沪教版（上海）数学高三上册-16.4 组合 6（课件）(共55张PPT)

(共55张PPT)
组
合
组合与组合数公式
一、组合的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素_________，叫做从n个
不同元素中取出m个元素的一个组合.
合成一组
思考：组合与排列的概念有何异同点？
提示：共同点：都是“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元
素”；
不同点：组合“不管顺序并成一组”，而排列是要“按照
一定顺序排成一列”.
二、组合数的概念、公式与性质
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_____
_________的个数,叫做从n个不同元素中取出
m个元素的组合数.
表示法
____
所有
不同组合
组合数
公式
乘
积
式
阶
乘
式
性质
备注
①n，m∈N
且m≤n
②规定：
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从a1,a2,a3三个不同元素任取两个元素的一个组合为
(
)
(2)从1，3，5，7中任取两个数相除可以得
个商.(
)
(3)
(
)
(4)
(
)
提示：(1)错误.组合数
与一个组合是两个不同的概念，根
据定义，一个组合是具体的一件事，它不是一个数；而组合
数是所有组合的个数，它是一个数.解题时应分清求组合还是
组合数.
(2)错误.相除为一排列问题，应有
个商.
(3)错误.
(4)正确.因为
答案：(1)×
(2)×
(3)×
(4)√
【知识点拨】
1.对组合的三点认识
(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素自然也是不同的，即“从n个不同的元素中取出m个元素”.
(2)组合的特性是：元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求．
(3)相同的组合：根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，也是相同的组合.
2.排列问题和组合问题的区分方法
排列
若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,即排列问题与选取的顺序有关
组合
若交换某两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,即组合问题与选取的顺序无关
3.组合数公式的两种形式的适用范围
形式
主要适用范围
乘积式
含具体数字的组合数的求值
阶乘式
含字母的组合数的有关变形及证明
4.组合数两个性质的应用
要注意性质
的顺用、逆用、变形用．顺用是
将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形式
的使用，为某些项相互抵消提供了方便，在
解题中要注意灵活运用.
类型一
组合问题的辨别
【典型例题】
1.求从2，3，4，5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数
与真数，得到的对数的个数有多少，是______问题；若问把
这两个数相乘得到的积有几种，则是______问题.(用“排
列”“组合”
填空)
2.判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？
(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？
【解题探究】
1.组合的特点是什么？
2.区分某一问题是组合问题与排列问题的关键是什么？
探究提示：
1.组合的特点是与取出的元素的顺序无关.
2.关键是根据排列、组合的概念，看取出的元素是否有顺序，有顺序的就是排列问题，无顺序的就是组合问题.
【解析】1.从2，3，4，5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数，交换a,b的位置后所得对数值不同，应为排列问题；取两个数相乘，如2×3与3×2的积是相等的，没有顺序，故为组合问题.
答案：排列
组合
2.(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.
(2)因为甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.
(3)因为分工方法是从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题.
(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.
【拓展提升】
1.判断具体问题是组合与排列问题的流程
2.区分有无顺序的方法
把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.
3.组合问题中要计的数与组合数的关系
每一个选(方)法都对应一个组合，因此，要计的数即为从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
【变式训练】判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.
(1)规定10人相互通一次电话，共通多少次电话？
(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？
(3)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
(4)从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？
(5)从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
【解析】(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是
乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为
(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先
谁后，没有顺序的区别，组合数为
(3)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚
军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的，排列数为
(4)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合数
为
(5)是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺
序区别的，排列数为
类型二
组合数公式的应用
【典型例题】
1.式子
可表示为(
)
2.求值：
3.证明：
【解题探究】
1.组合数公式的乘积式中分子、分母有什么特点？
2.解决题2应如何入手？
3.题3证明的关键是什么？
探究提示：
1.组合数公式的乘积式中分子为m个数相乘，因式分别为从n
到n-m+1的自然数，分母为m的阶乘.
2.由于题2中的两个组合数中的上标与下标均是未知数，且只
含有一个变量n，应首先根据组合数
的意义确定未知数的
值(或范围)，在解与组合数有关问题时应特别注意.
3.有关组合数恒等式的证明，关键是化简，应先考虑利用组
合数的阶乘式形式作答.
【解析】1.选D.分式的分母是100！，分子是101个连续自然
数的乘积，最大的为n+100，最小的为n，
故
2.由组合数定义知：
所以4≤n≤5，又因为n∈N
，所以n=4或5.
