第5课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第5课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一．教材分析
（1）知识点：和角公式、倍角公式和半角公式、积化和差与和差化积
（2）考纲下载：1.会用向量知识或三角函数线推导出两角差的余弦公式.
2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
4.能利用两角和的正弦、余弦和正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
5.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
二．知能巧整合 夯基砌大楼
1．两角和与差的三角函数公式
sin(α±β)＝_____________________；cos(α±β)＝_____________________；
tan(α±β)＝_____________.
其变形为：
tan α＋tan β＝________________________；tan α－tan β__________________ tan αtan β＝__________________.
2．二倍角公式
sin 2α＝_____________；cos 2α＝_____________＝___________＝____________；
tan 2α＝__________.
其公式变形为：
sin2α＝___________；cos2α＝___________.
三．课前热身
1.计算的值为（ ）
B. C. D.
2．计算1－2sin2 22.5°的结果等于(　　)
A. B. C. D.
3．(2010·全国新课标卷)若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
4．已知tan＝，则tan α＝________.
5.若，则_________________
四．典例解析
题型一：
应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．
例1：已知α∈，tan α＝，求tan 2α和sin的值．
【变式训练】　1.已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－，求f(α)的值．
例2：求值：
【变式训练】　2.求值：－sin 10°.
题型二：
1.“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
3．常见的配角技巧
α＝2·；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝[(α＋β)＋(α－β)]；
β＝[(α＋β)－(α－β)]；＋α＝－.
【注意】　特殊的角也看成已知角，如α＝－.
例3.已知cos＝，x∈..(1)求sin x的值；(2)求sin的值．
【变式训练】　3.已知0＜α＜＜β＜π，cos＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin 2β的值；(2)求cos的值．
五．方法突破
1．理解和运用两角和与差的三角函数公式需注意的几个问题
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系
①掌握好公式的内在联系及其推导过程，能帮助我们理解和记忆公式，是学好这部分内容的关键．
②诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况，α、β中若有的整数倍角时，使用诱导公式更灵活、简便．
(2)公式的逆用及有关变形
tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)；
sin α·cos α＝sin 2α；
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2；
sin α±cos α＝sin.
2．理解和运用二倍角公式需注意的几个问题
(1)掌握二倍角公式与两角和公式之间的内在联系能帮助我们理解与记忆公式．
(2)公式的逆用及有关变形
sin2α＝；cos2α＝(降幂公式)；tan2α＝；
1－cos 2α＝2sin2α；1＋cos 2α＝2cos2α(升幂公式)．
(3)二倍角的相对性
4α＝2·(2α)；＝2·；3α＝2·；＝2·.
六．真题明考向 备考上高速
通过对近三年高考试题的分析可以看出，对本部分内容的考查，各种题型均可能出现，一般是基础题，难度不会太大，整个命题过程主要侧重以两角和与差的三角函数公式为基础，求三角函数的值或化简三角函数式．解答此类问题往往与两角和差的三角公式及同角的三角函数关系式有关，但这类题目考查的重心是两角和与差的三角函数公式．
1.(2010·四川卷)(1)①证明两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
(2)已知△ABC的面积S＝，·＝3，且cos B＝，求cos C. 1．(2010·全国卷Ⅰ)已知α为第二象限的角，sin α＝，则tan 2α＝________.
2．(2010·全国卷Ⅰ)已知α为第二象限的角，sin α＝，则tan 2α＝________.
3．(2010·上海卷)已知0＜x＜，化简：lg＋lg－lg(1＋sin 2x)．
4．(2009·广东卷)已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈. (1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，0＜φ＜，求cos φ的值．