四 抛体运动的规律
【学考达标】 (20分钟 50分)
一、选择题(本题共6小题，每题6分，共36分)
1.疫情期间，家长们在家里设计了多种游戏供小朋友活动，其中投掷游戏有很多。如图所示，某小朋友向放在水平地面上正前方的小桶水平抛球，结果球划着一条弧线飞落到小桶的前方，为了让水平抛出的小球能落入桶中，(不计空气阻力)以下调整可行的是( )
A．只增大初速度
B．只降低抛出点高度
C．增大初速度并提高抛出点高度
D．只从离桶更近的地方投掷
【解析】选B。设小球平抛运动的初速度为v0，抛出点离桶口的高度为h，水平位移为x，则平抛运动的时间为t＝。水平位移为x＝v0t＝v0，由题知，小球做平抛运动，飞到小桶的前方，说明水平位移偏大，应减小水平位移才能使小球抛进小桶中。由上式可知，可以只减小初速度或只降低抛出点的高度，故选项B正确。
【补偿训练】
小星坐于座位上想将手中的废纸团投入高为h＝0.8
m的垃圾桶中，垃圾桶口为一边长为0.4
m的正方形；若小星水平抛出纸团的点位于垃圾桶口左边界中点正前方L＝1.0
m，离地高度为H＝1.0
m，不计空气阻力，要使纸团投入垃圾桶中，小星可以将纸团投入垃圾桶的速度为 (g取10
m/s2)( )
A．2
m/s B．4
m/s C．6
m/s D．8
m/s
【解析】选C。忽略空气阻力，纸团做平抛运动，假设纸团从垃圾桶左侧边缘飞入垃圾桶，根据平抛运动规律有H－h＝gt2，L＝v1t，代入数据解得v1＝5
m/s。假设纸团从垃圾桶右侧边缘飞入垃圾桶，根据平抛运动规律有H－h＝gt2，L＋d＝v2t，其中d＝0.4
m，代入数据解得v2＝7
m/s，所以速度范围在5
m/s≤v≤7
m/s内，纸团都可以飞入垃圾桶。
2.如图，滑板运动员以速度v0从距离地面高度为h的平台末端水平飞出，落在水平地面上。运动员和滑板均可视为质点，忽略空气阻力的影响。下列说法中正确的是( )
A．h一定时，v0越大，运动员在空中运动时间越长
B．h一定时，v0越大，运动员落地瞬间速度越大
C．运动员落地瞬间速度与高度h无关
D．运动员落地位置与v0大小无关
【解析】选B。根据t＝知，运动员在空中运动的时间由高度决定，与初速度无关，故A错误。落地时竖直分速度vy＝，则运动员落地的速度v＝
eq
\r(v＋v)
＝
eq
\r(v＋2gh)
，初速度越大，落地瞬间速度越大，故B正确。落地时速度方向与水平方向夹角的正切值tan
α＝＝，可知落地的速度方向与高度有关，故C错误。水平位移由初速度和高度共同决定，则运动员落地的位置与初速度有关，故D错误。
3．2020年2月10日，歼－11、轰－6等机型经巴士海峡前往西太平洋，随后从宫古海峡返回原驻地，执行远海长航训练。在训练中，假设轰炸机沿水平方向以9
m/s的速度匀速飞行，在距地面180
m的高度处，欲将炸弹准确投放至地面目标，取g＝10
m/s2，不计空气阻力，则( )
A．炸弹投出后经过20
s到达地面目标
B．炸弹投出后经过5
s到达地面目标
C．应在地面目标正上方投出炸弹
D．应在距地面目标水平距离54
m处投出炸弹
【解析】选D。由题意知，炸弹下落时间t＝＝6
s，水平射程x＝vt＝54
m，则选项D正确，A、B、C错误。
4.斜面上有a、b、c、d四个点，如图所示，ab＝bc＝cd，从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的( )
A．c与d之间某一点
B．c点
C．b与c之间某一点
D．d点
【解析】选C。
过b作一条与水平面平行的虚线，如图所示
若没有斜面，当小球从O点以速度2v水平抛出时，小球落在水平面上时水平位移变为原来的2倍，则小球将落在所画水平线上c点的正下方，但是现在有斜面的限制，小球将落在斜面上的b、c之间，故选C。
5．从离水平地面5
m高处以初速度v0＝10
m/s水平抛出一小石块，不计空气阻力，取g＝10
m/s2。则小石块( )
A．在空中飞行时间为0.1
s
B．落地时水平位移大小为10
m
C．落地时水平位移大小为20
m
D．着地时速度大小为20
m/s
【解析】选B。在空中飞行时间为t＝＝
s＝1
s，选项A错误；落地时水平位移大小为x＝v0t＝10
m，选项B正确，C错误；着地时速度大小为v＝
eq
\r(v＋（gt）2)
＝
m/s＝10
m/s，选项D错误。
【补偿训练】
2022年冬奥会将在北京和张家口市联合举行。滑雪运动员在训练过程中，从斜坡顶端以5.0
