为⊙O内一点，利用尺规作一条弦AB，使AB过点M，并且AM=BM.
【教材P77
第4题】
解：如图所示.
作法(1)连接OM.
(2)过点M作OM的垂线,交⊙O于点A,B.线段AB即为所求的弦.(共27张PPT)
北师版·九年级下册
3
垂径定理
新课导入
你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．
它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
37.4m
7.2m
探究新知
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，
垂足为M．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
C
D
A
B
M
O
C
D
A
B
M
O
连接OA，OB，则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA=OB，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直径CD对折时，
点A与点B重合，
CD为⊙O的直径
CD⊥AB
条件
C
D
A
B
M
O
结论
AM
=
BM
C
D
A
B
M
O
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
C
D
A
B
M
O
几何语言
∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AM
=
BM，
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
D
A
B
O
C
D
E
O
C
D
A
B
O
定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦
如图，AB
是⊙O
的弦（不是直径），作一条平分
AB
的直径
CD，交
AB
于点
M
．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
C
D
A
B
M
O
C
D
A
B
M
O
CD为⊙O的直径
条件
CD⊥AB
AM
=
BM
结论
CD⊥AB
理由是：连接OA，OB，则OA=OB.
在△OAM和△OBM中，
∵
OA=OB，AM=BM.
∴
△OAM≌△OBM.
∴
∠AMO=∠BMO.
∴
CD⊥AB
∵
⊙O关于直径CD对称，
C
D
A
B
M
O
∴
当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，
C
D
A
B
M
O
平分弦
的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
（不是直径）
垂径定理的逆定理
C
D
A
B
M
O
几何语言
∵CD为⊙O的直径，
AM
=
BM，
∴
CD⊥AB，
C
D
A
B
M
O
还有如下正确结论：
CD为直径
CD⊥AB于M
AM
=
BM
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；
（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
例
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中
，点
O
是
所在圆的圆心），其中
CD
=
600m，E
为
上一点，且
OE
丄
CD，垂足为
F，EF
=
90m.
求这段弯路的半径.
O
E
D
C
F
O
E
D
C
F
解：连接
OC
.
设弯路的半径为
R
m，则
OF
=（R
–
90）m
.
∵
OE⊥CD
，
∴
在Rt△OCF
中，根据勾股定理，
得
OC2
=
CF2
+
OF2，即R2
=
3002
+（R
–
90）2.
解这个方程，得
R
=
545.
所以，这段弯路的半径为
545
m.
随堂练习
1.
如图，AB
是⊙O
的直径，弦
CD⊥AB，垂足为
M，下列结论不一定成立的是（
）
A.
CM
=
DM
B.
C.
∠ACD
=∠ADC
D.
OM
=
MD
D
2.如图，AB
是
⊙O
的弦，OC⊥AB
于
C
.若
AB
=
，OC
=
1，则半径
OB
的长为______.
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
勾股定理
1
2
3.
赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
再逛赵州石拱桥
解：如图，
OD
=
OC
–
DC
=
R
–
7.2
.
在
Rt△AOD
中，由勾股定理，得
OA2
=
AD2
+
OD2
，
即
R2
=
18.72
+（R
–
7.2）2
解得
R
≈
27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
AB
=
37.4，
CD
=
7.2
4.如图所示，OC
交
AB
于点
D，AD
=
DB，AB
=
6cm，CD
=
1cm，求⊙O
的半径长.
解：设圆的半径为
R，则OB
=
OC
=
R，
∵
AD
=
DB，
∴
OC⊥AB，
根据勾股定理，得32+（R
–
1）2
=
R2，
解得
R
=
5
cm.
即⊙O
的半径长为
5
cm.
5.
如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
圆心在平行弦外
圆心在其中一条弦上
圆心在平行弦内
若⊙O中弦AB∥CD.那么
吗？为什么？
M
N
解：
理由是：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则
，
（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）.
课堂小结
C
D
A
B
M
O
课后作业
习题3.3
1、2、3、4
