十一 万有引力定律
【学考达标】 (20分钟 50分)
一、选择题(本题共6小题，每题6分，共36分)
1．根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝，其中M、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是( )
A．由F′∝和F∝，得F∶F′＝m∶M
B．F和F′大小相等，是作用力与反作用力
C．F和F′大小相等，是一对平衡力
D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，不做圆周运动的物体不受这种引力
【解析】选B。F′和F是一对相互作用力，大小相等、方向相反，故A项错误，B项正确；F′和F作用在不同的物体上，所以不是平衡力，故C项错误；太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，这种力是普遍存在的，故D项错误。
2．“月—地检验”的结果说明( )
A．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力
B．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种性质的力
C．地面物体所受地球的引力只与物体的质量有关，即G＝mg
D．月球所受地球的引力只与月球质量有关
【解析】选A。在“月—地检验”中，通过完全独立的途径得出相同的结果，证明地球表面上的物体所受地球的引力和月球所受地球的引力是同一种性质的力，故A项正确。
3.
(2021·嘉兴高一检测)有两个大小一样、同种材料制成的均匀球体紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若用上述材料制成两个半径更小的靠在一起的均匀球体，它们间的万有引力将( )
A．等于F B.
小于F
C．大于F
D.
无法比较
【解析】选B。根据题意令材料的密度为ρ，则两球的质量分别为ρπR3，根据万有引力定律有：
F＝＝；
由题意可知，当球体半径R减小时，两球间的万有引力将减小，故B正确，A、C、D错误。
4．设想把物体放到地球中心，则此物体与地球间的万有引力为( )
A．零
B．无穷大
C．某一有限值
D．无法确定
【解析】选A。地球可以近似看成质量分布均匀的球体，由对称性可知，放在地球中心的物体，受到地球各方向的吸引力相等，合力为零，故A项正确。
5．已知地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高h处时，物体所受万有引力减少到原来的一半，则h为( )
A．R
B．2R
C．R
D．(－1)R
【解析】选D。根据万有引力定律，F＝G，F′＝G＝F，代入可求解得h＝(－1)R。
6．两个行星的质量分别为m1、m2，绕太阳运行的轨道半径分别为r1、r2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为( )
A．1
B．
C．
D．
eq
\f(r,r)
【解析】选D。设行星m1和m2的向心力分别为F1和F2，由太阳与行星之间的引力规律可知，F1∝
eq
\f(m1,r)
，F2∝
eq
\f(m2,r)
，又由牛顿第二定律可得：a1＝，a2＝，所以＝
eq
\f(r,r)
，故D项正确。
二、计算题(14分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要标明单位)
7．地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响，在距地面高度为h的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？(已知地球半径为R)
【解析】不计地球自转的影响，物体受到的重力等于物体受到的万有引力，设地球质量为M，物体质量为m，则：
在地面：mg＝G，
在h高处：mg′＝G，
解得：＝。
答案：倍
【选考提升】 (20分钟 50分)
8．(8分)(多选)目前，中国正在实施“嫦娥一号”登月工程，已知月球上没有空气，重力加速度为地球的，假如你登上月球，你能够实现的愿望是( )
A．轻易将100
kg物体举过头顶
B．放飞风筝
C．做一个同地面上一样的标准篮球场，在此打球，发现自己成为扣篮高手
D．推铅球的水平距离变为原来的6倍
【解析】选A、C。因为g月＝g地，所以在月球上举100
kg的重物，相当于在地球上举16.7
kg的物体，故A项正确；月球上没有空气，所以不能放飞风筝，故B项错误；在月球上弹跳高度是地球上的6倍，故C项正确；根据平抛运动x＝v0，知推铅球的水平距离会变成原来的倍，故D项错误。
9．(8分)两个完全相同的实心均质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F。若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为( )
A．2F B．4F C．8F D．16F
【解析】选D。两个小铁球之间的万有引力为F＝G＝G。实心小铁球的质量为m＝ρV＝ρ·πr3，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球的质量m′与小铁球的质量m之比为＝＝8，故两个大铁球间的万有引力为F′＝G＝16F。故D项正确。
10.(8分)某地区的地下发现了天然气资源，如图所示，在水平地面P点的正下方有一球形空腔区域，内储藏有天然气。假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计。如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1)。已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选D。如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满密度为ρ的岩石，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时重力是kmg，故空腔填满的岩石所引起的引力为(1－k)mg，根据万有引力定律有(1－k)mg＝G，解得V＝，故D项正确。
11．(10分)火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的。一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为50
