3．向心加速度
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"基础认知·自主学习.TIF"
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"基础认知·自主学习.TIF"
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一、匀速圆周运动的加速度方向
1．定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。
2．方向：总沿半径指向圆心，并且与线速度方向垂直。
二、匀速圆周运动的加速度大小
1．基本公式：an＝或an＝ω2r。
2．拓展公式an＝·r或
an＝ωv。
二、匀速圆周运动的加速度大小
1．基本公式：an＝或an＝________________。
2．拓展公式an＝·r或
an＝ωv。
桌面上一个小球在细线的牵引下，绕桌面上的图钉做圆周运动，小球的速率越来越小。小球的加速度是否还指向圆心。
提示：做变速圆周运动的物体，由于线速度大小会发生变化，所以除向心加速度外还应存在切线方向上的切向加速度，所以总加速度的方向并不指向圆心。
①向心加速度的方向始终指向圆心。
②做匀速圆周运动的物体，其向心加速度恒定。
③物体做匀速圆周运动时，相等时间内的速度变化量不同。
④根据an＝可知加速度与半径成反比。
⑤根据an＝ω2r可知加速度与半径成正比。
你的判断：正确的结论有①③。
如图，甲、乙两车在水平地面上匀速过圆弧形弯道(从1位置至2位置)。
思考：若两车速率相等，则甲、乙两辆车向心加速度大小关系如何？
提示：甲车向心加速度大于乙车向心加速度。
一、匀速圆周运动的向心加速度方向
(物理观念——运动观念)
如图为赛车运动员做匀速圆周运动，运动员的加速度和向心加速度相等吗？
提示：相等。
1．匀速圆周运动中的“变”与“不变”：
(1)“不变”量：匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变；线速度、加速度这两个矢量的大小不变。
(2)“变化”量：匀速圆周运动的线速度、加速度这两个矢量的方向时刻改变，故它们在时刻改变。
2．方向特点：
(1)指向圆心：无论匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心，或者说与线速度的方向垂直。
(2)时刻改变：无论向心加速度的大小是否变化，向心加速度的方向随线速度方向的改变而改变。所以一切圆周运动都是变加速曲线运动。
3．物理意义：向心加速度描述圆周运动中线速度改变的快慢，只能表示速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。
【典例】(多选)如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在水平面内做圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
【解析】选B、D。若小球做匀速圆周运动，则合外力提供向心力，加速度指向圆心，故B项正确；若小球做变速圆周运动，运动到图示的P点时，所受的合力可分解为向心力和切向方向的力，即P点的加速度应可分解为沿PO方向的向心加速度和垂直于PO的切向加速度，故D项正确。
1．一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度大小逐渐减小。下列关于汽车转弯时的加速度方向，可能正确的是( )
【解析】选C。汽车从M点运动到N，做曲线运动，必有力提供向心力，向心力是指向圆心的；汽车同时减速，所以沿切向方向有与速度相反的合力；向心力和切线合力与速度的方向的夹角要大于90°，加速度方向与合力方向同向，所以选项A、B、D错误，选项C正确。
2.如图，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
【解析】选D。由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误。
二、向心加速度的大小(科学思维——科学推理)
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"情境探究.TIF"
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"情境探究.TIF"
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科幻电影《星际穿越》中描述了空间站中模拟地球上重力的装置。这个模型可以简化为如图所示的环形实验装置，外侧壁相当于“地板”。让环形实验装置绕O点旋转，能使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”。
问题：(1)该装置旋转角速度应为多少(地球表面重力加速度为g，装置的外半径为R)？
(2)不同质量的人受力相同吗？感受相同吗？
提示：
(1)为使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”，则物体的向心加速度应等于g，根据g＝ω2R可得ω＝。
