(共5张PPT)
习题
3.4
北师版·九年级下册
1.如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC,∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？
【教材P80
第1题】
知识技能
解：∠ACB=2∠ABC.理由如下：
2.如图，A,B,C,D是⊙O上的四点，且∠C=100°，求∠BOD和∠A的度数.
【教材P81
第2题】
解：如图所示，∵∠C=100°
∴
所对的圆心角α=2∠C=200°.
∴∠BOD=360°-200°=160°.
又∵
，
∴
3.为什么有些电影院的座位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性.
【教材P81
第3题】
解：尽量保证同排的人视角相同
数学理解
4.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”．当船Р位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角∠α与“危险角”有怎样的大小关系
【教材P69
第4题】
问题解决
解：当船P位于安全区域时，船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.
○○
B
D
B
⑤
(第4题)(共5张PPT)
习题
3.5
北师版·九年级下册
【教材P83
第1题】
知识技能
1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和∠C的度数.
解：在⊙O中，∵∠BOD=80°，
∴
（圆周角定理）.
又∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠A=180°-40°=140°.
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数.
【教材P84
第2题】
解：如图所示，连接BD.
∵∠ACD=∠ABD,∠ACD=15°
∴∠ABD=15°.
又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.
在Rt△ADB中，
∠BAD=90°-∠ABD=90°-15°=75°.
3.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A的度数.
【教材P84
第3题】
解：如图所示，∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC=∠ABC=180°，∠1=∠2=∠A，
∴∠EDC+∠CBF=180°-∠ADC+180°-∠ABC
=360°-180°=180°
∴∠E+∠1+∠2+∠F=180°，
∴2∠A+∠E+∠F=180°.
又∵∠E=40°，∠F=60°，∴2∠A=80°,∠A=40°.
4.如图，⊙O1与⊙O2都经过A,B两点，且点O2在⊙O1上.点C是
上的一点（点C不与A，B重合)，AC的延长线交⊙O2于点P，连接
AB，BC，BP.
(1)根据题意将图形补充完整;
(2）当点C在
上运动时，
图中大小不变的角有哪些
（将符合要求的角都写出来）
【教材P84
第4题】
数学理解
解:(1)由题意可画图.
(2)大小不变的角有∠APB,
∠
ACB,
∠
BCP,
∠
CBP共四个.(共24张PPT)
北师版·九年级下册
4
圆周角和圆心角的关系
第1课时
圆周角定理及其推论1
1.圆心角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角.
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系
如图：∠AOB 弧AB的度数
＝
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条___、两条___中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
复习导入
弧
弦
探究新知
顶点在圆心
圆心角
角顶点发生变化时,我们得到几种情况
点A在圆内
点A在圆上
点A在圆外
圆周角
圆周角定义:
顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
指出图中的圆心角和圆周角.
A
B
O
C
圆心角：
∠AOB
、∠AOC
、∠BOC
圆周角：
∠BAC
、∠ABC
、∠ACB
在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置
B
对球门
AC
的张角（∠ABC）有关.
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
当球员在
B，D，E
处射门时，他所处的位置对球门
AC
分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC
.
这三个角的大小有什么关系？
做一做
如图，∠AOB
=
80°.
（1）请你画出几个
所
对的圆周角，这几个圆周角有
什么关系？与同伴进行交流.
提示：思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系
C
圆心O在∠C一条边上
C
圆心O在∠C的内部
C
圆心O在∠C的外部
C
圆心O在∠C一条边上
C
圆心O在∠C的内部
C
圆心O在∠C的外部
改变圆心角∠AOB的度数，上述结论还成立吗？
议一议
C
圆心O在∠C一条边上
C
圆心O在∠C的内部
C
圆心O在∠C的外部
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
先证明哪一种情况？
C
已知：如图，∠C
是
所对的圆周角，∠AOB
是
所对的圆心角.
求证：
证明：（1）圆心
O
在∠C
的一条边上，如图.
∵
∠AOB
是△AOC
的外角，
∴
∠AOB
=
∠A
+∠C.
∵
OA
=
OC，
∴
∠A
=∠C.
∴
∠AOB
=
2∠C，
C
C
你能完成另两种情况的证明吗？
C
已知：如图，∠C
是
所对的圆周角，∠AOB
是
所对的圆心角.
求证：
提示：能否转化为前一种已证明的情况
D
过点C作直径CD.由已证可得:
C
已知：如图，∠C
是
所对的圆周角，∠AOB
是
所对的圆心角.
求证：
提示：能否也转化为第一种已证明的情况
D
过点C作直径CD.由已证可得:
想一想
在上面的射门游戏中，当球员在
B，D，E
处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC
的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
●
O
所以
∠ABC
=
∠ADC
=
∠AEC
.
