三角函数的概念
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文档简介
三角函数
001任意角和弧度制及任意角的三角函数 7.19
一．教材分析
（1）知识点：任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数
（2）考纲下载：1.了解任意角的概念．
2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.
二．知能巧整合 夯基砌大楼
1．角的有关概念
(1)从运动的角度看，角可分为正角、_____和_____．
(2)从终边位置来看，可分为_______和轴线角．
(3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为
β＝_________________ (或______________)
思考探究：(1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？
(2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐角吗？
2．弧度与角度的互化
(1)1弧度的角
长度等于_________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．
(2)角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝_____.
(3)角度与弧度的换算 ①1°＝______rad；②1 rad＝______.
(4)弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，又l＝rα，则扇形的面积为 S＝______＝______.
3．任意角的三角函数
(1)定义：设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，则sin α＝__，cos α＝__，tan α＝____.
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在______上，余弦线的起点都是______，正切线的起点都是______．
(3)终边相同角的三角函数值(k∈Z)
公式一：sin(α＋k·2π)＝_______；cos(α＋k·2π)＝_______；
tan(α＋k·2π)＝_______
三．课前热身
1．终边与坐标轴重合的角α的集合为( )
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝k·90°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
2．已知角α的终边经过点(，－1)，则角α的最小正值是( )
A. B. C. D.
3．若点P在角π的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为( )
A．(1，) B．(，－1)
C．(－1，－) D．(－1，)
4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为____，面积为________．
5．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α为第________象限角．
四．典例解析
题型一：三角函数的定义
已知角α终边上一点P(x，y)(该点不在单位圆上)，求α的三角函数值时，可先求出该点到原点的距离r，利用下式求解：sin α＝，cos α＝，tan α＝，这也可看作三角函数的定义．
例1：已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
【变式训练】 1.已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ，cos θ.
题型二：
涉及弧长和扇形面积的计算，可用的公式有角度和弧度两种表示，其中弧度表示的公式结构简单易记好用．弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式C＝2πr和圆面积公式S＝πr2，当用圆心角的弧度数α代替2π时，即可得到一般弧长和扇形面积公式l＝|α|r，S＝|α|r2.
例2：已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【变式训练】 2.解答下列各题：
(1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．
题型三：由α所在的象限确定其三角函数值的符号
1．利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一角α与2π的整数倍，然后判断角α的象限．
2．可根据三角函数定义讨论角α在各个象限三角函数值的符号；其记忆口诀为：一全正，二正弦，三两切，四余弦．
3．可利用角α的三角函数值在各个象限的符号记忆诱导公式，使用平方关系进行三角函数求值。
例3：(1)若θ＝168°＋k·360°(k∈Z)，求在[0°，360°)内终边与角的终边相同的角．
(2)若sin θ·cos θ＞0，且tan θ·cos θ＜0，则角θ的终边落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
五．方法突破
1．常见的终边相同的角的表示
角α终边的位置 角α的集合
在x轴的非负半轴上
在x轴的非正半轴上
在y轴的非负半轴上
在y轴的非正半轴上
在x轴上
在y轴上
在坐标轴上
2.三角函数线的应用
三角函数线是三角函数的一种几何表示，三角函数线体现了数形结合的思想．例如，借
助三角函数可以直接得到sin α与cos α的大小关系．在直角坐标系内作直线y＝x(如图所示)，则有：
(1)当角α的终边落在直线y＝x上时，sin α＝cos α；
(2)当角α的终边落在直线y＝x的上方时，sin α＞cos α；
(3)当角α的终边落在直线y＝x的下方时，sin α＜cos α.
六．真题明考向 备考上高速
从近两年的高考试题来看，三角函数的定义、同角三角函数的关系是高考的热点，尤其同角三角函数的平方和商数关系考查的频率较高，既有小题，也有大题，主要是在三角式的求值与化简过程中与诱导公式、和差角公式及倍角公式综合应用，一般不单独命题．
(2010·全国新课标)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )
七：经典考题
1．(2009·全国卷Ⅱ)若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．若点P(m，n)(n≠0)为角600°终边上一点，则等于________．
001任意角和弧度制及任意角的三角函数 7.19
一．教材分析
（1）知识点：任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数
（2）考纲下载：1.了解任意角的概念．
2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.