(2)不同质量的人受力不相同，感受相同。
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"能力形成.TIF"
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1．表达式：an＝＝ω2r＝r＝ωv。
2．公式推导：
方法1：
已知向心力表达式：Fn＝m，Fn＝mω2r。
(1)根据牛顿第二定律Fn＝man得到向心加速度的基本表达式：
an＝，an＝ω2r；
(2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以写成an＝ωv；
(3)由于ω＝＝2πf，所以向心加速度也可以写成an＝r＝4π2f2r
方法2：
(1)物理量：设质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，在某时刻t位于A点，速度为vA，经过很短的时间Δt后运动到B点，速度为vB，把速度矢量vA和vB的始端移至一点，求出速度矢量的改变量Δv＝vB－vA，如图甲、乙所示。
(2)推导过程：图乙中的矢量三角形与图甲中的△OAB是相似三角形，用v表示vA和vB的大小，用Δl表示弦AB的长度，则有：＝，故Δv＝v。所以加速度an＝＝v。
而当Δt趋近于零时，表示线速度的大小v，于是得到an＝。再由v＝rω得an＝ω2r。
3．向心加速度与半径的关系：
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"案例示范.TIF"
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"案例示范.TIF"
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【典例】如图，定滑轮的半径r＝2
cm。绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a＝2
m/s2向下做匀加速运动。在重物由静止下落1
m的瞬间，滑轮边缘上P点向心加速度多大？
【解析】由v2＝2ah得重物下落1
m的速度v＝
m/s＝2
m/s，
P点线速度vP＝v＝2
m/s，
由a＝得a＝＝
m/s2＝200
m/s2。
答案：200
m/s2
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"规律方法.TIF"
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"规律方法.TIF"
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向心加速度公式的应用技巧
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"对点训练.TIF"
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"对点训练.TIF"
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1.(2021·全国甲卷)“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50
r/s，此时纽扣上距离中心1
cm处的点向心加速度大小约为( )
A．10
m/s2
B．100
m/s2
C．1
000
m/s2
D．10
000
m/s2
【解析】选C。纽扣转动的角速度为ω＝2πn＝100π，由向心加速度公式可知a＝ω2r＝(100π)2r，由π2≈10可得a≈1
000
m/s2，故选项C正确，A、B、D错误。
2.(多选)如图，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑。向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列比例关系正确的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【解析】选B、D。由于皮带不打滑，vA＝vB，a＝，故＝＝，A错误，B正确；由于右边两轮共轴转动，ωB＝ωC，a＝rω2，＝＝，C错误，D正确。
【拔高题组】
1．(多选)甲、乙两球做匀速圆周运动，向心加速度a随半径r的变化关系如图所示，由图像可知( )
A.甲球运动时，角速度大小恒为2
rad/s
B．甲球运动时，线速度大小恒为16
m/s
C．乙球运动时，角速度大小恒为2
rad/s
D．乙球运动时，线速度大小恒为16
m/s
【解析】选A、C。甲图线反映角速度不变，由a＝ω2r可知，甲球运动时，角速度大小恒为ω＝＝
rad/s＝2
rad/s，线速度大小v＝ωr＝2×2
m/s＝4
m/s，故A正确，B错误；乙图线反映线速度不变，由a＝可知，乙球运动时，线速度大小v＝＝
m/s＝4
m/s，角速度大小恒为ω＝＝
rad/s＝2
rad/s，故C正确，D错误。
2．如图所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小。
