简单的三角恒等变换
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第6课时 简单的三角恒等变换
一．知能巧整合 夯基砌大楼
1．化简三角函数式的基本要求：
(1)能求出值的要求出值来；
(2)使三角函数式的项数、三角函数的种类及角的种类尽可能少；
(3)使三角函数式的次数尽可能低；
(4)分母中尽量不含三角函数式和根式．
2．三角函数式的求值
三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角．
(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．
（2）给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值带入，从而达到解题的目的。
（3）给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角对应区间的单调性，从而达到解题的目的。
二．课前热身
1．在△ABC中，已知2sin A·cos B＝sin C，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
2．已知π＜α＜2π，则cos 等于( )
A．－ B. C．－ D.
形
3．已知tan α＝，由等于( )
A．3 B．6 C．12 D.
4．函数y＝sin 2x＋cos2x－的最小正周期等于________．
5．若tan＝3，则＝________.
四．典例解析
题型一：
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
例1：化简：(1)sin＋cos；(2)
变式训练：1. 化简：
题型二：
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．
(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．
(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径对条件等式进行变形，直到得到所证等式，或者将欲证等式及条件进行变式，创造机会代入条件，最终推导出所证等式．
例2：求证：＝sin 2α
【变式训练】2.求证：
题型三：
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：（1）先化简所求式子;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）；
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值。
例3：已知α、β为锐角，向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝.
(1)若a·b＝，a·c＝，求角2β－α的值；
(2)若a＝b＋c，求sin 2α的值
【变式训练】 3.已知0＜α＜＜β＜π，tan＝，cos(β－α)＝.
(1)求sin α的值；(2)求β的值．
五．方法突破
1.化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式；
（2）消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异。
2．求值：主要有三类求值问题
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
六．真题明考向 备考上高速
考情分析：从近两年的高考试题来看，利用同角三角函数的关系改变三角函数的名称，利用诱导公式、和差角公式及二倍角公式改变角的恒等变换是高考的热点，常与三角函数式的求值、三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查，既有选择题、填空题，又有解答题，属中低档题．
(本小题满分12分)设函数f(x)＝3sin，ω＞0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．
(1)求f(0)；(2)求f(x)的解析式；(3)已知f＝，求sinα的值．
1．(2010·全国新课标卷)若cos α＝－，α是第三象限的角，则＝( )
A．－ B. C．2 D．－2
2．(2010·全国卷Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos2α＝－，则tan＝________.
3．(2010·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝(a2＋b2－c2)．
(1)求角C的大小；
(2)求sin A＋sin B的最大值．
一．知能巧整合 夯基砌大楼
1．化简三角函数式的基本要求：
(1)能求出值的要求出值来；
(2)使三角函数式的项数、三角函数的种类及角的种类尽可能少；
(3)使三角函数式的次数尽可能低；
(4)分母中尽量不含三角函数式和根式．
2．三角函数式的求值
三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角．
(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．
（2）给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值带入，从而达到解题的目的。
（3）给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角对应区间的单调性，从而达到解题的目的。
二．课前热身
1．在△ABC中，已知2sin A·cos B＝sin C，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
2．已知π＜α＜2π，则cos 等于( )
A．－ B. C．－ D.
形
3．已知tan α＝，由等于( )
A．3 B．6 C．12 D.
4．函数y＝sin 2x＋cos2x－的最小正周期等于________．
5．若tan＝3，则＝________.
四．典例解析
题型一：
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
例1：化简：(1)sin＋cos；(2)
变式训练：1. 化简：
题型二：
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．
(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．
(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径对条件等式进行变形，直到得到所证等式，或者将欲证等式及条件进行变式，创造机会代入条件，最终推导出所证等式．
例2：求证：＝sin 2α
【变式训练】2.求证：
题型三：
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：（1）先化简所求式子;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）；
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值。
例3：已知α、β为锐角，向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝.
(1)若a·b＝，a·c＝，求角2β－α的值；
(2)若a＝b＋c，求sin 2α的值
【变式训练】 3.已知0＜α＜＜β＜π，tan＝，cos(β－α)＝.
(1)求sin α的值；(2)求β的值．
五．方法突破
1.化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式；
（2）消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异。
2．求值：主要有三类求值问题
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
六．真题明考向 备考上高速
考情分析：从近两年的高考试题来看，利用同角三角函数的关系改变三角函数的名称，利用诱导公式、和差角公式及二倍角公式改变角的恒等变换是高考的热点，常与三角函数式的求值、三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查，既有选择题、填空题，又有解答题，属中低档题．
(本小题满分12分)设函数f(x)＝3sin，ω＞0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．
(1)求f(0)；(2)求f(x)的解析式；(3)已知f＝，求sinα的值．
1．(2010·全国新课标卷)若cos α＝－，α是第三象限的角，则＝( )
A．－ B. C．2 D．－2
2．(2010·全国卷Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos2α＝－，则tan＝________.
3．(2010·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝(a2＋b2－c2)．
(1)求角C的大小；
(2)求sin A＋sin B的最大值．