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水平面内的匀速圆周运动
(物理观念——运动与相互作用观念)
1．运动特点：
(1)运动轨迹在水平面内；
(2)做匀速圆周运动。
2．受力特点：
(1)物体所受合力大小不变，方向总是指向圆心；
(2)合力充当向心力。
3．解题思路：
(多选)如图，内部光滑的半球形容器固定放置，两个完全相同的小球a、b分别沿容器内部，在不同的水平面内做匀速圆周运动，下列判断正确的是( )
A.内壁对a的压力大于内壁对b的压力
B．a的周期大于b的周期
C．a的角速度大于b的角速度
D．a的向心加速度大小小于b的向心加速度大小
【解析】选A、C。以任意一球为研究对象，受力情况如图。由图得到轨道对小球的支持力N＝，对于两球θa＞θb，所以Na＞Nb，故A正确；小球受重力mg和内壁的支持力N，由两力合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mg
tan
θ＝mω2r，解得：ω＝。设球的半径为R，根据几何关系可知，运动半径r＝R
sin
θ，则ω＝，对于两球θa＞θb，则ωa＞ωb，周期Tatan
θ，对于两球θa＞θb，则向心加速度aa＞ab，故D错误。
1．(水平2)两根长度不同的细线下面分别悬挂着小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个小球在运动过程中的相对位置关系示意图正确的是( )
【解析】选B。对小球受力分析，如图。小球做匀速圆周运动，有
mg
tan
θ＝mω2L
sin
θ，解得L
cos
θ＝，即两球处于同一高度，故选项B正确。
2.(水平4)港珠澳大桥总长约55
km，是世界上总体跨度最长、钢结构桥体最长、海底沉管隧道最长的跨海大桥，也是世界公路建设史上技术最复杂、施工难度最高、工程规模最庞大的桥梁。如图所示的路段是一段半径约为120
m的圆弧形弯道，路面水平，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为正压力的0.8倍，下雨时路面被雨水淋湿，路面对轮胎的径向最大静摩擦力变为正压力的0.4倍，若汽车通过圆弧形弯道时做匀速圆周运动，汽车可视为质点，取重力加速度g＝10
m/s2，下列说法正确的是( )
A．汽车以72
km/h的速率通过此圆弧形弯道时的向心加速度为43.2
m/s2
B．汽车以72
km/h的速率通过此圆弧形弯道时的角速度为0.6
rad/s
C．晴天时，汽车以100
km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
D．下雨时，汽车以60
km/h的速率通过此圆弧形弯道时将做离心运动
【解析】选C。汽车通过此圆弧形弯道时做匀速圆周运动，轨道半径R＝120
m，运动速率v＝72
km/h＝20
m/s，向心加速度为a＝≈3.3
m/s2，角速度ω＝＝
rad/s，故A、B错；以汽车为研究对象，当路面对轮胎的径向摩擦力指向内侧且达到径向最大静摩擦力时，此时汽车的速率为安全通过圆弧形弯道的最大速率vm，设汽车的质量为m，在水平方向上根据牛顿第二定律得fm＝
eq
\f(mv,R)
；在竖直方向上有FN＝mg，径向最大静摩擦力为正压力的0.8倍，即fm＝kFN，解得vm＝≈31.0
m/s＝111.6
km/h，所以晴天时汽车以100
km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道，故C正确；下雨时，路面对轮胎的径向最大静摩擦力变为正压力的0.4倍，有v′m＝≈21.9
m/s≈78.8
km/h，60
km/h<78.8
km/h，所以汽车可以安全通过此圆弧形弯道，且不做离心运动，故D错误。
【补偿训练】如图所示为半球形容器，物块A静止在容器内，此时物块与球心的连线与竖直方向的夹角为α。让半球形容器绕过球心的竖直轴匀速转动，物块相对容器始终保持静止，则( )
A．在匀速转动过程中，物块受到的合力总是指向球心
B．随着转动的角速度增大，物块对容器的压力不变
C．随着转动的角速度增大，物块与容器间的摩擦力增大
D．在匀速转动过程中，物块A可能只受两个力
【解析】选D。匀速转动时，物块做的是水平面内的匀速圆周运动，合力沿水平方向指向转轴，A错误；在转速增大过程中，物块开始受到圆弧对它沿圆弧切线向上的摩擦力减小，后沿圆弧切线向下的摩擦力增大，竖直方向合力始终为零，根据竖直方向力的平衡可知，随着转动的角速度增大，物块对容器的压力增大，B、C错误；当摩擦力为零时mg
tan
α＝mRω2sin
α，即ω＝，此时物块只受两个力，D正确。
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"考点2.TIF"
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"考点2.TIF"
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轻绳模型(科学思维——模型建构)
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"能力形成.TIF"
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"能力形成.TIF"
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如图所示，细绳系的小球在竖直面做圆周运动，以及小球在圆轨道内侧运动，二者运动规律相同，统称为轻绳模型。
1．最低点运动学方程：FT1－mg＝m
eq
\f(v,L)
所以FT1＝mg＋m
eq
\f(v,L)
2．最高点运动学方程：FT2＋mg＝m
eq
\f(v,L)
所以FT2＝m
eq
\f(v,L)
－mg
3．最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由FT2＋mg＝
eq
\f(mv,L)
可知，当FT2＝0时，v2最小，最小速度为v2＝。
(1)当v2＝时，拉力或压力为零。
(2)当v2>时，小球受向下的拉力或压力。
(3)当v2<时，小球不能到达最高点。
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"典题培优.TIF"
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"典题培优.TIF"
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(多选)如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )
A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
