函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

第4课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
一．教材分析
（1）知识点：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
（2）考纲下载：1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.
二．知能巧整合 夯基砌大楼
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，
ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一
个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
___ T＝___ f＝__＝__ ______ __
2.用五点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图
用五点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，需找五个特征点：
x －
ωx＋φ __ __ ___ ___
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
【思考探究】　找五个点时，在上表的三行中，应首先确定哪一行的数据？
三．课前热身
1．把y＝sinx的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sin ωx的图象，则ω的值为(　　)
A．1　　 　B．4 C. D．2
2．(2010·全国卷Ⅱ)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin的图象(　　)
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
3．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为(　　)
A．1 B. C. D．2
4．弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s与时间t之间的关系式为s＝10sin ，t∈[0，＋∞)，则弹簧振子振动的周期为________，频率为________，振幅为________，相位是________，初相是________
5．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为________．
四．典例解析
题型一：
1．五点作图法
(1)当画函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈R上的图象时，一般令ωx＋φ＝0，，π，π，2π，
即可得到所画图象的特殊点坐标，其中横坐标成等差数列，公差为.(2)当画函数y＝Asin(ωx＋φ)在某个指定区间上的图象时，一般先求出ωx＋φ的范围，然后在这个范围内，选取特殊点，连同区间的两个端点一起列表．2．图象变换法
(1)平移变换：①沿x轴平移，按“左加右减”法则；②沿y轴平移，按“上加下减”法则．
(2)伸缩变换
①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的倍(纵坐标y不变)；
②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0例1：已知函数y＝2sin.
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
【变式训练】　1.设f(x)＝sin＋1.
(1)画出f(x)在上的图象；
(2)求函数的单调区间；
(3)如何由y＝sin x的图象变换得到f(x)的图象．
题型二：求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
步骤：(!)求A，b,确定函数的最大值M和最小值m,则，
（2）求，确定函数的周期T，则
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点作为突破口．具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
例2：(2009·陕西卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
题型三：三角函数模型的应用
三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，如本例，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是迅速建模．
例3.交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin表示，求：
(1)开始时的电压；
(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间．
五．方法突破
1．五点法作函数图象及函数图象变换问题
(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向．(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少
2．由图象确定函数解析式
由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一零点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．
3．对称问题
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)
4．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性．
六．真题明考向 备考上高速
(本小题满分12分)(2010·山东卷)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最小值．
1．(2010·重庆卷)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则(　　)
A．ω＝1，φ＝　　　　B．ω＝1，φ＝－ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
3．(2010·湖北卷)已知函数f(x)＝，g(x)＝sin 2x－.
(1)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过怎样的变化得出？
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值，并求使h(x)取得最小值的x的集合．