三角函数专题复习三
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文档简介
003三角函数的图象和性质
一．教材分析
（1）知识点： 三角函数的图象与性质
（2）考纲下载：1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.
二．知能巧整合 夯基砌大楼
1．周期函数及最小正周期
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有________________，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．
【思考探究】 1.所有的周期函数都有最小正周期吗？
提示： 不是所有的周期函数都有最小正周期，周期函数f(x)＝C(C为常数)就没有最小正周期．
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域
值域
单调性（递增，递减区间）
最值（最大，最小值）
奇偶性
对称中心
对称轴
最小正周期
【思考探究】正弦函数和余弦函数图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点有什么关系？
提示： y＝sin x与y＝cos x的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x，对称中心的横坐标都是它们的零点
三．课前热身
1．使函数y＝1＋3cos 2x(x∈R)取最大值的自变量x的集合为( )
A．{0} B．{x|x＝kπ，k∈Z}
C．{x|x＝2kπ，k∈Z} D.
2．函数y＝tan的定义域是( )
A. B.
C. D.
3．(2010·陕西卷)对于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2
4．比较大小，sin________sin.
5．函数y＝sin，x∈的值域是________．
四．典例解析
题型一：
1．求三角函数的定义域，既要注意一般函数的定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性，如题中出现tan x，则一定有x≠kπ＋(k∈Z)．
2．求三角函数的定义域通常使用三角函数线、三角函数图象和数轴．
(1)求函数y＝的定义域；
(2)y＝＋.
题型二：
三角函数的值域(最值)的一般方法：
(1)利用sin x、cos x的值域；
(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出y＝Asin(ωx＋φ)的值域；
(3)换元法：把sin x、cos x看作一个整体，可化为二次函数．
例2：求下列函数的值域：
(1)y＝2cos2x＋2cos x；
(2)y＝3cos x－sin x；
题型三：
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的确定，基本思路是把ωx＋φ看作一个整体，比如：由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．
2．若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间．对于函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性的讨论与以上类似．
例3：已知函数f(x)＝(sin2x－cos2x)－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设x∈，求f(x)的值域和单调递增区间．
【变式训练】 3.(1)求函数y＝sin，x∈[－π，π]的单调递减区间；
(2)求y＝3tan的周期及单调区间．
五．方法突破
1．求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象．
2．判断函数奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，一偶则偶，同奇则奇．
3．三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减．即同增异减．4．用三角函数的单调性比较两角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内．不属于的，可先化至同一单调区间内，再比较其大小．
5．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形化成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
六．真题明考向 备考上高速
从近两年的高考试题来看，三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法．
(本小题满分12分)(2010·天津卷)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．
一．教材分析
（1）知识点： 三角函数的图象与性质
（2）考纲下载：1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.
二．知能巧整合 夯基砌大楼
1．周期函数及最小正周期
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有________________，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．
【思考探究】 1.所有的周期函数都有最小正周期吗？
提示： 不是所有的周期函数都有最小正周期，周期函数f(x)＝C(C为常数)就没有最小正周期．
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域
值域
单调性（递增，递减区间）
最值（最大，最小值）
奇偶性
对称中心
对称轴
最小正周期
【思考探究】正弦函数和余弦函数图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点有什么关系？
提示： y＝sin x与y＝cos x的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x，对称中心的横坐标都是它们的零点
三．课前热身
1．使函数y＝1＋3cos 2x(x∈R)取最大值的自变量x的集合为( )
A．{0} B．{x|x＝kπ，k∈Z}
C．{x|x＝2kπ，k∈Z} D.
2．函数y＝tan的定义域是( )
A. B.
C. D.
3．(2010·陕西卷)对于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2
4．比较大小，sin________sin.
5．函数y＝sin，x∈的值域是________．
四．典例解析
题型一：
1．求三角函数的定义域，既要注意一般函数的定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性，如题中出现tan x，则一定有x≠kπ＋(k∈Z)．
2．求三角函数的定义域通常使用三角函数线、三角函数图象和数轴．
(1)求函数y＝的定义域；
(2)y＝＋.
题型二：
三角函数的值域(最值)的一般方法：
(1)利用sin x、cos x的值域；
(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出y＝Asin(ωx＋φ)的值域；
(3)换元法：把sin x、cos x看作一个整体，可化为二次函数．
例2：求下列函数的值域：
(1)y＝2cos2x＋2cos x；
(2)y＝3cos x－sin x；
题型三：
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的确定，基本思路是把ωx＋φ看作一个整体，比如：由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．
2．若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间．对于函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性的讨论与以上类似．
例3：已知函数f(x)＝(sin2x－cos2x)－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设x∈，求f(x)的值域和单调递增区间．
【变式训练】 3.(1)求函数y＝sin，x∈[－π，π]的单调递减区间；
(2)求y＝3tan的周期及单调区间．
五．方法突破
1．求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象．
2．判断函数奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，一偶则偶，同奇则奇．
3．三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减．即同增异减．4．用三角函数的单调性比较两角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内．不属于的，可先化至同一单调区间内，再比较其大小．
5．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形化成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
六．真题明考向 备考上高速
从近两年的高考试题来看，三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法．
(本小题满分12分)(2010·天津卷)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．