沪教版（上海）数学高三上册-16.2 排列 课件4(共47张PPT)

(共47张PPT)
排列与排列数公式
排列数及排列数公式
排列数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_____
____的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的
排列数
排列数
表示法
排列
不同
排列数公式
乘积式
=_____________________
阶乘式
性质
=___,0!=__
备注
n,m∈N
,m≤n
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
n!
1
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于式子
中的x可以取小于或等于3的任意整数.(
)
(2)排列数
是有n个因式的乘积.(
)
(3)0！规定等于1，但它不能按阶乘的含义来解释.(
)
(4)
(n∈N
且n<55)(
)
提示：(1)错误.x≤3且x∈N
.
(2)错误.从n-m+1到n共有m个因式相乘.
(3)正确.0!=1只是一种规定.
(4)错误.(55-n)(56-n)…(69-n)共有15个因式相乘，故原式
等于
(n∈N
且n≤54).
答案：(1)×
(2)×
(3)√
(4)×
【知识点拨】
1.排列与排列数的区别
“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列(也就是具体的一件事)；排列数是指“从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数”，它是一个数.
比如从3个元素a,b,c中取出2个元素，按照一定的顺序排成一
列，有如下几种:ab,ac,ba,bc,ca,cb，每一种都是一个排
列，共有6种，而数字6就是排列数，符号
表示排列数，在
此例中
2．准确理解排列数公式
(1)公式中的n，m应该满足n,m∈N
，m≤n，当m>n时不成立．
(2)排列数有两个公式，第一个公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最后一个因数为n-m＋1(下标-上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘．
(3)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶乘式．它是一个分式的形式，分子是下标n的阶乘，分母是下标减上标的阶乘，即(n-m)的阶乘．
(4)特别地，规定0!＝1.这只是一种规定，不能按阶乘的含义作解释．
类型一
排列数的计算问题
【典型例题】
1.(2013·洛阳高二检测)乘积m(m+1)(m+2)(m+3)…(m+20)可
表示为(
)
2.计算：
【解题探究】
1.排列数
是几个因式的乘积？最大、最小数分别是什么？
2.题2(2)中
能否均用
表示？
探究提示：
1.从n-m+1到n共有m个因式相乘，其中最小数为n-m+1，最大
数为n.
2.能.
【解析】1.选D.因为m,m+1,m+2，…，m+20中最大的数为
m+20，且共有m+20-m+1=21个因式.
所以m(m+1)·(m+2)
…(m+20)=
2.(1)
(2)方法一：
方法二：
方法三：
【互动探究】在题1中，若将乘积改为m(m-1)(m-2)(m-3)
…(m-20)(m>20)，则结果如何？
【解析】因为m(m-1)(m-2)…(m-20)中最大数为m，且共有
m-(m-20)+1=21(个)因式，所以m(m-1)(m-2)…(m-20)=
【拓展提升】排列数的计算方法
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用.
(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量.
(3)当计算的式子中含有多个排列数时，一般先利用阶乘的性质将其他排列数用最小的排列数表示，再计算.
类型二
与排列数有关的方程、不等式及证明问题
【典型例题】
1.(1)已知
则n=______.
(2)不等式
的解集为______.
2.求证:
【解题探究】
1.如何利用排列数公式将题1(1)(2)中的方程、不等式转化为
n或x的代数方程、不等式求解？
2.如何选择排列数公式由题2中待证式左端过渡到右端？
探究提示：
1.利用排列数公式的乘积式或阶乘式进行转化.
2.对
分别用排列数公式的阶乘形式过渡到右端.
【解析】1.(1)因为
所以2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-
1)(n-2)，即n2-9n+8=0,解得n=1或n=8,因为n≥3，所以n=8.
答案：8
(2)由
得3≤x≤8，x∈N
.
由
得
化简得x2-19x+84<0，解得7又因为3≤x≤8，所以x=8.
答案：{8}
2.因为
【拓展提升】
1.排列数公式阶乘式的应用
公式
适用于与排列数有关的恒等式(或不等式)
的证明或解有关排列数
(当m与n较接近时)的方程与不等式.
