十三 宇
宙
航
行
【学考达标】 (20分钟 50分)
一、选择题(本题共6小题，每题6分，共36分)
1．物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动时的速度叫作第一宇宙速度。关于第一宇宙速度，下列说法正确的是( )
A．第一宇宙速度大小约为11.2
km/s
B．第一宇宙速度是使人造卫星绕地球运动所需的最大发射速度
C．第一宇宙速度是人造卫星绕地球运动的最小运行速度
D．若已知地球的半径和地球表面的重力加速度，即可求出第一宇宙速度
【解析】选D。由万有引力提供向心力可知第一宇宙速度v1＝①，根据万有引力等于重力得mg＝②，由①②得v1＝，将g＝9.8
m/s2，R＝6.4×106
m代入速度公式得v1≈7.9
km/s，故A项错误，D项正确；第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，故B项错误；由v1＝可得，当半径越大时，其运动速度越小，所以第一宇宙速度是卫星能绕地球做匀速圆周运动的最大速度，故C项错误。
2．下列关于同步通信卫星的说法错误的是( )
A．各国发射的地球同步卫星的高度和速率都是相等的
B．同步通信卫星的角速度虽已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大，高度降低，速率减小，仍同步
C．我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114
min，它的高度比同步卫星低
D．同步通信卫星的速率比我国发射的第一颗人造地球卫星速率小
【解析】选B。所有的同步卫星周期相等，高度和速率也相同，故A项正确、B项错误；我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114
min，周期比同步卫星短，则高度比同步卫星低，速率比同步卫星快，故C、D项正确。
3.2011年11月3日，中国自行研制的神舟八号飞船与天宫一号实现自动对接。假设神舟八号在圆轨道做匀速圆周运动时，离地面高度为H，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，则神舟八号的运行速度大小为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选D。万有引力提供向心力G＝m，结合黄金代换式：GM＝gR2，联立解得：v＝，故D项正确。
4．已知某行星半径为R，以该行星第一宇宙速度运行的卫星的周期为T，围绕该行星运动的同步卫星运行速度为v，则该行星的自转周期为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选A。设同步卫星距行星表面高度为h，则有：＝m①；以第一宇宙速度运行的卫星其轨道半径就是行星半径R，则有：＝m′R②；由①②得：h＝－R，行星自转周期等于同步卫星的运转周期，即为：T0＝＝。
5．若已知地球质量为M，万有引力常量为G，将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，忽略地球自转影响，仅由这些信息不能计算出( )
A．地面附近的重力加速度
B．地球的第一宇宙速度
C．同步卫星距地面的高度
D．近地卫星绕地球做圆周运动的周期
【解析】选C。设地球表面的物体质量为m，有G＝mg，解得g＝，根据题给信息可计算出地面附近的重力加速度，故A项不符合题意；设地球的近地卫星质量为m′，有G＝m′，解得v＝，根据题给信息可计算出地球的第一宇宙速度，故B项不符合题意；根据牛顿第二定律，有G＝m()2(R＋h)，T为地球自转周期，题目未给，故无法计算出同步卫星距地面的高度，故C项符合题意；根据万有引力提供向心力，有G＝m()2R，解得T′＝2π，根据题给信息可计算出近地卫星绕地球做圆周运动的周期，故D不符合题意。
6．我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9
km/s，则该探月卫星绕月运行的最大速率约为( )
A．0.4
km/s
B．1.8
km/s
C．11
km/s
D．36
km/s
【解析】选B。由万有引力提供向心力即可得出围绕星球做匀速圆周运动的最大环绕速度，即该星球的第一宇宙速度。由G＝m得，v＝，又＝，＝，故月球和地球的第一宇宙速度之比＝，故v月＝7.9×
