十八 机械能守恒定律
【学考达标】 (20分钟 50分)
一、选择题(本题共6小题，每题6分，共36分)
1．下列运动过程中，满足机械能守恒的是( )
A．沿圆弧匀速下滑的物块
B．在空气中匀速下落的雨滴
C．沿竖直光滑圆轨道运动的小球
D．平直轨道减速进站的列车
2．如图所示，同学们坐在相同的轮胎上，从倾角相同的平直雪道先后由同高度静止滑下，各轮胎与雪道间的动摩擦因数均相同，不计空气阻力。雪道上的同学们( )
A.沿雪道做匀速直线运动
B.
下滑过程中机械能均守恒
C.
前后间的距离随时间不断增大
D.
所受重力沿雪道向下的分力相同
3.如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为( )
A．
B．
C．
D．4
4.如图，弹性轻绳的一端套在手指上，另一端与弹力球连接，用手将弹力球以某一竖直向下的初速度抛出，抛出后手保持不动。从球抛出瞬间至球第一次到达最低点的过程中(弹性轻绳始终在弹性限度内，不计空气阻力)，下列说法正确的是( )
A．绳刚伸直时，球的动能最大
B．该过程中，球的机械能守恒
C．该过程中，重力对球做的功等于球克服绳的拉力做的功
D．该过程中，轻绳的弹性势能和小球的动能之和一直增大
5．质量为m的物体，从静止开始以2g的加速度竖直向下运动的位移为h
，空气阻力忽略不计，下列说法正确的是( )
A．物体的重力势能增加mgh
B．物体的重力势能减少2mgh
C．物体的动能增加2mgh
D．物体的机械能保持不变
6．如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是( )
A.小球的机械能守恒
B．小球的机械能减少
C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．小球和弹簧组成的系统机械能不守恒
【补偿训练】
两物体质量之比为1∶3，它们距离地面高度之比也为1∶3，让它们自由下落，它们落地时的动能之比为( )
A．1∶3
B．3∶1
C．1∶9
D．9∶1
二、计算题(14分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要标明单位)
7.如图所示，质量m＝70
kg的运动员以10
m/s的速度，从高h＝10
m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B为零势能面，一切阻力可忽略不计。(取g＝10
m/s2)，求运动员：
(1)在A点时的机械能；
(2)到达最低点B时的速度大小；
(3)能到达的最大高度。
【选考提升】 (20分钟 50分)
8.(9分)某次篮球比赛中，一运动员将球由静止快速出手，篮球空心入网。已知篮球质量为m，出手时篮球距离地面高度为h1，速度大小为v，篮筐距离地面高度为h2。不计空气阻力和篮网对球的作用力，篮球可视为质点，以地面为零势能面，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．手对篮球做功为mv2
B．篮球进筐时的动能为mv2－mgh2
C．篮球进筐时的机械能为mv2＋mgh2
D．篮球进筐后落地瞬间的机械能为mgh2
9.(9分)(多选)如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度大小为g，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体( )
A．机械能损失了mgh
B．克服摩擦力做功mgh
C．动能损失了mgh
D．重力势能增加了mgh
10.(9分)(多选)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1
kg和2
kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2
m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1
m。两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10
m/s2。则下列说法中正确的是( )
A．下滑的整个过程中A球机械能不守恒
B．下滑的整个过程中两球组成的系统机械能不守恒
C．两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2
m/s
D．下滑的整个过程中B球机械能的增加量为
J
11．(10分)(
2021·浙江1月学考)