二．知能巧整合 夯基砌大楼
1．角的有关概念
(1)从运动的角度看，角可分为正角、_____和_____．
(2)从终边位置来看，可分为_______和轴线角．
(3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为
β＝_________________ (或______________)
思考探究：(1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？
(2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐角吗？
2．弧度与角度的互化
(1)1弧度的角
长度等于_________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．
(2)角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝_____.
(3)角度与弧度的换算 ①1°＝______rad；②1 rad＝______.
(4)弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，又l＝rα，则扇形的面积为 S＝______＝______.
3．任意角的三角函数
(1)定义：设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，则sin α＝__，cos α＝__，tan α＝____.
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在______上，余弦线的起点都是______，正切线的起点都是______．
(3)终边相同角的三角函数值(k∈Z)
公式一：sin(α＋k·2π)＝_______；cos(α＋k·2π)＝_______；
tan(α＋k·2π)＝_______
三．课前热身
1．终边与坐标轴重合的角α的集合为( )
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝k·90°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
2．已知角α的终边经过点(，－1)，则角α的最小正值是( )
A. B. C. D.
3．若点P在角π的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为( )
A．(1，) B．(，－1)
C．(－1，－) D．(－1，)
4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为____，面积为________．
5．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α为第________象限角．
四．典例解析
题型一：三角函数的定义
已知角α终边上一点P(x，y)(该点不在单位圆上)，求α的三角函数值时，可先求出该点到原点的距离r，利用下式求解：sin α＝，cos α＝，tan α＝，这也可看作三角函数的定义．
例1：已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
【变式训练】 1.已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ，cos θ.
题型二：
涉及弧长和扇形面积的计算，可用的公式有角度和弧度两种表示，其中弧度表示的公式结构简单易记好用．弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式C＝2πr和圆面积公式S＝πr2，当用圆心角的弧度数α代替2π时，即可得到一般弧长和扇形面积公式l＝|α|r，S＝|α|r2.
例2：已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【变式训练】 2.解答下列各题：
(1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．
题型三：由α所在的象限确定其三角函数值的符号
1．利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一角α与2π的整数倍，然后判断角α的象限．
2．可根据三角函数定义讨论角α在各个象限三角函数值的符号；其记忆口诀为：一全正，二正弦，三两切，四余弦．
3．可利用角α的三角函数值在各个象限的符号记忆诱导公式，使用平方关系进行三角函数求值。
例3：(1)若θ＝168°＋k·360°(k∈Z)，求在[0°，360°)内终边与角的终边相同的角．
(2)若sin θ·cos θ＞0，且tan θ·cos θ＜0，则角θ的终边落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
五．方法突破
1．常见的终边相同的角的表示
角α终边的位置 角α的集合
在x轴的非负半轴上
在x轴的非正半轴上
在y轴的非负半轴上
在y轴的非正半轴上
在x轴上
在y轴上
在坐标轴上
2.三角函数线的应用
三角函数线是三角函数的一种几何表示，三角函数线体现了数形结合的思想．例如，借
助三角函数可以直接得到sin α与cos α的大小关系．在直角坐标系内作直线y＝x(如图所示)，则有：
(1)当角α的终边落在直线y＝x上时，sin α＝cos α；
(2)当角α的终边落在直线y＝x的上方时，sin α＞cos α；
(3)当角α的终边落在直线y＝x的下方时，sin α＜cos α.
六．真题明考向 备考上高速
从近两年的高考试题来看，三角函数的定义、同角三角函数的关系是高考的热点，尤其同角三角函数的平方和商数关系考查的频率较高，既有小题，也有大题，主要是在三角式的求值与化简过程中与诱导公式、和差角公式及倍角公式综合应用，一般不单独命题．
(2010·全国新课标)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )
七：经典考题
1．(2009·全国卷Ⅱ)若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．若点P(m，n)(n≠0)为角600°终边上一点，则等于________．