同角三角函数的基本关系
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第2课时 同角三角函数基本关系与诱导公式
知能巧整合 夯基砌高楼
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：______________(2)商数关系：____________
2．诱导公式
(1). 2kπ＋α(k∈Z)
(2). π＋α
(3). －α
(4). π－α
(5). －α
(6). ＋α
口诀:(1)—(4)函数名不变符号看象限,(5)(6)函数名改变符号看象限
【思考探究】 “符号看象限”中，符号是否与α的大小有关？
课前热身
1．(2009·全国卷Ⅰ)sin 585°的值为( )
A．－ B. C．－ D.
2．已知sin(π－α)＝，α∈，则tan α＝( )
A．－ B．－ C. D.
3．若tan α＝2，则的值为( )
A．0 B. C．1 D.
4．如果cos α＝，且α是第四象限的角，那么cos＝______.
5．tan 300°＋sin 450°＝________.
三．典例解析
题型一：
同角三角函数的关系是由任意角的三角函数的定义得出，利用平方关系开方时要注意“±”的选取，商数关系常用于“切化弦”，其实，其商数关系tan α＝的逆用也很重要，若分式的分子、分母是关于同角的弦函数的齐次式的形式，可将分子、分母同除以弦函数的最高次数，
例1. 已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；(2)sin2α＋sin 2α.
【变式训练】 1.已知0＜α＜，若cos α－sin α＝－.试求：的值．
题型二。
1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．
2．使用诱导公式要注意三角函数值在各个象限的符号，如果出现kπ±α的形式时，需要对k的值进行分类讨论，以确定三角函数值的符号．
例2. 化简：
(1)＋
(2)，k∈Z.
【变式训练】
2.求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.
题型三：
1．诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：
A＋B＝π－C；2A＋2B＋2C＝2π；＋＋＝.
2．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．
例3. 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
【变式训练】 3.若A、B、C为△ABC的三个内角，则下列等式中正确的有( )
①sin(B＋C)＝sin A ②cos(B＋C)＝cos A
③tan(B＋C)＝tan A ④tan(2B＋2C)＝tan 2A
⑤cos(2B＋2C)＝cos 2A ⑥sin＝cos
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
四．方法突破：
1．在利用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简、证明时：
(1)如果函数种类比较多，可考虑切化弦；
(2)要特别注意平方关系的使用，如“1”的代换技巧和消去等．
2．诱导公式的记忆
记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角“±α，k∈Z”的三角函数值：当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时，原函数值的符号．
3．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：
五．真题明考向 备考上高速
1.(2010·全国卷Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝( )
A. B．－ C. D．－
1．(2010·全国卷Ⅱ)已知sin α＝，则cos(π－2α)＝( )
A．－ B．－ C. D.
2．已知cos(π＋x)＝，x∈(π，2π)，则tan x等于( )
A．－ B．－ C. D.
3．已知sin x＝2cos x，则sin2x＋1＝( )
A. B. C. D.
4．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx－β)，其中α、β、a、b均为非零实数，若f(2 010)＝－1，则f(2 011)等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.或
6.若，则的值为（ ）
A.- B C。 D.
7.若，则（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8.若为三角形的一个内角，且，则这个三角形是（ ）
A.正三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
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1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：______________(2)商数关系：____________
2．诱导公式
(1). 2kπ＋α(k∈Z)
(2). π＋α
(3). －α
(4). π－α
(5). －α
(6). ＋α
口诀:(1)—(4)函数名不变符号看象限,(5)(6)函数名改变符号看象限
【思考探究】 “符号看象限”中，符号是否与α的大小有关？
课前热身
1．(2009·全国卷Ⅰ)sin 585°的值为( )
A．－ B. C．－ D.
2．已知sin(π－α)＝，α∈，则tan α＝( )
A．－ B．－ C. D.
3．若tan α＝2，则的值为( )
A．0 B. C．1 D.
4．如果cos α＝，且α是第四象限的角，那么cos＝______.
5．tan 300°＋sin 450°＝________.
三．典例解析
题型一：
同角三角函数的关系是由任意角的三角函数的定义得出，利用平方关系开方时要注意“±”的选取，商数关系常用于“切化弦”，其实，其商数关系tan α＝的逆用也很重要，若分式的分子、分母是关于同角的弦函数的齐次式的形式，可将分子、分母同除以弦函数的最高次数，
例1. 已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；(2)sin2α＋sin 2α.
【变式训练】 1.已知0＜α＜，若cos α－sin α＝－.试求：的值．
题型二。
1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．
2．使用诱导公式要注意三角函数值在各个象限的符号，如果出现kπ±α的形式时，需要对k的值进行分类讨论，以确定三角函数值的符号．
例2. 化简：
(1)＋
(2)，k∈Z.
【变式训练】
2.求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.
题型三：
1．诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：
A＋B＝π－C；2A＋2B＋2C＝2π；＋＋＝.
2．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．
例3. 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
【变式训练】 3.若A、B、C为△ABC的三个内角，则下列等式中正确的有( )
①sin(B＋C)＝sin A ②cos(B＋C)＝cos A
③tan(B＋C)＝tan A ④tan(2B＋2C)＝tan 2A
⑤cos(2B＋2C)＝cos 2A ⑥sin＝cos
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
四．方法突破：
1．在利用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简、证明时：
(1)如果函数种类比较多，可考虑切化弦；
(2)要特别注意平方关系的使用，如“1”的代换技巧和消去等．
2．诱导公式的记忆
记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角“±α，k∈Z”的三角函数值：当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时，原函数值的符号．
3．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：
五．真题明考向 备考上高速
1.(2010·全国卷Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝( )
A. B．－ C. D．－
1．(2010·全国卷Ⅱ)已知sin α＝，则cos(π－2α)＝( )
A．－ B．－ C. D.
2．已知cos(π＋x)＝，x∈(π，2π)，则tan x等于( )
A．－ B．－ C. D.
3．已知sin x＝2cos x，则sin2x＋1＝( )
A. B. C. D.
4．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx－β)，其中α、β、a、b均为非零实数，若f(2 010)＝－1，则f(2 011)等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.或
6.若，则的值为（ ）
A.- B C。 D.
7.若，则（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8.若为三角形的一个内角，且，则这个三角形是（ ）
A.正三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形