宁化一中2020—2021学年第二学期普通高中半期质量检测
高二数学参考答案
一、单选题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
A
B
C
D
C
B
二、多选题
9.
BD
10.
AD
11.
ACD
12.
ACD
三、填空题
13.
14.
15.
；
16.
四、解答题
17.
解：（1）设第项为，
2分
令解得，
1分
故展开式中含项的系数为.
5分
（2）∵第项的二项式系数为，，
6分
第项的二项式系数为.
7分
又∵
，故或，
解得或..
10分
18．解：（1）因为
2分
所以，即，
2分
所以，即.
6分
（2）∵，
6分
所以.
8分
解得：..
10分
19．解：（1）设“第一次取到黑球”为事件，
“第二次取到黑球”为事件，
所以
2分
所以
4分
（2）的所有可能取值为，，．
则；
；
．
所以分布列为：
10分
所以.
12分
20.
解：（1）的定义域为，，
令解得，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
∴的单调递减区间为，单调递增区间为；
5分
（2），
定义域为，，
若函数存在单递增区间，只需在上有解，
即存在使得，
令，则，令解得，
当时，则在上单调递增，
当时，则在上单调递减，
则时取极大值也是最大值，∴，∴，
∴的取值范围为.
10分
21.
解：（1）甲至少能解出两道题的概率.
2分
（2）由题意知，的所有可能取值为，，，．
则；
；
；
．
所以分布列为：
故的数学期望（道）．
8分
（3）设表示甲在考试中能解出题的道数，则随机变量服从二项分布，即．
所以．因为，故甲应该被录取．
12分
22.
解：（1）定义域为，，
（i）当即时，恒成立，∴在上单调递减，
（ii）当即时，令，则，令，则，
即在上单调递减，在上单调递增.
（2）设函数具备性质“L”，即在点M处的切线斜率等于直线的斜率，
不妨设，
∵，
，∴，
即，
令，则，上式化为，
即，令，，
，∴在上是增函数，
∴，∴关于x的方程没有实数根，
∴函数不具备性质“L”.宁化一中2020—2021学年第二学期普通高中半期质量检测
高二数学试题
一、单选题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．已知复数满足，则
A．
B．
C．1
D．2
2．展开式中的系数为
A．15
B．20
C．30
D．35
3．正态分布概念是由德国数学家和天文学家在1733年首先提出，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布，早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据；对这些数据进行分析发现这些数据变量近似服从，若，则
A．
B．
C．
D．
4．已知函数在处取得极大值，则a的值为
A．2
B．1
C．1或2
D．或
5．投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投入壶耳）”.每一局投壶，每位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分.现有甲、乙两人进行投壶比赛（两人投中壶口、壶耳是相互独立的），甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分.乙投中壶口的概率为，投中壶耳的概率为，四只箭投完，以得分多者赢，请问乙赢得这局比赛的概率为
A．
B．
C．
D．
6．某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，不经过B的概率为
A．
B．
C．
D．
7．现有一个帐篷，它下部分的形状是高为的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为的正六棱锥（如图所示），当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心的距离为
A．
B．
C．
D．
8．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是
A．
B．
C．
D．
二、多选题：本大题共2小题，每小题5分，漏选得2分，错选不得分，共10分．
9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是
A．是函数的极值点
B．
在区间上单调递减
C．函数在处取得极小值
D．的图象在处的切线斜率小于零
10．已知，则
A．展开式中所有项的二项式系数和为22021
B．展开式中系数最大项为第1348项
C．
D．
11．骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字.现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷六面骰次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，假定每次闯关互不影响，则
A．直接挑战第关并过关的概率为
B．连续挑战前两关，至多过一关的概率为
C．若直接挑战第关，设“三个点数之和等于”，“至少出现一个点”，则
D．若直接挑战第关，则过关的概率是
12．设函数，给定下列命题，其中正确的是
A．若方程有两个不同的实数根，则
B．若方程恰好只有一个实数根，则
C．若，总有恒成立，则
D．若函数有两个极值点，则实数
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知随机变量，若，，则_________．
14．有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同”，那么他们7人不同的可能位次共有__________种（结果用具体数字表示）．
15．若对于恒成立，当时，的最小值为__________；当时，的最小值是___________．
16．已知函数，，若，，则的最大值为_____________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在二项式的展开式中，
（1）求展开式中含项的系数：
（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值.
18．（本小题满分12分）
已知实部为的复数满足（，为虚数单位）.
（1）求；
（2）若为纯虚数，求实数的值.
19．（本小题满分12分）
袋中装有个白球，3个黑球，2个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止.已知第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为.
（1）求的值；
（2）用表示终止取球时所需的取球次数，求随机变量的分布列及数字期望.
20．（本小题满分12分）
已知函数，
为的导数，().
（1）求函数的单调区间
（2）若函数存在单递增区间，求的取值范围；
21.（本小题满分12分）
某用人单位在一次招聘考试中，考试卷上有，，三道不同的题，现甲、乙两人同时去参加应聘考试，他们考相同的试卷，已知甲考生对，，三道题中的每一题能解出的概率都是，乙考生对，，三道题能解出的概率分别是，，，且甲、乙两人解题互不干扰，各人对每道题是否能解出是相互独立的．
（1）求甲至少能解出两道题的概率；
（2）设表示乙在考试中能解出题的题数，求的数学期望；
（3）按照“考试中平均能解出题数多”的择优录取原则，如果甲、乙两人只能有一人被录取，你认为谁应该被录取，请说出理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，，如果对于函数
图象上的点（其中总能使得
成立，则称函数具备性质“”.试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由．