km/s≈1.8
km/s，故B项正确。
二、计算题(14分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要标明单位)
7．海王星的质量是地球的17倍，它的半径是地球的4倍。绕海王星表面做圆周运动的宇宙飞船，其运行速度有多大？
【解析】设地球质量为M，半径为R，卫星绕地球表面做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得
G＝m，解得v＝＝7.9
km/s
宇宙飞船绕海王星做圆周运动，由牛顿第二定律得
G
eq
\f(M海m,R)
＝m
eq
\f(v,R海)
解得v海＝
eq
\r(\f(GM海,R))
＝＝16.3
km/s
答案：16.3
km/s
【选考提升】 (20分钟 50分)
8．(8分)(多选)已知地球的质量为M，引力常量为G，半径为R，自转周期为T，地球表面处的重力加速度为g，地球同步卫星的质量为m，离地面的高度为h，利用上述物理量，可推算出地球同步卫星的环绕速度表达式为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选A、D。同步卫星的轨道半径为r＝R＋h，其运动周期等于地球自转的周期T，则线速度v＝，故A项正确；根据牛顿第二定律得G＝m，解得v＝，而＝ω≠，故B、C项错误；因为＝m′g，v＝，所以v＝，故D项正确。
9．(8分)在X星球表面宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其F v2图象如图乙所示。已知X星球的半径为R0，引力常量为G，不考虑星球自转，则下列说法正确的是( )
A．X星球的第一宇宙速度v1＝
B．X星球的密度ρ＝
C．X星球的质量M＝
D．环绕X星球的轨道离星球表面高度为R0的卫星周期T＝4π
【解析】选D。由题图知，当v2＝b时，F＝0，杆对小球无弹力，此时重力提供向心力，有mg＝m，得X星球表面的重力加速度g＝，X星球的第一宇宙速度v1＝＝，故A项错误；X星球的质量M＝
eq
\f(gR,G)
＝
eq
\f(bR,RG)
，故C项错误；X星球的密度ρ＝＝
eq
\f(\f(bR,RG),\f(4,3)πR)
＝，故B项错误；卫星的轨道半径为2R0，G＝m·2R0，GM＝gR，解得T＝4π，故D项正确。
10．(8分)(2020·浙江1月选考)如图所示，卫星a、b、c沿圆形轨道绕地球运行。a是极地轨道卫星，在地球两极上空约1
000
km处运行；b是低轨道卫星，距地球表面高度与a相等；c是地球同步卫星，则( )
A.a、b的周期比c大
B．a、b的向心力一定相等
C．a、b的速度大小相等
D．a、b的向心加速度比c小
【解析】选C。根据万有引力提供向心力＝m可知v＝，ω＝，T＝，a＝，由此可知，半径越大，线速度、角速度、向心加速度越小，周期越长，因为a、b卫星的半径相等，因此a、b卫星的线速度相等，向心加速度比c要大，周期要小于卫星c的周期，因此选项C正确，A、D错误；由于不知道三颗卫星的质量关系，因此不清楚向心力的关系，选项B错误。
11．(10分)通过天文观测，测得某行星的一颗卫星围绕该行星运行的轨道半径为r，周期为T，已知万有引力常量为G。试求：
(1)行星的质量；
(2)若行星的半径为R，求该行星的第一宇宙速度的大小。
【解析】(1)万有引力充当卫星的向心力
G＝m()2r
解之得M＝
(2)根据G＝m，解之得v＝
答案：(1) (2)
12.(16分)(创新应用)如图所示，宇航员在某质量分布均匀的星球表面，从一斜坡上的P点沿水平方向以初速度v0抛出一小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，引力常量为G，忽略星球自转的影响，求：
(1)该星球表面的重力加速度大小；
(2)该星球的密度；
(3)该星球的第一宇宙速度的大小。
【解析】(1)根据小球做平抛运动的规律可得：
x＝v0t
y＝gt2
tan
α＝
解得：g＝
(2)由mg＝G得M＝＝
ρ＝＝
(3)根据星球表面附近万有引力近似等于重力，重力提供向心力，可得：mg＝m
解得：v＝
答案：(1) (2) (3)
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