【解析】设乙下落到A点所用时间为t，则对乙，满足R＝gt2，得t＝，这段时间内甲运动了T，即T＝①
又由于a＝ω2R＝R②
由①②得，a＝π2g
答案：π2g
【拓展例题】考查内容：生活中的传动装置
【典例】如图甲所示，修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为图乙所示。则齿轮边缘上A、B两点具有相同的( )
A．线速度的大小
B．周期
C．向心加速度的大小
D．角速度
【解析】选A。修正带的传动属于齿轮传动，A与B的线速度大小相等；二者的半径不同，由v＝ωr可知A与B的角速度不相等，故A项正确，D项错误；二者角速度不相等，根据T＝可知，二者的周期不相等，故B项错误；由向心加速度公式an＝，A的半径大于B的半径可知，A的向心加速度小于B的向心加速度，故C项错误。
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"拓展阅读.TIF"
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天宫二号
天宫二号为中国载人航天工程发射的第二个目标飞行器，是中国首个具备补加功能的载人航天科学实验空间实验室。
天宫二号于2016年9月15日在酒泉卫星发射中心发射升空；于2019年7月16日终止数据服务；于2019年7月19日受控离轨并再入大气层，落入南太平洋预定安全海域。
天宫二号是空间实验室阶段任务的主要飞行器之一，先后与神舟十一号、天舟一号进行对接，承担着验证空间站相关技术的重要使命，是中国第一个真正意义上的太空实验室。
假设天空二号绕地球做匀速圆周运动，天空二号的速度是否变化，加速度是否变化？
提示：天空二号速度变化，加速度也变化。
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"学情诊断·课堂测评.TIF"
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"学情诊断·课堂测评.TIF"
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1．(水平1)物体做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是( )
A．根据a＝，向心加速度的大小一定跟圆周运动的半径成反比
B．根据a＝ω2r，向心加速度的大小一定跟圆周运动的半径成正比
C．根据ω＝，角速度一定跟圆周运动的半径成反比
D．根据ω＝2πn，角速度一定跟转速成正比
【解析】选D。因在半径变化时，线速度也在变化，故不能说向心加速度与圆周运动的半径成反比，A错误；因在半径变化时，角速度也在变化，故不能说a与半径成正比，B错误；因在半径变化时，线速度也在变化，故不能说角速度与半径成反比，C错误；根据ω＝2πn，因公式中2π为定值，只有两个变量，故可以明确角速度一定跟转速成正比，D正确。
2．(水平1)如图所示，当风扇匀速转动时，到转轴距离相同的a、b两点( )
A.
线速度相同
B.
角速度相同
C.
转动周期不同
D.
向心加速度大小不同
【解析】选B。a、b两点随风扇转动，属于同轴转动，其角速度、周期均相同，B正确，C错误；线速度是矢量，两点的运动方向不同，所以线速度不同，A错误；根据a＝ω2r可知，a、b两点的向心加速度大小相同，D错误。
3.(水平2)在空间站中，宇航员长期处于失重状态。为缓解这种状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图所示。圆环绕中心匀速旋转，宇航员站在旋转舱内的侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。已知地球表面的重力加速度为g，圆环的半径为r，宇航员可视为质点。以下说法正确的是( )
A．宇航员处于平衡状态
B．宇航员的向心加速度大小应为g
C．旋转舱绕其轴线转动的角速度大小应为
D．旋转舱绕其轴线转动的线速度大小应为
【解析】选B。旋转舱中的宇航员做匀速圆周运动，圆环绕中心匀速旋转使宇航员感受到与地球一样的“重力”是向心力所致，向心加速度大小应为g，合力指向圆心，处于非平衡状态；根据g＝ω2r＝，解得ω＝、v＝，故选项B正确，A、C、D错误。
4．(水平2)A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，如图所示，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比3∶2，试求它们的：
(1)线速度大小之比；
(2)圆周运动的半径之比；
(3)向心加速度大小之比。
【解析】(1)根据线速度v＝，A、B通过的路程之比为4∶3，时间相等，则线速度之比为4∶3。
(2)根据角速度ω＝，运动方向改变的角度等于圆周运动转过的角度，A、B转过的角度之比为3∶2，时间相等，则角速度大小之比为3∶2。根据v＝rω得，圆周运动的半径r＝，线速度之比为4∶3，角速度之比为3∶2，则圆周运动的半径之比为8∶9。
(3)线速度之比为4∶3，角速度之比为3∶2，则根据a＝vω得，向心加速度之比为2∶1。
答案：(1)4∶3 (2)8∶9 (3)2∶1
