沪教版（上海）数学高三上册-16.4 组合 课件3(共54张PPT)

(共54张PPT)
组合的综合应用
类型一
无限制条件的组合问题
【典型例题】
1.某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，则此人不同的投资方式有______种.
2.某高中学生会由6名男生和4名女生组成.
(1)从中选4名学生参与学校卫生大检查，共有多少种不同的选法？
(2)从男生和女生中各选2名学生去“阳光敬老院”进行某项社会调查，共有多少种不同的选法？
【解题探究】
1.题1中投资需分几步？每步选法如何用组合数表示？
2.题2(2)中完成此件事需分几步走？分别是什么？
探究提示：
1.投资需分两步：第一步投资股票有
种，第二步，投资
债券有
种.
2.分两步走，第一步从6名男生中任选2名学生.第二步从4名
女生中任选2名学生.
【解析】1.需分两步：
第一步，根据经纪人的推荐在6种股票中选3种，共有
种选
法；
第二步，根据经纪人的推荐在5种债券中选4种，共有
种选
法.
根据分步乘法计数原理，此人有
种不同的投资方
式.
答案：100
2.(1)本问题相当于从10个不同的元素中，任取4个元素，所
以共有
种不同的选法.
(2)完成这件事分两步走：第一步从6名男生中任选2名学生，
共有
种不同的选法；第二步从4名女生中任选2
名学生，共有
种不同的选法.由分步乘法计数原
理得，共有15×6=90种不同的选法.
【拓展提升】求解无限制条件组合问题的步骤与关注点
1.求解步骤
2.关注点及注意点：要关注将要计的数是分类还是分步，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏.
【变式训练】(2013·成都高二检测)给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色(红、黄、绿、蓝)，要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法多少种(涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法)(
)
A.6种
B.12种
C.24种
D.48种
【解析】选A.由于涂色过程中，要保证满足条件(用四种颜
色，相邻的面不同色)，正方体的三对面，必然有两对同色，
一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，只需
从四种颜色中选择2种涂在其中一对面上，剩下的两种颜色涂
在另外两对面即可.因此共有
(种)不同的涂法.
类型二
有限制条件的组合问题
【典型例题】
1.以正方体的顶点为顶点，可以确定______个四面体.
2.(2013·青岛高二检测)某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)抽调的6名专家中至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)抽调的6名专家中至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
【解题探究】
1.构成四面体的四个点需具备什么限制条件？
2.题2中“恰有2名外科专家”“至少有2名外科专家”与“至多有2名外科专家”的含义分别是什么？
探究提示：
1.构成四面体的四个点需具备不共面这一限制条件.
2.“恰有2名外科专家”指的是抽调的6名专家中有2名是外科专家，其余4名是非外科专家.
“至少有2名外科专家”指的是有可能是2名外科专家，也可能是3名或4名.
“至多有2名外科专家”指的是可能有2名外科专家，也可能1名或没有.
【解析】1.正方体8个顶点可构成
个四点组，其中共面的
四点组有正方体的6个表面的四个顶点和正方体相对棱分别所
在6个平面的四个顶点，故可以确定的四面体有
(个).
答案：58
2.(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有
种选法，
再从除外科专家的6人中选取4人，有
种选法，所以共有
种抽调方法.
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，
方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有
种选法；
②选3名外科专家，共有
种选法；
③选4名外科专家，共有
种选法.
根据分类加法计数原理，共有
种抽调方法.
方法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有
种选法，
考虑选取1名外科专家参加，有
种选法；没有外科专家
参加，有
种选法，所以共有
种抽调方
法.
(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情
况，分类解答.
①没有外科专家参加，有
种选法；
②有1名外科专家参加，有
种选法；
③有2名外科专家参加，有
种选法.
所以共有
种抽调方法.
【拓展提升】有限制条件的组合应用题的常见类型及求解思路
1.“含”与“不含”问题
这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”.若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用间接法.解题时要注意分清“恰有”“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准.
2.几何中的计数问题
在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决.
【变式训练】1.在四棱锥P-ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，不同的取法有(
)
A.40种
B.48种
C.56种
D.62种
【解析】选C.如图，
满足题设的取法可分为三类：
①在四棱锥的每个侧面上除
点P外任取3点，有
(种)不同的取法；
②在两个对角面上除点P外任取3点，共有
(种)不同
的取法；
③过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共
面，共有
(种)不同的取法.
故不同的取法共有40+8+8=56(种).
2.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.
(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法
(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法
【解析】(1)
(种).
(2)从7个白球中任选2个，共有
(种).
(3)从7个白球中任选3个，共有
(种).
类型三
排列、组合的综合应用
【典型例题】
1.(2013·长春高二检测)某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数有(
)
A.6种
B.24种
C.180种
D.90种
2.(2013·安阳高二检测)从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数.试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？
(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
(4)(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？
【解题探究】
1.题1中的4名学生安排到两个班级是平均分组还是非平均分组 分组后还要分配吗？
2.题2(1)中组成没有重复数字的七位数，需要分几步完成？各是什么问题？
题2(2)中七位数中要求三个偶数排在一起，应如何安排？
题2(3)中的七位数应如何排？
题2(4)中的七位数应如何排？
探究提示：
1.是平均分组，且分组后需要分配.