m/s的速度水平飞出。已知斜坡倾角为45°，取g＝10
m/s2，空气阻力忽略不计，则他在该斜坡上方飞行的时间为( )
A．0.5
s B．1.0
s C．1.5
s D．5.0
s
【解析】选B。滑雪运动员做平抛运动，在水平方向有x＝v0t，在竖直方向则有y＝gt2。根据题意则有tan45°＝＝，解得t＝1.0
s，故选项B正确。
6．如图所示，由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨道不是抛物线，而是图中的“弹道曲线”。下列说法正确的是( )
A.炮弹到达最高点时，加速度方向竖直向下
B．炮弹到达最高点时，加速度大小为g
C．炮弹上升过程经历的时间等于下降过程经历的时间
D．炮弹下降过程经历的时间大于上升过程经历的时间
【解析】选D。炮弹到达最高点时，其竖直方向的速度为零，水平方向的速度不为零，空气阻力的方向沿水平方向，故水平方向加速度不为零；竖直方向上只有重力的作用，加速度等于g，故竖直方向的加速度不为零，合加速度大于g，方向沿左下方，故A、B错误；炮弹在上升过程中，竖直方向的分速度向上，空气阻力在竖直方向的分力与重力的方向相同；炮弹在下降过程中，竖直方向分速度与重力的方向相同，空气阻力在竖直方向的分力与重力的方向相反，可知上升过程竖直方向的加速度更大，又由于上升与下降过程的高度相同，故炮弹下降过程运动的时间更长，故C错误，D正确。
【补偿训练】
如图，某游戏中需要操作者控制棋子离开平台时的速度，使其能跳到旁边等高平台上。若棋子的跳跃过程可以视作斜抛运动，棋子起跳时的初速度为v0，v0与水平面的夹角总是保持不变，空气阻力不计，则以下说法中正确的是( )
A．若v0越大，则棋子跳的距离越远，在空中经历的时间也越长
B．棋子在空中经历的时间与v0无关
C．棋子上升过程和下降过程中速度变化量的大小相等，方向相反
D．若v0变为原来的两倍，则棋子跳起的最大高度也变为原来的两倍
【解析】选A。v0增大，竖直分速度vy便增大，由vy－0＝gt，可知上升时间t也增大，则总时间t总＝2t也增大。同时水平分速度vx也增大，由x＝vxt总，可知x增大，故A正确，B错误；速度变化量Δv＝gt，故上升和下降两过程的Δv相同，大小相等，方向都竖直向下，C错误；若v0变为原来的两倍，则vy也变为原来的两倍，由2gh＝v可知，高度变为原来的四倍，故D错误。
二、计算题(14分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要标明单位)
7.一支探险队在探险时遇到一条山沟，山沟的一侧OA竖直，另一侧呈抛物线形状的坡面OB与一个平台BC相连，如图所示。已知山沟竖直一侧OA的高度为2h，平台离沟底的高度为h，C点离OA的水平距离为2h。以沟底的O点为原点建立坐标系xOy，坡面OB的抛物线方程为y＝。质量为m的探险队员在山沟的竖直一侧从A点沿水平方向跳向平台。人可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。
(1)若探险队员从A点以初速度v0水平跳出时，掉在坡面OB的某处，则他在空中运动的时间为多少？
(2)为了能跳在平台上，他在A点的初速度应满足什么条件？请计算说明。
【解析】(1)设探险队员在OB坡面上的落点坐标为(x，y)，由平抛运动规律可得x＝v0t，2h－y＝gt2，又y＝，联立解得t＝
eq
\f(2h,\r(v＋gh))
。
(2)将y＝h代入y＝可得B点的横坐标xB＝h，而C点的横坐标xC＝2h。
由平抛运动规律得xB＝vOBt1，xC＝vOCt1，2h－h＝gt，解得vOB＝，vOC＝，所以为了能跳到平台上，他在A点的初速度应满足≤v0≤。
答案：(1)
eq
\f(2h,\r(v＋gh))
(2)见解析
【选考提升】 (20分钟 50分)
8．(8分)(2021·河北选择考)铯原子钟是精确的计时仪器。图1中铯原子从O点以100
m/s的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间为t1；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t2。O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2
m。重力加速度取g＝10m/s2，则t1∶t2为( )
A.100∶1
B.