kg。求：
(1)在火星上宇航员所受的重力为多少？(结果保留到小数点后一位)
(2)宇航员在地球上可跳1.5
m高，他以相同初速度在火星上可跳多高？(地球表面的重力加速度g取10
m/s2)
【解析】(1)由mg＝G，得g＝。
在地球上有g＝，在火星上有g′＝，
所以g′＝
m/s2，
那么宇航员在火星上所受的重力
mg′＝50×
N＝222.2
N。
(2)在地球上，宇航员跳起的高度为h＝
eq
\f(v,2g)
即1.5＝
eq
\f(v,2×10)
在火星上，宇航员跳起的高度h′＝
eq
\f(v,2g′)
＝
eq
\f(v,2×\f(40,9))
，
联立以上两式得h′＝3.375
m。
答案：(1)222.2
N (2)3.375
m
12.(16分)(创新应用)如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的。已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度。(g为地面附近的重力加速度)
【解析】启动前测试仪对平台的压力
FN1＝mg①
设火箭离地面的高度为h时，测试仪对平台的压力为FN2，根据牛顿第三定律，平台对测试仪的支持力大小也等于FN2的大小。
对测试仪由牛顿第二定律得
FN2－mg′＝m②
由题意得＝③
由①②③式解得g′＝g④
根据万有引力定律知
mg＝G，g＝⑤
mg′＝G，g′＝⑥
则由④⑤⑥三式得h＝。
答案：
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【学考达标】 (20分钟 50分)
一、选择题(本题共6小题，每题6分，共36分)
1．根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝，其中M、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是( )
A．由F′∝和F∝，得F∶F′＝m∶M
B．F和F′大小相等，是作用力与反作用力
C．F和F′大小相等，是一对平衡力
D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，不做圆周运动的物体不受这种引力
2．“月—地检验”的结果说明( )
A．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力
B．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种性质的力
C．地面物体所受地球的引力只与物体的质量有关，即G＝mg
D．月球所受地球的引力只与月球质量有关
3.
(2021·嘉兴高一检测)有两个大小一样、同种材料制成的均匀球体紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若用上述材料制成两个半径更小的靠在一起的均匀球体，它们间的万有引力将( )
A．等于F B.
小于F
C．大于F
D.
无法比较
4．设想把物体放到地球中心，则此物体与地球间的万有引力为( )
A．零
B．无穷大
C．某一有限值
D．无法确定
5．已知地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高h处时，物体所受万有引力减少到原来的一半，则h为( )
A．R
B．2R
C．R
D．(－1)R
6．两个行星的质量分别为m1、m2，绕太阳运行的轨道半径分别为r1、r2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为( )
A．1
B．
C．
D．
eq
\f(r,r)
二、计算题(14分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要标明单位)
7．地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响，在距地面高度为h的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？(已知地球半径为R)
【选考提升】 (20分钟 50分)
8．(8分)(多选)目前，中国正在实施“嫦娥一号”登月工程，已知月球上没有空气，重力加速度为地球的，假如你登上月球，你能够实现的愿望是( )
A．轻易将100
kg物体举过头顶
B．放飞风筝
C．做一个同地面上一样的标准篮球场，在此打球，发现自己成为扣篮高手
D．推铅球的水平距离变为原来的6倍
9．(8分)两个完全相同的实心均质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F。若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为( )
A．2F B．4F C．8F D．16F
10.(8分)某地区的地下发现了天然气资源，如图所示，在水平地面P点的正下方有一球形空腔区域，内储藏有天然气。假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计。如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1)。已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是( )
A．
B．
C．
D．
11．(10分)火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的。一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为50
kg。求：
(1)在火星上宇航员所受的重力为多少？(结果保留到小数点后一位)
(2)宇航员在地球上可跳1.5
m高，他以相同初速度在火星上可跳多高？(地球表面的重力加速度g取10
m/s2)
12.(16分)(创新应用)如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的。已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度。(g为地面附近的重力加速度)
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