绝密★启用前
2021-2022学年度五河一中高二年级第一次月考
数学试题
2021.09.11
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，满分40分。每题只有一个选项正确）
1．已知集合，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知复数满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列命题中不正确的是（
）
A．一组数据的平均数，众数，中位数相同
B．有A，B，C三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30
C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为，则这两组数据中较稳定的是乙
D．一组数的分位数为5
5．已知两条不同的直线和不重合的两个平面，且，有下面四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中真命题的序号是（
）
A．①②
B．②③
C．②③④
D．①④
6．已知向量，若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
7．若不等式对任意，
恒成立，则实数取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数,则方程根的个数为
（
）
A．3
B．5
C．7
D．9
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，满分20分。每题有多个选项正确）
9．已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论中正确的是（
）
A．
B．是图象的一个对称中心
C．
D．是图象的一条对称轴
10．已知实数，，满足，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件，且函数为奇函数，则以下结论正确的是（
）
A．函数f（x）是周期函数；
B．函数f（x）的图象关于点对称；
C．函数f（x）为R上的偶函数；
D．函数f（x）为R上的单调函数.
12．已知向量，，满足，，，，则下列说法正确的是（
）
A．
B．若，则
C．，有
D．若，，则的值唯一
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．命题“，”的否定为_______.
14．若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是______．
15．已知则的值为________．
16．已知三个顶点都在球的表面上，且，，是球面上异于 的一点，且平面，若球的表面积为，则球心到平面的距离为____________.
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，满分70分。要求写出必要的解题步骤）
17．已知不等式的解集为或．
（1）求、的值；
（2）为何值时，的解集为.
（3）解不等式．
18．已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）记在中角的对边分别为，且满足，求的取值范围.
19．如图，在三棱锥中，，平面．
（1）求证：平面平面
（2）若，求二面角的正切值
20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．
21．某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过A，B，C三道工序加工而成的，A，B，C三道工序加工的元件合格率分别为，已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其他的为废品，不进入市场．
（1）生产一个元件，求该元件为二等品的概率；
（2）从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率．
22．设函数（且），是定义域为R的奇函数：，
（1）求k的值，
（2）判断并证明当时，函数在R上的单调性；
（3）已知，若对于时恒成立．请求出最大的整数．绝密★启用前
2021-2022学年度五河一中高二年级第一次月考
数学试题
2021.09.11
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知集合，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为，，
所以，
，
所以，
故选：B.
2．已知，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
由得，是正数，因此，充分性成立；
反之，取，适合，但不适合，所以必要性不成立.
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故选：.
3．已知复数满足，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
试题分析：∴，∴z=，故选C.
考点：复数运算
4．下列命题中不正确的是（
）
A．一组数据的平均数，众数，中位数相同
B．有A，B，C三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30
C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为，则这两组数据中较稳定的是乙
D．一组数的分位数为5
【答案】B
【详解】
对于选项A，数据的平均数为，众数和中位数都是3，故选项A正确；
对于选项B，根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项B不正确；
对于选项C，乙组数据的平均数为，乙组数据的方差为，所以这两组数据中较稳定的是乙，故选项C正确；
对于D项，将该组数据从小到大排列，由，则该组数据的分位数为5，故D正确．
故选：B
5．已知两条不同的直线和不重合的两个平面，且，有下面四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中真命题的序号是（
）
A．①②
B．②③
C．②③④
D．①④
【答案】A
【详解】
解：对于①，由，，可得，故①正确；
对于②，若，，可得，故②正确；
对于③，若，，则或，故③错误；
对于④，若，，则或，故④错误．
综上，真命题的序号是①②．
故选：A．
6．已知向量，若，则等于
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
试题分析：由可得，所以.
考点：向量的坐标运算.
7．若不等式对任意，
恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
∵不等式对任意，
恒成立，∴，∵，当且仅当，即时取等号，∴，∴，∴，∴实数取值范围是，
故选：B.
8．已知函数,则方程根的个数为
A．3
B．5
C．7
D．9
【答案】C
【详解】
令,先解方程.
（1）当时,则,得；
（2）当时,则,即,解得,.