【解析】选C、D。小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力，也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，故A项错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力提供，则可以使绳子的拉力为零，故B项错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点重力提供向心力，v＝，故C项正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确。
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"进阶冲关.TIF"
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"进阶冲关.TIF"
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1．(水平2)“快乐向前冲”节目中有这样一个项目，选手需要借助悬挂在高处的绳飞跃到对面的平台上，已知选手的质量为m，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角为α，如图所示，不考虑空气阻力和绳的质量(选手可视为质点)，下列说法正确的是( )
A.选手摆动到最低点时所受绳子的拉力等于mg
B．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于mg
C．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于选手对绳子的拉力
D．选手摆动到最低点的运动过程为匀变速曲线运动
【解析】选B。由于选手摆动到最低点时，绳子拉力和选手自身重力的合力提供选手做圆周运动的向心力，有FT－mg＝Fn，FT＝mg＋Fn＞mg，故B项正确，A项错误；选手所受绳子的拉力和选手对绳子的拉力为作用力和反作用力，大小相等，故C项错误；选手到最低点过程中，加速度大小和方向都变化，故D项错误。
2．(水平4)如图所示是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝的速度过轨道最高点B，并以v2＝v1的速度过最低点A。求在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差多少？
【解析】在B点，FB＋mg＝m
eq
\f(v,R)
，解之得FB＝mg；在A点，FA－mg＝m
eq
\f(v,R)
，解之得FA＝7mg，所以在A、B两点轨道对车的压力大小相差6mg。
答案：6mg
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"考点3.TIF"
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轻杆模型(科学思维——模型建构)
如图，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动，统称为轻杆模型。
1．最高点的最小速度：
由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg。
2．小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况：
(1)v>，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，mg＋F＝m，所以F＝m－mg，F随v增大而增大。
(2)v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0，mg＝m。
(3)0INCLUDEPICTURE
"典题培优.TIF"
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"典题培优.TIF"
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长L＝0.5
m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2
kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小(g＝10
m/s2)。
(1)A的速率为1
m/s；
(2)A的速率为4
m/s。
【解析】以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，则有mg＋F＝m。
(1)代入数据v1＝1
m/s，可得F＝m(
eq
\f(v,L)
－g)＝2×(－10)
N＝－16
N，即A受到杆的支持力为16
N。根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16
N。
(2)代入数据v2＝4
m/s，可得F′＝m(
eq
\f(v,L)
－g)＝2×(－10)
N＝44
N，即A受到杆的拉力为44
N。根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44
N。
答案：(1)16
N (2)44
N
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"进阶冲关.TIF"
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"进阶冲关.TIF"
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1．(水平2)如图，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动。当小球运动到最高点时，即时速度为v＝，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是( )
A.mg的拉力
B．mg的压力
C．零
D．mg的压力
【解析】选B。当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝m，解得v′＝，所以＜时杆对球是支持力，即mg－FN＝m，解得FN＝mg，由牛顿第三定律，球对杆的作用力是压力，故B项正确。
2．(多选)(水平4)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F v2图像如图乙所示。则( )
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
【解析】选A、C、D。当小球受到的弹力F方向向下时，F＋mg＝，解得F＝v2－mg，当弹力F方向向上时，mg－F＝m，解得F＝mg－m，对比F v2图像可知，b＝gR，a＝mg，联立解得g＝，m＝，故A项正确，B项错误；v2＝c时，小球受到的弹力方向向下，则小球对杆的弹力方向向上，故C项正确；v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等，故D项正确。
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水平面内的匀速圆周运动
