2021—2022学年上学期第一次月考数学试卷(理科)
答案解析部分
一、单选题
1、【答案】
C
2、【答案】
B
3、【答案】
B
4、【答案】
B
5、【答案】
C
6、【答案】
C
7、【答案】
D
8、【答案】B
9、【答案】
B
10、【答案】D
11、【答案】
C
12、【答案】D
二、解答题
13、16
14、
15、
16、①③
三、解答题
17、【解析】（1）.(4分)
（2）设球的半径为,则,
（7分）
从而.（10分）
18、【解析】（1）因为由正弦定理，（2分）
又，所以
即（4分）因为所以即，
因为所以.（6分）
（2）由（1）可知﹐所以，
由余弦定理可得.（8分）
因为所以
解得，（10分）
故的面积为.（12分）
19、【解析】（1）设AC与BD交于点O，连接OE，
∵底面ABCD是菱形，∴O为DB中点，
又因为E是DD1的中点，∴OE∥D1B，（3分）
∵（6分）
（2）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵DD1⊥底面ABCD，
∴DD1⊥AC，（8分）且DB∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDB1D1.，（10分）
∵BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1
。（12分）
20、【解析】（1）当时，，解得，（1分）
当时，，，
，从而，（2分）
是以为首项，以为公比的等比数列，
；（3分）
，（4分）
设等差数列的公差为，由得
，解得，（5分）
.（6分）
（2），（7分）
①
（8分）
①两边同时乘以得
②
（9分）
①②得
（11分）
.
（12分）
21、【解析】（1）取AC中点O，连结OD，SO，
∵SA＝SC，∴SO⊥AC，（1分）
∵AD＝CD，∴OD⊥AC，
（2分）
又∵OS 平面SOD，OD 平面SOD，OS∩OD＝O，
∴AC⊥平面SOD，（3分）
∵SD 平面SOD，∴AC⊥SD．（4分）
（2）∵SA＝SC＝2，∠ASC＝60°，∴△ASC是等边三角形，
∴AC＝2，OS＝
，
（6分）
∵AD＝CD＝
，∴AD2+CD2＝AC2
，
∴∠ADC＝90°，
OD＝
＝1．（8分）
∵SD＝2，∴SO2+OD2＝SD2
，
∴SO⊥OD，
又∵SO⊥AC，AC 平面ABCD，OD 平面ABCD，AC∩OD＝O，
∴SO⊥平面ABCD，（10分）
∴V棱锥B﹣SAD＝V棱锥S﹣ABD＝
S△ABD SO＝
．（12分）
22、【解析】（1）证明：如图，连接
，记
，连接PO，
由题意可得四边形ABCD是正方形，
，
则O为AC的中点，且
，（1分）
因为
，所以
，（2分）
因为
平面
，
面
，且
，
所以
平面
，（3分）
因为
，所以
，（4分）
则
平面PAC；（5分）
（2）解：存在点
满足
时，
平面
．
（6分）
当点
满足
时，
，
连接ME，MF，记
，连接MN，取PC的中点Q，连接OQ，
因为Q为PC的中点，所以
，所以
，（7分）
由（1）可知
，所以
，所以
，（8分）
所以
，（9分）
因为O，Q分別是AC，PC的中点，所以
，（10分）
，（11分）
又平面，平面，
∴
平面
．（12分）吉安市四校2021-2022学年上学期第一次月考高二数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中。只有一个是符合题目要求的.）
1、截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是（
）
A
.
圆柱
B.
圆锥
C.
球
D.
圆台
2、，为空间中两条不重合直线，为空间中一平面，下列说法正确的是（）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
3、在三棱锥
中，
平面，垂足为，且，则点一定是的（
）
A.
内心
B.
外心
C.
重心
D.
垂心
4、在中，角,,所对的边分别为,,，且，则角的大小是（
）
A.
B.
C.
D.
5、数列中，，，且
，则为（
）
A.
2 B.
1
C.
D.
6、
一个体积为的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面）的三视图如图所示，则侧视图的面积为（
）
A.
B.
8
C.
D.
12
7、在平面四边形中，，，将该四边形沿着对角线折叠，得到空间四边形，则异面直线，所成的角是（
）
A．
B．
C．
D．
8、若不等式在上有解，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9、现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为2，将它重新制作成一个体积与高不变的圆锥，则该圆锥的侧面积为（
）
A.
B.
C.
D.
10、沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10分钟.那么经过5分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的）（
）
A.
B.
C.
D.
11、已知正三棱锥的侧棱长为3，，分别为，的中点，，则为（
）
A.
3 B.
C.
D.
12、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，,分别是，的中点，，则球的体积为（
）
A
.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分.）
13、若正数，满足，则的最小值为______.
14、下左图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为______.
14题
15题
15、如上右正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，,分别为,上的动点，则截面周长的最小值______.
16、已知四棱锥的底面是矩形，⊥底面,点,分别是棱,的中点，则
①棱与所在的直线垂直；②平面与平面垂直；
③的面积大于的面积；④直线与直线是异面直线；
以上结论正确的是______.（写出所有正确结论的编号）
三、解答题（本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（10分）如图，在长方体中，．
（1）若该长方体被过顶点，，的平面截去一个三棱锥，求剩余部分的体积；
（2）若该长方体的所有顶点都在球的球面上，求球的体积.
18、（12分）在中角的对边分别为，已知，，且.
（1）求角；
（2）求的面积.
19、（12分）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点.
（1）求证：∥平面；
（2）求证：⊥.
20、（12分）已知数列是等差数列，其前项和为，数列的前项和为，
且，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
21、（12分）如图所示，在底面为梯形的四棱锥中，已知，，
，.
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．
22、（12分）如图，在正四棱锥中，点E
、F分别在棱
、上，且
．
（1）证明：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得//平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
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