苏科版数学八年级上册 3.2 勾股定理的逆定理课件（18张PPT）

3.2 勾股定理的逆定理
B
C
A
问题1 勾股定理的内容是什么?
直角三角形的直角边的平方和等于斜边的平方，如图，Rt△ABC三边关系有a2+b2=c2.
b
c
a
问题2 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝7，b＝24；
③ a＝5，b＝12.
c=5
c=25
c=13
思考 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
复习引入



（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
古埃及人的方法：
把一根绳子打13个等距的结,分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
你能明白其中的道理吗？
5段
4段
3段
情境引入
用量角器量一量，它们是什么三角形？
有两组数分别是两个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②8,15,17;
分别以每组数为三边长作出三角形，
经测量，都是直角三角形
新课讲解
问题1 这两组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
a2+b2=c2
①5,12,13; ②8,15,17 。
② 8,15,17满足82+152=172。
问题2 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
问题3 据此你有什么猜想呢?
猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
你能证明这个猜想吗？
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
△ABC ≌ △ A′B′C′ 　　
？
∠C是直角　　　
△ABC是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
　已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
　求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
证一证:
如图，在△ABC中，三边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2.
证明： △ABC是直角三角形.
勾股定理的逆定理:
归纳
几何语言：
如果三角形的三边长a 、b 、c，且满足 a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形。
∴ △ABC是直角三角形，
∵ 在△ABC中， a2+b2=c2
A
C
B
a
b
c
满足a2 +b2 =c2的三个正整数,称为勾股数.
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：(1)∵152+82=289，172=289， ∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
且∠C是直角.
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
(2) ∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
归纳
例题详解
例2：3、4、5是一组勾股数，把这3个数分别扩大2倍，所得3个数还是勾股数么？扩大3倍、4倍和k倍呢？证明你的结论。
解：∵(3k)2+(4k)2=25k2=(5k)2,
∴是勾股数
勾股数的性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，
得到一组新数，这组数同样是勾股数。
常见勾股数：
3，4，5 ； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等.
例3：△ABC的三边长分别是a、b、c， 且????=????2?1，b=2n, c=????2+1, △ABC是直角三角形吗？证明你的结论。
?
解： ∵a?+b?=(n?-1)?+(2n)?
=n4 -2n?+1+4n?
=n4 +2n?+1
=(n?+1)?
=c?，
∴△ABC直角三角形
1. 下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的是（　 ）．
A．3，4，5；　　 B．10，6，8；
C．4，5，6；　　 D．12，13，5．
C
试一试
2．若△ABC的两边长为8和15，则能使△ABC为直
角三角形的第三边的平方是（　　）
A．161；　　 B．289；　　
C．17；　　 D．161或289．
D
3.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.
等腰三角形或直角三角形
课堂练习
1．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
B．a：b：c＝7：24：25
C．a2＝b2﹣c2
D．∠A＝∠C﹣∠B
A
2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
A
3. 有四个三角形，分别满足下列条件：
①其中一个内角等于另外两个内角之和；
②三个内角之比为3∶4∶5；
③三边之比为3∶4∶5；
④三边长分别为5，24，25.
其中直角三角形有 （　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
4. △ABC的三边分别是a，b，c且满足|a-8 |+(b-6)2=0，则当c2=__________时，△ABC是直角三角形.

100或28

5.在△ABC中，a =15， b=17， c=8，求此三角形的面积。
解：
∵
∴ a2+c2＝b2
∴ △ABC是直角三角形，
a2+c2＝
b2＝289
152+82
＝289
且a，c为直角边，b为斜边.
∴ S△ABC=
=60
拓展延伸
如图，AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,求△ABC的面积.
E
解：延长AD并在截取DE=AD,
即△ABC的面积是6.
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是
否是直角形三角形。
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角。
课堂小结
通过这节课的学习,你有什么收获?