【补偿训练】一个圆柱形物块放在一个转盘上，并随着转盘一起绕O点匀速转动，通过频闪照相技术对其研究，从转盘的正上方拍照，得到的频闪照片如图所示。已知频闪仪的闪光频率为30
Hz，转动半径为2
m，求：
(1)转盘转动的角速度。
(2)圆柱形物块的向心加速度。
【解析】(1)闪光频率为30
Hz，就是说每隔
s闪光一次，由频闪照片可知，转一周要用6个时间间隔T＝
s，所以转盘转动的角速度为ω＝＝10π
rad/s。
(2)圆柱形物块的向心加速度为
a＝ω2r＝200π2
m/s2。
答案：(1)10π
rad/s (2)200π2
m/s2
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-3．向心加速度
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一、匀速圆周运动的加速度方向
1．定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向
，我们把它叫作向心加速度。
2．方向：总沿半径指向
，并且与线速度方向
。
二、匀速圆周运动的加速度大小
1．基本公式：an＝或an＝
。
2．拓展公式an＝·r或
an＝ωv。
二、匀速圆周运动的加速度大小
1．基本公式：an＝或an＝________________。
2．拓展公式an＝·r或
an＝ωv。
桌面上一个小球在细线的牵引下，绕桌面上的图钉做圆周运动，小球的速率越来越小。小球的加速度是否还指向圆心。
①向心加速度的方向始终指向圆心。
②做匀速圆周运动的物体，其向心加速度恒定。
③物体做匀速圆周运动时，相等时间内的速度变化量不同。
④根据an＝可知加速度与半径成反比。
⑤根据an＝ω2r可知加速度与半径成正比。
你的判断：正确的结论有
。
如图，甲、乙两车在水平地面上匀速过圆弧形弯道(从1位置至2位置)。
思考：若两车速率相等，则甲、乙两辆车向心加速度大小关系如何？
一、匀速圆周运动的向心加速度方向
(物理观念——运动观念)
如图为赛车运动员做匀速圆周运动，运动员的加速度和向心加速度相等吗？
1．匀速圆周运动中的“变”与“不变”：
(1)“不变”量：匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变；线速度、加速度这两个矢量的大小不变。
(2)“变化”量：匀速圆周运动的线速度、加速度这两个矢量的方向时刻改变，故它们在时刻改变。
2．方向特点：
(1)指向圆心：无论匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心，或者说与线速度的方向垂直。
(2)时刻改变：无论向心加速度的大小是否变化，向心加速度的方向随线速度方向的改变而改变。所以一切圆周运动都是变加速曲线运动。
3．物理意义：向心加速度描述圆周运动中线速度改变的快慢，只能表示速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。
【典例】(多选)如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在水平面内做圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
1．一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度大小逐渐减小。下列关于汽车转弯时的加速度方向，可能正确的是( )
2.如图，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
二、向心加速度的大小(科学思维——科学推理)
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科幻电影《星际穿越》中描述了空间站中模拟地球上重力的装置。这个模型可以简化为如图所示的环形实验装置，外侧壁相当于“地板”。让环形实验装置绕O点旋转，能使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”。
问题：(1)该装置旋转角速度应为多少(地球表面重力加速度为g，装置的外半径为R)？
(2)不同质量的人受力相同吗？感受相同吗？
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1．表达式：an＝＝ω2r＝r＝ωv。
2．公式推导：
方法1：
已知向心力表达式：Fn＝m，Fn＝mω2r。
(1)根据牛顿第二定律Fn＝man得到向心加速度的基本表达式：
an＝，an＝ω2r；
(2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以写成an＝ωv；
(3)由于ω＝＝2πf，所以向心加速度也可以写成an＝r＝4π2f2r
方法2：
(1)物理量：设质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，在某时刻t位于A点，速度为vA，经过很短的时间Δt后运动到B点，速度为vB，把速度矢量vA和vB的始端移至一点，求出速度矢量的改变量Δv＝vB－vA，如图甲、乙所示。
(2)推导过程：图乙中的矢量三角形与图甲中的△OAB是相似三角形，用v表示vA和vB的大小，用Δl表示弦AB的长度，则有：＝，故Δv＝v。所以加速度an＝＝v。