如图所示，竖直平面内由倾角α＝60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形细圆管轨道BCDE和圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直。轨道出口处G和圆心O2的连线，以及O2、E、O1和B四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ＝30°，G点与竖直墙面的距离d＝R。现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放。不计小球大小和所受阻力。
(1)若释放处高度h＝h0，求小球运动到圆管最低点时速度大小vC；
(2)求小球在圆管最低点C所受弹力FN与h的关系式；
(3)小球离开G点之后恰好垂直撞击墙面，求释放处高度h。
12．(13分)(创新应用)如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，CD连线是圆轨道竖直方向的直径(C、D为圆轨道的最低点和最高点)，已知∠BOC＝30°。可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出滑块经过圆轨道最高点D时对轨道的压力为F，并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图像，取g＝10
m/s2。
(1)求滑块的质量和圆轨道的半径；
(2)是否存在某个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点。若存在，请求出H值；若不存在，请说明理由。
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-十八 机械能守恒定律
【学考达标】 (20分钟 50分)
一、选择题(本题共6小题，每题6分，共36分)
1．下列运动过程中，满足机械能守恒的是( )
A．沿圆弧匀速下滑的物块
B．在空气中匀速下落的雨滴
C．沿竖直光滑圆轨道运动的小球
D．平直轨道减速进站的列车
【解析】选C。沿圆弧匀速下滑，动能不变，重力势能减小，机械能等于重力势能与动能之和，所以机械能减小，不守恒，A错误；匀速下落的雨滴，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小，不守恒，B错误；沿竖直光滑圆轨道运动的小球，只有重力做功，动能和重力势能相互转化，总机械能不变，守恒，C正确；平直轨道减速进站的列车，重力势能不变，动能减小，所以机械能减小，不守恒，D错误。
2．如图所示，同学们坐在相同的轮胎上，从倾角相同的平直雪道先后由同高度静止滑下，各轮胎与雪道间的动摩擦因数均相同，不计空气阻力。雪道上的同学们( )
A.沿雪道做匀速直线运动
B.
下滑过程中机械能均守恒
C.
前后间的距离随时间不断增大
D.
所受重力沿雪道向下的分力相同
【解析】选C。同学们坐在轮胎上从静止开始沿雪道下滑，做加速运动，受力分析如图，根据牛顿第二定律可知加速度a＝＝g
sin
θ－μg
cos
θ，又因为μ相同，所以同学们都做匀加速直线运动，A错误；下滑过程中摩擦力做负功，雪道上的同学们机械能减小，B错误；根据匀加速直线运动位移与时间的关系x＝at2可知Δx＝a(t＋Δt)2－at2＝atΔt＋aΔt2，所以同学们前后距离随着时间不断增大，
C正确；各同学质量可能不同，所以重力沿雪道向下的分力mg
sin
θ也可能不相同，D错误。
3.如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为( )
A．
B．
C．
D．4
【解析】选C。由机械能守恒定律ΔEp减＝ΔEk增，
即mg·－mg·＝mv2，所以v＝。
4.如图，弹性轻绳的一端套在手指上，另一端与弹力球连接，用手将弹力球以某一竖直向下的初速度抛出，抛出后手保持不动。从球抛出瞬间至球第一次到达最低点的过程中(弹性轻绳始终在弹性限度内，不计空气阻力)，下列说法正确的是( )
A．绳刚伸直时，球的动能最大
B．该过程中，球的机械能守恒
C．该过程中，重力对球做的功等于球克服绳的拉力做的功
D．该过程中，轻绳的弹性势能和小球的动能之和一直增大
【解析】选D。绳伸直前，球在做加速运动。绳伸直以后，开始阶段，重力大于绳的拉力，合力向下，球的速度增大，故球的动能增大，当重力与拉力相等时球的速度最大，动能最大，故A错误；由于绳的拉力对球做功，所以球的机械能不守恒，故B错误；该过程中，由于球的动能减小，根据动能定理知重力对球做的功与绳的拉力做的功之和为负值，所以重力对球做的功小于球克服绳的拉力做的功，故C错误；由于只有重力和弹性绳的弹力做功，所以球、绳和地球组成的系统机械能守恒，则轻绳的弹性势能、小球的动能和重力势能之和保持不变，重力势能一直在减小，则轻绳的弹性势能和小球的动能之和一直增大，故D正确。
5．质量为m的物体，从静止开始以2g的加速度竖直向下运动的位移为h
，空气阻力忽略不计，下列说法正确的是( )
A．物体的重力势能增加mgh
B．物体的重力势能减少2mgh
C．物体的动能增加2mgh