2.组成题2(1)中的七位数，需分三步即第1步取3个偶数为组合问题，第二步取4个奇数为组合问题，第3步将取出的7个数排序，为排列问题.
题2(2)可用“捆绑法”安排.
题2(3)分别用“捆绑法”安排.
题2(4)可对偶数用插空法安排.
【解析】1.选D.先把4名学生分两组有
(种)，然后
再把这两组给这6个班中的两个班有
(种)，根据分步乘
法计数原理得不同的安排方案种数有3×30=90(种).
2.(1)分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有
种情
况；第二步在5个奇数中取4个，可有
种情况；第三步3
个偶数，4个奇数进行排列，可有
种情况，所以符合题
意的七位数有
(个).
(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有
=14
400(个).
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的
有
(个).
(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再
将3个偶数分别插入5个空档，共有
(个).
【拓展提升】
1.解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点
(1)一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.
(2)注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题.
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法.
2.分组、分配问题的求解策略
(1)分组问题属于“组合”问题,按组合问题求解，常见的分组问题有三种:
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n!；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题，可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
【变式训练】1.(2013·嘉兴高二检测)将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法有(
)
A.18种
B.24种
C.30种
D.36种
【解析】选C.将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中
任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有
种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄
球放进其余的盒子里，有
种情况，则红球和蓝球不放
到同一个盒子的放法种数为36-6=30种.
2.6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本.
(2)分为三份，每份两本.
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本.
(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本.
【解析】(1)根据分步乘法计数原理得有
种.
(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有
种方法，这个
过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本设有x种方
法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有
种方法.
根据分步乘法计数原理可得：
所以
因此分为三份，每份两本一共有15种方法.
(3)这是“不均匀分组”问题，一共有
种方法.
(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有
=360种方法.
【易错误区】组合应用问题中考虑不周致误
【典例】已知集合A={1，2，3，4，5}，则至少含一个偶数的集合A的子集个数为______.
【解析】直接法：
当子集中含有1个偶数时,①共有个数
(个)；
当子集中含有2个偶数时：①共有
(个)；
满足题意的集合A的子集个数为：16+8=24(个)．
间接法：
集合A的子集共有
(个),②
不符合题意的子集有空集、分别只含有1，2，3个奇数的子
集，有
(个)，故符合题意的子集个数为32
-8=24(个).
答案：24
【误区警示】
【防范措施】
1.分类不重复、不遗漏
分类时要选择一个确定的分类标准，其原则是分类不能重复，不能遗漏.如本例中对偶数个数的分类.
2.重视特殊情况在解题中的作用
解题过程中要注意分析特殊元素、特殊情况对结果的影响，并注意总结、避免因考虑问题不全面而失分.如本例中子集的特殊情况空集就容易遗漏.
【类题试解】从5名男学生、4名女学生中选3名学生组成一个
研究性学习小组，要求其中男、女学生都有，则不同的选法
有______.
【解析】根据题意，共有9名学生，从中任取3人，有
(种)取法，其中只有男生的有
(种)取法，只有女生的
有
(种)取法，则男、女学生都有的选法有84-10-4=
70(种).
答案：70种
1.楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，
则关灯方案有(
)
A.72种
B.84种
C.120种
D.168种
【解析】选C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮
着的灯的空中，所以关灯方案共有
(种).
2.今有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人
承担，现从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法
有(
)
A.1
260种
B.2
025种
C.2
520种
D.5
054种
【解析】选C.先从10人中选出4个人，再在这4个人中选两
个从事甲任务，剩下的两个人从事乙、丙任务，故可得出：
(种).
3.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程
中恰有1门相同的选法有(
)
A.6种
B.12种
C.24种
D.30种
【解析】选C.所有两人各选修2门的种数是
两人所选两
门都相同和都不同的种数均为
故只恰好有1门相同的选法
有
(种).
4.如图，要用三根数据线将四台电脑A，B，C，D连接起来以
实现资源共享，则不同的连接方案的种数是(
)
A.16
B.18
C.20
D.22
【解析】选A.画一个正方形和它的两条对角线，在这6条线
段中，选3条的选法有
(种).其中4个直角三角形不是
连接方案，故不同的连接方案共有
(种).
5.某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3名去参
加展览.若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技
小组中男生的人数为______.
【解析】由题意得
解得x=5.
答案：5
6.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有1名女生当选.
(2)两名队长当选.
(3)至少有1名队长当选.
(4)至多有2名女生当选.
(5)既要有队长，又要有女生当选.
【解析】(1)1名女生，4名男生，故共有
(种).
(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有
(种).
(3)方法一：至少有1名队长含有两类：只有1名队长；2名
队长，故共有选法
(种).
方法二：采用间接法共有
(种).
(4)至多有2名女生含有三类：有2名女生；只有1名女生；
没有女生.
故选法共有
(种).
(5)分类：第1类，女队长当选：
种；第2类，女队长不
当选：
种.故选法共有
(种).