(物理观念——运动与相互作用观念)
1．运动特点：
(1)运动轨迹在水平面内；
(2)做匀速圆周运动。
2．受力特点：
(1)物体所受合力大小不变，方向总是指向圆心；
(2)合力充当向心力。
3．解题思路：
(多选)如图，内部光滑的半球形容器固定放置，两个完全相同的小球a、b分别沿容器内部，在不同的水平面内做匀速圆周运动，下列判断正确的是( )
A.内壁对a的压力大于内壁对b的压力
B．a的周期大于b的周期
C．a的角速度大于b的角速度
D．a的向心加速度大小小于b的向心加速度大小
1．(水平2)两根长度不同的细线下面分别悬挂着小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个小球在运动过程中的相对位置关系示意图正确的是( )
2.(水平4)港珠澳大桥总长约55
km，是世界上总体跨度最长、钢结构桥体最长、海底沉管隧道最长的跨海大桥，也是世界公路建设史上技术最复杂、施工难度最高、工程规模最庞大的桥梁。如图所示的路段是一段半径约为120
m的圆弧形弯道，路面水平，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为正压力的0.8倍，下雨时路面被雨水淋湿，路面对轮胎的径向最大静摩擦力变为正压力的0.4倍，若汽车通过圆弧形弯道时做匀速圆周运动，汽车可视为质点，取重力加速度g＝10
m/s2，下列说法正确的是( )
A．汽车以72
km/h的速率通过此圆弧形弯道时的向心加速度为43.2
m/s2
B．汽车以72
km/h的速率通过此圆弧形弯道时的角速度为0.6
rad/s
C．晴天时，汽车以100
km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
D．下雨时，汽车以60
km/h的速率通过此圆弧形弯道时将做离心运动
【补偿训练】如图所示为半球形容器，物块A静止在容器内，此时物块与球心的连线与竖直方向的夹角为α。让半球形容器绕过球心的竖直轴匀速转动，物块相对容器始终保持静止，则( )
A．在匀速转动过程中，物块受到的合力总是指向球心
B．随着转动的角速度增大，物块对容器的压力不变
C．随着转动的角速度增大，物块与容器间的摩擦力增大
D．在匀速转动过程中，物块A可能只受两个力
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轻绳模型(科学思维——模型建构)
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如图所示，细绳系的小球在竖直面做圆周运动，以及小球在圆轨道内侧运动，二者运动规律相同，统称为轻绳模型。
1．最低点运动学方程：FT1－mg＝m
eq
\f(v,L)
所以FT1＝mg＋m
eq
\f(v,L)
2．最高点运动学方程：FT2＋mg＝m
eq
\f(v,L)
所以FT2＝m
eq
\f(v,L)
－mg
3．最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由FT2＋mg＝
eq
\f(mv,L)
可知，当FT2＝0时，v2最小，最小速度为v2＝。
(1)当v2＝时，拉力或压力为零。
(2)当v2>时，小球受向下的拉力或压力。
(3)当v2<时，小球不能到达最高点。
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(多选)如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )
A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
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1．(水平2)“快乐向前冲”节目中有这样一个项目，选手需要借助悬挂在高处的绳飞跃到对面的平台上，已知选手的质量为m，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角为α，如图所示，不考虑空气阻力和绳的质量(选手可视为质点)，下列说法正确的是( )
A.选手摆动到最低点时所受绳子的拉力等于mg
B．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于mg
C．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于选手对绳子的拉力
D．选手摆动到最低点的运动过程为匀变速曲线运动
2．(水平4)如图所示是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝的速度过轨道最高点B，并以v2＝v1的速度过最低点A。求在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差多少？
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轻杆模型(科学思维——模型建构)
如图，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动，统称为轻杆模型。
1．最高点的最小速度：
由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg。
2．小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况：
(1)v>，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，mg＋F＝m，所以F＝m－mg，F随v增大而增大。
(2)v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0，mg＝m。
(3)0INCLUDEPICTURE
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长L＝0.5
m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2
kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小(g＝10
m/s2)。
(1)A的速率为1
m/s；
(2)A的速率为4
m/s。
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1．(水平2)如图，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动。当小球运动到最高点时，即时速度为v＝
2．(多选)(水平4)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F v2图像如图乙所示。则( )
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
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