而当Δt趋近于零时，表示线速度的大小v，于是得到an＝。再由v＝rω得an＝ω2r。
3．向心加速度与半径的关系：
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【典例】如图，定滑轮的半径r＝2
cm。绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a＝2
m/s2向下做匀加速运动。在重物由静止下落1
m的瞬间，滑轮边缘上P点向心加速度多大？
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向心加速度公式的应用技巧
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1.(2021·全国甲卷)“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50
r/s，此时纽扣上距离中心1
cm处的点向心加速度大小约为( )
A．10
m/s2
B．100
m/s2
C．1
000
m/s2
D．10
000
m/s2
2.(多选)如图，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑。向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列比例关系正确的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【拔高题组】
1．(多选)甲、乙两球做匀速圆周运动，向心加速度a随半径r的变化关系如图所示，由图像可知( )
A.甲球运动时，角速度大小恒为2
rad/s
B．甲球运动时，线速度大小恒为16
m/s
C．乙球运动时，角速度大小恒为2
rad/s
D．乙球运动时，线速度大小恒为16
m/s
2．如图所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小。
【拓展例题】考查内容：生活中的传动装置
【典例】如图甲所示，修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为图乙所示。则齿轮边缘上A、B两点具有相同的( )
A．线速度的大小
B．周期
C．向心加速度的大小
D．角速度
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天宫二号
天宫二号为中国载人航天工程发射的第二个目标飞行器，是中国首个具备补加功能的载人航天科学实验空间实验室。
天宫二号于2016年9月15日在酒泉卫星发射中心发射升空；于2019年7月16日终止数据服务；于2019年7月19日受控离轨并再入大气层，落入南太平洋预定安全海域。
天宫二号是空间实验室阶段任务的主要飞行器之一，先后与神舟十一号、天舟一号进行对接，承担着验证空间站相关技术的重要使命，是中国第一个真正意义上的太空实验室。
假设天空二号绕地球做匀速圆周运动，天空二号的速度是否变化，加速度是否变化？
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1．(水平1)物体做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是( )
A．根据a＝，向心加速度的大小一定跟圆周运动的半径成反比
B．根据a＝ω2r，向心加速度的大小一定跟圆周运动的半径成正比
C．根据ω＝，角速度一定跟圆周运动的半径成反比
D．根据ω＝2πn，角速度一定跟转速成正比
2．(水平1)如图所示，当风扇匀速转动时，到转轴距离相同的a、b两点( )
A.
线速度相同
B.
角速度相同
C.
转动周期不同
D.
向心加速度大小不同
3.(水平2)在空间站中，宇航员长期处于失重状态。为缓解这种状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图所示。圆环绕中心匀速旋转，宇航员站在旋转舱内的侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。已知地球表面的重力加速度为g，圆环的半径为r，宇航员可视为质点。以下说法正确的是( )
A．宇航员处于平衡状态
B．宇航员的向心加速度大小应为g
C．旋转舱绕其轴线转动的角速度大小应为
D．旋转舱绕其轴线转动的线速度大小应为
4．(水平2)A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，如图所示，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比3∶2，试求它们的：
(1)线速度大小之比；
(2)圆周运动的半径之比；
(3)向心加速度大小之比。
【补偿训练】一个圆柱形物块放在一个转盘上，并随着转盘一起绕O点匀速转动，通过频闪照相技术对其研究，从转盘的正上方拍照，得到的频闪照片如图所示。已知频闪仪的闪光频率为30
Hz，转动半径为2
m，求：
(1)转盘转动的角速度。
(2)圆柱形物块的向心加速度。
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