根据圆周角定理，
●
O
推论
同弧或等弧所对的圆周角相等.
随堂练习
1.
如图，已知
BD
是⊙O
的直径，点
A、C
在
⊙O
上，
，∠AOB
=
60°，则∠BDC
的度数是（
）
A.
20°
B.
25°
C.
30°
D.
40°
C
60°
2.
如图，已知
A，B，C
在⊙O
上，
为优弧，下列选项中与∠AOB
相等的是（
）
A.
2∠C
B.
4∠B
C.
4∠A
D.
∠B+∠C
A
3.
如图，OA，OB，OC
都是⊙O的半径，∠AOB
=
2∠BOC，∠ACB
与∠BAC
的大小有什么关系？为什么？
A
C
B
O
解：∠ACB
=
2∠BAC
，
而∠AOB
=
2∠BOC，
∴
∠ACB
=
2∠BAC
.
4.
如图，在⊙O中，∠O=50°，求∠A的度数.
解：∵∠A和∠O所对的弧都是
，
∴∠A=
.
5.
如图，哪个角与∠BAC相等？你还能找到哪些相等的角？
解：∠BDC=∠BAC，还能找到∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ACB，∠DAC=∠DBC.
课堂小结
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
推论
同弧或等弧所对的圆周角相等.
课后作业
习题3.4
1、2、3、4(共21张PPT)
北师版·九年级下册
第2课时
圆周角定理的推论2，3
复习导入
求图中角x的度数
·
A
O
B
70°
x
x
=_____
C
·
O
A
B
C
D
120°
x
x
=_____
35°
120°
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
复习导入
求图中角x的度数
复习导入
求图中角x的度数
·
A
O
B
60°
x
x
=_____
C
·
O
A
B
C
D
20°
x
x
=_____
D
60°
E
F
30°
50°
复习导入
求图中角x的度数
推论
同弧或等弧所对的圆周角相等.
探究新知
如图，BC
是⊙O
的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？
·
O
A
B
C
解：直径BC所对的圆周角∠BAC＝90°.
证明：∵BC为直径，
∴∠BOC＝180°，
∴
探究新知
如图，圆周角∠A
=
90°，弦
BC
是直径吗？为什么？
·
O
A
B
C
解：弦BC是直径.
连接OC、OB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BOC
＝
2∠BAC
＝
180°.
∴B、O、C三点在同一直线上.
∴BC是⊙O的一条直径.
注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线.
推论
直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
∵BC为直径，
∴∠BAC
=
90°.
几何语句：
∵∠BAC
=
90°，
∴
BC为直径
.
几何语句：
议一议
（1）如图，A，B，C，D
是
⊙O
上的四点，AC
为⊙O
的直径，∠BAD
与
∠BCD
之间有什么关系？为什么？
·
O
D
B
C
A
解：∠BAD与∠BCD互补
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
议一议
（2）如图，点C
的位置发生了变化，∠BAD
与
∠BCD
之间关系还成立吗？为什么？
·
O
D
B
C
A
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立
连接OB，OD，
则
∵∠1+∠2=360°,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
1
2
·
O
D
B
C
A
·
O
D
B
C
A
这两个四边形ABCD有什么共同的特点？
·
O
D
B
C
A
·
O
D
B
C
A
四边形
ABCD
的四个顶点都在⊙O
上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
·
O
D
B
C
A
·
O
D
B
C
A
我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
·
O
D
B
C
A
·
O
D
B
C
A
推论
圆内接四边形的对角互补.
·
O
D
B
C
A
·
O
D
B
C
A
几何语句：
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD
=180°（圆内接四边形的对角互补）.
想一想
如图，∠DCE
是圆内接四边形
ABCD
的一个外角，∠A
与∠DCE
的大小有什么关系？
·
O
D
B
C
A
E
解：∠A
=∠CDE
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD
=
180°.
∵∠BCD+∠DCE
=
180°，
∴∠A
=∠DCE.
随堂练习
1.
小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？
（1）
（2）
（3）
（4）
2.
如图，⊙O的直径AB
=10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长.
·
O
B
C
A
解：∵AB为直径，
∴∠BCA
=
90°.
在Rt△ABC中，
∠ABC=30°，AB=10，
∴
.
3.
在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度数之比为4∶5，求∠C的度数.
·
O
D
B
C
A
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C
=
180°.
∵∠A∶∠C
=
4∶5，
∴
.
即∠C的度数为100°.
课堂小结
推论
直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
推论
圆内接四边形的对角互补.
课后作业
习题3.5
1、2、3、4