D．物体的机械能保持不变
【解析】选C。物体竖直向下运动，重力做正功，重力做功为W＝mgh，重力势能减小。且重力势能减小量等于重力做功的值：ΔEp＝mgh，所以A、B错误；根据牛顿第二定律F合＝ma＝2mg，则合力做功为2mgh，根据动能定理：ΔEk＝F合h＝2mgh，C正确；因为物体F合＝2mg，故物体受外力大小为mg，外力对物体做正功，故机械能不守恒，D错误。
6．如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是( )
A.小球的机械能守恒
B．小球的机械能减少
C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．小球和弹簧组成的系统机械能不守恒
【解析】选B。由A到B的过程中，弹簧对小球做负功，则小球的机械能将减少，故A错误，B正确；根据系统的机械能守恒知，小球的动能、重力势能与弹簧的弹性势能之和不变，而小球的动能增大，则小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和变小，故C错误；只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，即弹簧与小球的总机械能守恒，D错误。
【补偿训练】
两物体质量之比为1∶3，它们距离地面高度之比也为1∶3，让它们自由下落，它们落地时的动能之比为( )
A．1∶3
B．3∶1
C．1∶9
D．9∶1
【解析】选C。只有重力做功，机械能守恒。取地面为零势能面，则落地时动能之比等于初位置重力势能之比，据Ep＝mgh，有Ep1∶Ep2＝1∶9，所以
Ek1∶Ek2＝1∶9，选项C正确。
二、计算题(14分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要标明单位)
7.如图所示，质量m＝70
kg的运动员以10
m/s的速度，从高h＝10
m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B为零势能面，一切阻力可忽略不计。(取g＝10
m/s2)，求运动员：
(1)在A点时的机械能；
(2)到达最低点B时的速度大小；
(3)能到达的最大高度。
【解析】(1)运动员在A点时的机械能
E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝×70×102
J＋70×10×10
J＝10
500
J。
(2)运动员从A运动到B的过程，
根据机械能守恒定律得E＝mv，
解得vB＝＝
m/s＝10
m/s。
(3)运动员从A运动到斜坡上最高点的过程，
由机械能守恒得E＝mgh′，
解得h′＝
m＝15
m。
答案：(1)10
500
J (2)10
m/s (3)15
m
【选考提升】 (20分钟 50分)
8.(9分)某次篮球比赛中，一运动员将球由静止快速出手，篮球空心入网。已知篮球质量为m，出手时篮球距离地面高度为h1，速度大小为v，篮筐距离地面高度为h2。不计空气阻力和篮网对球的作用力，篮球可视为质点，以地面为零势能面，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．手对篮球做功为mv2
B．篮球进筐时的动能为mv2－mgh2
C．篮球进筐时的机械能为mv2＋mgh2
D．篮球进筐后落地瞬间的机械能为mgh2
【解析】选A。投篮过程，由动能定理得：手对篮球做功W＝mv2，故A正确；从出手到进筐的过程中，由动能定理得：－mg(h2－h1)＝Ek－mv2，可得篮球进筐时的动能为Ek＝mv2＋mgh1－mgh2，故B错误；篮球离开手后只有重力做功，机械能守恒，所以进筐时，篮球的机械能等于刚出手时篮球的机械能，也等于落地瞬间的机械能，即为mv2＋mgh1，故C、D错误。
9.(9分)(多选)如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度大小为g，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体( )
A．机械能损失了mgh
B．克服摩擦力做功mgh
C．动能损失了mgh
D．重力势能增加了mgh
【解析】选A、C。物体在斜面上上升的最大高度为h，克服重力做功为mgh，所以重力势能增加了mgh，故D错误；物体运动的加速度大小为a＝g，根据牛顿第二定律知，mgsin30°＋f＝ma＝mg，解得：f＝mg，则物体克服摩擦力做功为Wf＝f·2h＝mgh，故B错误；物体所受的合力为F合＝ma＝mg，方向沿斜面向下，根据动能定理得：ΔEk＝－F合·2h＝－mgh，所以知动能损失了mgh，故C正确；物体克服摩擦力做功为mgh，根据功能原理：除重力以外的力做的功等于物体机械能的变化量，则知机械能损失了mgh，故A正确。