1∶100
C.
1∶200
D.
200∶1
【解析】选C。图1中铯原子做平抛运动，由平抛运动规律可得：t1＝＝＝2×10－3s，图2中铯原子做竖直上抛运动，由h＝gt2可得：t2＝2×＝4×10－1s，所以＝＝，故C正确，A、B、D错误。
9.
(8分)(2020·浙江1月选考)如图所示，钢球从斜槽轨道末端以v0的水平速度飞出，经过时间t落在斜靠的挡板AB中点。若钢球以2v0的速度水平飞出，则( )
A．下落时间仍为t
B．下落时间为2t
C．下落时间为t
D．落在挡板底端B点
【解析】选C。
当钢球以v0平抛出去，落在斜面的中点，如图所示：
x＝v0t、h＝gt2。假设以v′抛出钢球正好落在B点，根据平抛运动公式可知2h＝gt′2、2x＝v′t′可知v′＝v0。显然当以2v0水平抛出钢球，小球不会落在斜面上而是落在水平面上。因此小球下落高度为2h，下落时间为t，综上分析，选项C正确，A、B、D错误。
10.
(12分)如图，篮球智能机器人在某次定点投篮中，出手点高度为2
m，球在空中离地的最大高度为4.3
m，并以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，篮筐离地高度为3.05
m，g取10
m/s2，不计空气阻力，求在这次投篮中(计算结果保留1位小数)
(1)篮球从最高处运动至篮筐的时间；
(2)篮球在最高处的速度大小；
(3)篮球出手时的速度大小。
【解析】(1)篮球从最高处至进入篮筐做平抛运动，在竖直方向有：Δh1＝gt，
解得：t1＝＝s＝0.5
s。
(2)根据竖直方向上的运动学公式，
得篮球入筐时竖直速度：vy＝gt1＝5.0
m/s，
篮球水平速度即为最高处的速度为：
vx＝＝5.0
m/s。
(3)根据对称性，篮球从出手至最高点可视为平抛运动的逆过程，篮球出手时竖直速度满足：v′＝2gΔh2
根据勾股定理得篮球出手速度为：v0＝
eq
\r(v＋v′)
将Δh2＝4.3
m－2
m＝2.3
m、vx＝5.0
m/s代入上式，解得：v0≈8.4
m/s。
答案：(1)0.5
s (2)5.0
m/s (3)8.4
m/s
11.
(10分)如图所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在台的一倾角为α＝53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8
m，重力加速度g取10
m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：
(1)小球水平抛出的初速度v0的大小是多少？
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离s是多少？
(3)若斜面顶端高H＝19.2
m，且小球离开平台后刚好落在斜面底端，那么小球离开平台时的速度大小为多大？
【解析】
(1)
由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，如图所示。所以vy＝v0tan53°，v＝2gh，
代入数据，得vy＝4
m/s，v0＝3
m/s。
(2)由vy＝gt1得t1＝0.4
s，
s＝v0t1＝3×0.4
m＝1.2
m。
(3)设小球离开平台后落在斜面底端的时间是t2，落点到平台的水平距离为x。
则x＝s＋H
tan
37°＝15.6
m
H＋h＝gt，x＝v0′t2
代入数据求得v0′＝7.8
m/s。
答案：(1)3
m/s (2)1.2
m (3)7.8
m/s
12．(12分)(创新应用)图甲是充气弹跳飞人的娱乐装置，玩家在气包上躺着，工作人员从站台上蹦到气包上，使玩家弹起并落入厚重的海洋球中。现有一玩家刚开始静止躺在气包上，被弹起时做抛体运动，玩家躺着的面可视为斜面，用AC表示，与水平方向的夹角θ＝37°，玩家从P点抛起的初速度方向恰好与AC垂直，玩家重心运动的轨迹如图乙所示，B为轨迹上的一点，O为轨迹的最高点，B点到O点的竖直高度h＝3.2
m，水平距离l＝2.4
m，忽略空气阻力，已知sin37°＝0.6。求玩家：
(1)在最高点的速度大小；
(2)被抛出时的速度大小。
【解析】(1)从O点到B点，根据h＝gt2，
可得t＝0.8
s，由v0＝，
可得v0＝3
m/s。
(2)从P点到O点的运动可视为从O点平抛到P点的逆过程，由
vP＝
可得vP＝5
m/s
答案：(1)3
m/s (2)5
m/s
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