【提醒】在解有关排列数的方程式或不等式时，应注意排列
数中未知数满足的隐含条件“n,m∈N
且m≤n”.
2.排列数的化简与证明技巧
应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，
化简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的
内在联系.解题时要灵活地运用如下变式：
①n!=n(n-1)!；②
③n·n!=(n+1)!-n!；
④
【变式训练】1.解方程：
【解题指南】首先明确x≥3且x∈N
，由排列数公式列出方
程，解方程即可.
【解析】由已知得
所以x≥3,x∈N
.
又由
得(2x+1)·2x·(2x-1)(2x-2)
=140x(x-1)(x-2)，
化简得，4x2-35x+69=0，
解得
(舍)，
所以方程的解为x=3.
2.求证：
【证明】
类型三
利用排列与排列数解简单计数应用题
【典型例题】
1.从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共
有______个.
2.(2013·兰州高二检测)一条铁路原有n个车站，为了适应客
运需要，新增加了m(m>1)个车站，客运车票增加了62种，问
原有多少个车站？现有多少个车站？
【解题探究】
1.每一个三位数对应怎样的一个排列？所求三位数的个数是
怎样的一个排列数？
2.每一种车票对应怎样的一个排列？
探究提示：
1.每一个三位数对应从8个不同元素任取3个元素的一个排
列，故所求三位数的个数为
2.每一种车票对应从n个或(n+m)个不同元素，任取2个元素
的一个排列.
【解析】1.按顺序，有百位、十位、个位3个位置，8个数字
中取出3个依次排列，有
个.
答案：336
2.因为原有车站n个，所以原有客运车票有
种，又现有
(n+m)个车站，现有客运车票
种.
所以
所以(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,
所以
所以
即62>m2-m.
所以m2-m-62<0.又m>1，从而得出
所以1即m=2时，
当m=3，4，5，6，7，8时，n均不
为整数，
故只有n=15,m=2符合题意，即原有15个车站，现有17个车站.
【拓展提升】
1.利用排列与排列数解排列应用题的基本思想
2.解简单的排列应用题的思路
(1)认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序.
(2)如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件.
(3)运用排列数公式求解.
【变式训练】有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(4)
班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种
不同的安排方法？
【解析】从5个不同的课题中选3个，由3个兴趣小组进行研
究，每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素的一个排
列.因此不同的安排方法有
(种).
【易错误区】忽视排列数中的隐含条件致误
【典例】已知
则n为(
)
A.7，8，9，10，11，12
B.8，9
C.7，8
D.7
【解析】选C.由排列数公式得，
所以
即
所以
化简为n2-19n＋78<0，所以6因为n∈N
，所以n＝7,8,9,10,11,12.
由排列数的意义，可知n≤8且n-1≤9①，
即n≤8，所以6又n∈N
，所以n＝7或n＝8.
【误区警示】
【防范措施】
1.隐含条件的挖掘
对题目中的条件要认真分析，找出一些隐含条件.如本例中
中，n,m∈N
且m≤n.
2.公式的灵活选用
排列数公式有乘积式和阶乘式两种形式，在求解与证明中要
灵活选用以减少运算量和失误.如本例中选用阶乘式则较简单.
【类题试解】不等式
的解集为______.
【解析】由题意可得
所以
解得n=3或n=4，所以原不等式的解集是{3,4}.
答案：{3，4}
1.乘积5×6×7×…×20等于(
)
【解析】选B.根据题意，由于乘积5×6×7×…×20表示的
是从20到5的连续16个自然数的乘积，则可知表示的为
2.从5本不同的书中选出2本送给2名同学，每人一本，共有多
少种给法(
)
A.5种
B.10种
C.20
种
D.60
种
【解析】选C.由排列数定义知，共有
(种).
3.若
则x=(
)
【解析】选B.因为
所以
4.满足
的n的解集为______.
【解析】由
得
且n∈N
，
所以n的解集为{n|n>4且n∈N
}.
答案：{n|n>4且n∈N
}
5.方程
的解x=______.
【解析】
=(x-3)(x-4)+(x-3)=x2-6x+9=4，
所以x2-6x+5=0，解得x=5或x=1(舍).
答案：5
6.求证：
【证明】左边
故原式成立.