10.(9分)(多选)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1
kg和2
kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2
m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1
m。两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10
m/s2。则下列说法中正确的是( )
A．下滑的整个过程中A球机械能不守恒
B．下滑的整个过程中两球组成的系统机械能不守恒
C．两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2
m/s
D．下滑的整个过程中B球机械能的增加量为
J
【解析】选A、D。在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但B在水平面滑行，而A在斜面滑行时，B球的速度突变为水平方向，杆对A有力的作用，杆的弹力对A做功，所以A球机械能不守恒，故选项A正确，B错误；根据系统机械能守恒得mAg(h＋Lsin30°)＋mBgh＝(mA＋mB)v2，代入解得v＝
m/s，故选项C错误。系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为mBv2－mBgh＝
J，故选项D正确。
11．(10分)(
2021·浙江1月学考)
如图所示，竖直平面内由倾角α＝60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形细圆管轨道BCDE和圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直。轨道出口处G和圆心O2的连线，以及O2、E、O1和B四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ＝30°，G点与竖直墙面的距离d＝R。现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放。不计小球大小和所受阻力。
(1)若释放处高度h＝h0，求小球运动到圆管最低点时速度大小vC；
(2)求小球在圆管最低点C所受弹力FN与h的关系式；
(3)小球离开G点之后恰好垂直撞击墙面，求释放处高度h。
【解析】(1)根据机械能守恒mgh0＝mv解得vC＝；
(2)根据牛顿运动定律F合＝
eq
\f(mv,R)
，F合＝FN－mg，联立解得FN＝mg(＋1)；
(3)小球可以看成平抛运动的逆运动d＝vxt，vy＝gt，其中vx＝vG
sin
θ，vy＝vG
cos
θ
整理解得vG＝2，又由机械能守恒可知
mg＝mv，解得h＝R。
答案：(1) (2)FN＝mg(＋1) (3)R
12．(13分)(创新应用)如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，CD连线是圆轨道竖直方向的直径(C、D为圆轨道的最低点和最高点)，已知∠BOC＝30°。可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出滑块经过圆轨道最高点D时对轨道的压力为F，并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图像，取g＝10
m/s2。
(1)求滑块的质量和圆轨道的半径；
(2)是否存在某个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点。若存在，请求出H值；若不存在，请说明理由。
【解析】(1)小滑块由A到D，根据机械能守恒定律有
mg(H－2R)＝mv
由牛顿第三定律得轨道对小滑块的支持力F′＝F，
在D点，由牛顿第二定律得F＋mg＝
eq
\f(mv,R)
解得F＝－mg
取点(0.50
m，0)和(1.00
m，5.0
N)代入上式得
m＝0.1
kg，R＝0.2
m；
(2)假设滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的E点(如图所示)，
OE＝，滑块的水平位移x＝OE＝vDPt，
滑块的竖直位移R＝gt2，
解得vDP＝2
m/s，
而滑块过D点的临界速度vDL＝＝
m/s，
由于vDP>vDL，所以存在一个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点。
此时，根据机械能守恒定律有mg(H－2R)＝mv，
解得H＝0.6
m。
答案：(1)0.1
kg 0.2
m (2)存在 0.6
m
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