当n=4时，
当n=5时，
3.
【互动探究】将题3改为求证：
【证明】因为右边
左边
所以左边=右边，所以原式成立.
【拓展提升】
1.组合数公式乘积式的应用
组合数公式
体现了组合数与相
应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.但当
时，计数
可先用性质
化简，减少运算量.
2.组合数公式阶乘式的应用
组合数公式
的主要作用：一是计算m,n较大时
的组合数；二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.
3.求含有字母参数的组合数问题的关注点
关注组合数
中的隐含条件：m≤n,且n∈N
，m∈N，求解时
应检验其结果是否满足这一条件.
【变式训练】1.计算：
【解析】原式
2.证明：
【证明】
所以原式成立.
类型三
组合数性质的应用
【典型例题】
1.计算
的值为(
)
2.求证：
【解题探究】
1.性质
的结构有何特点？
2.解答题2的关键是什么？
探究提示：
1.
的特点是等号右侧下标相同，上标差1，合
并后左侧下标比右边多1，上标取较大的上标.
2.解答题2的关键是将
拆成两个
与前后的组合数逆
用组合数的性质.
【解析】1.选C.
2.由组合数的性质
可知，
右边
左边.
所以原式成立.
【拓展提升】性质“
”的意义及作用
【变式训练】1.化简：
【解析】原式
答案：0
2.已知
求n的值.
【解析】根据题意，
变形可得，
由组合数的性质，可得
即
故8+7=n+1，
解得n=14.
求解含有组合数的方程或不等式
【典型例题】
1.解方程：
2.解不等式：
【解析】1.由组合数公式，原方程可化为
化简得
解得x1=2,x2=21.
因为x≤5,x∈N
，
所以原方程的解是x=2.
2.由组合数公式，原不等式可化为
化简得n2-9n-10＜0，解得-1＜n＜10.
因为n≥6，n∈N
，
所以不等式的解集为{6，7，8，9}.
【拓展提升】含有组合数的方程或不等式的求解流程
【易错误区】忽视组合数中参数的限制条件致误
【典例】(2013·济南高二检测)若
则n的取值
集合为__________.
【解析】由
可得n2-11n-12＜0，
解得-1＜n＜12.
又n∈N
，且n≥5①，
所以n∈{5，6，7，8，9，10，11}.
答案：{5，6，7，8，9，10，11}
【误区警示】
【防范措施】
1.限制条件的挖掘
对题目中涉及组合数中参数，要认真分析，找出其一些限制条件，如本例中n∈N
且n≥5的限制.
2.公式与性质的灵活运用
对组合数公式的两种形式与两个性质的灵活运用在解题中往往起到关键的作用，如本例选乘积式要比阶乘式简单.
【类题试解】若方程：
则x的取值集合为______.
【解析】因为
由组合数的性质得，
x2＋3x＋2=5x＋5或(x2＋3x＋2)＋(5x＋5)=16，
即x2-2x-3=0或x2＋8x-9=0，
所以x=-1或x=3或x=-9或x=1.
经检验x=3，x=-9不合题意，舍去，
故原方程的解是x1=-1，x2=1.
答案：{-1，1}
1.下面几个问题是组合问题的有(
)
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？
②从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有多少种不同的选法？
③有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？
④某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？
A.①②
B.①③④
C.②③④
D.①②③④
【解析】选C.①与顺序有关，是排列问题，而②③④均与顺序无关，是组合问题，故选C.
2.
的值为(
)
A.1
006
B.1
007
C.2
012
D.2
014
【解析】选D.利用组合数的性质得
3.若
则n的值是(
)
A.6
B.7
C.8
D.9
【解析】选B.原方程可化为：
解得n=7，经检验，n=7是原方程的解.
4.已知{a,b} A {a,b,c,d}，满足这个关系式的集合A有
______个.
【解析】由题意集合A中除了含有a,b外，可能还含有c,d中
的0个，1个或2个，故集合A共有
(个).
答案：4
5.若
则x=________.
【解析】因为
所以x=2x-7或x+2x-7=20,
所以x=7或x=9，经检验，x=7或x=9是原方程的解.
答案：7或9
6.若
求n.
【解析】由
得
即
解得n=-1(舍)或n=4.
故n=4.