如下图所示：
直线,,与函数的交点个数为、、,
所以,方程的根的个数为.
故选：C.
【点睛】
本题考查复合函数的零点个数,这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数,求出外层函数的若干个根,再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数,考查数形结合思想,属于中档题．
二、多选题
9．已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论中正确的是
A．
B．是图象的一个对称中心
C．
D．是图象的一条对称轴
【答案】ABD
【详解】
由题意，向右平移，
得
的图象关于轴对称，所以，
，又
即
则是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴
而，则C错，A,B,D正确
故选：ABD
【点睛】
本题考查利用三角函数平移变换求参数，考查正弦函数的性质，属于基础题.
10．已知实数，，满足，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】
A选项：为单调减函数，所以；
B选项：与，当时，当时，所以；
C选项：在时，而在时，所以；
D选项：在上单调递增，所以；
故选：BC.
【点睛】
本题考查了利用指对幂函数的性质比较数、式的大小，应用了函数思想，属于基础题.
11．已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件，且函数为奇函数，则以下结论正确的是（
）
A．函数f（x）是周期函数；
B．函数f（x）的图象关于点对称；
C．函数f（x）为R上的偶函数；
D．函数f（x）为R上的单调函数.
【答案】ABC
【详解】
依题意，，
所以，所以是周期为的周期函数，A正确.
函数为奇函数，关于对称，向左平移个单位得到，所以关于对称，B正确.
关于对称则，
，所以为偶函数，C选项正确.
由于是偶函数，函数图象关于轴对称，轴两侧函数对应区间的单调性相反，所以D错误.
故选：ABC
12．已知向量，，满足，，，，则下列说法正确的是（
）
A．
B．若，则
C．，有
D．若，，则的值唯一
【答案】BC
【详解】
对于A：，
，故A错误；
对于B：，，
当，，得
，
，故B正确；
对于C：
，恒成立，故C正确；
对于D：，
，
，
，
，
，
，
当时，，
；
当时，，；
故D错误；
故选：BC
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．命题“，”的否定为_______.
【答案】
，
【详解】
命题“，”的否定为，，
故答案为：，.
14．若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【详解】
∵函数的定义域为，
∴对任意恒成立，
当时，不等式化为不成立；
当时，则，解得，综上，实数的取值范围是．
故答案为.
【点睛】
本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．
15．已知则的值为________．
【答案】
【详解】
由题意，，
所以．
故答案为：
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于基础题
16．已知三个顶点都在球的表面上，且，，是球面上异于 的一点，且平面，若球的表面积为，则球心到平面的距离为____________.
【答案】
【详解】
由，，
并且平面，平面，，且
平面，，
是直角三角形和的公共斜边，
取的中点，根据直角三角形的性质可知，
所以点是三棱锥外接球的球心，
设，则，
则三棱锥外接球的表面积，，解得：,
点到平面的距离.
故答案为：
四、解答题
17．已知不等式的解集为或．
（1）求、的值；
（2）为何值时，的解集为？
（3）解不等式．
【答案】（1），；（2）；（3）答案见解析.
【详解】
（1）由题意知，和是方程的两根，则，得，
方程为，由韦达定理可得，解得；
（2）由题意可知，关于的不等式的解集为，
所以，，解得；
（3）不等式，即为，即．
①当时，原不等式的解集为；
②当时，原不等式的解集为；
③当时，原不等式无解．
综上知，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
18．已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）记在中角的对边分别为，且满足，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【详解】
试题分析：(1)∵·
＝1，即sin
cos＋cos2＝1，
即sin＋cos＋＝1，
∴sin(＋
)＝.
∴cos(－x)＝－cos(x＋)＝－[1－2sin2(＋)]
＝2·()2－1＝－.
(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，
由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC.
∴2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC，
∴2sinAcosB＝sin(B＋C)，
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，
∴cosB＝，B＝，∴0＜A＜.
∴＜＋＜,＜sin(＋)＜1.
又∵f(x)＝·＝sin(＋)＋，
∴f(A)＝sin(＋)＋.
故函数f(A)的取值范围是(1，)．
考点：本题综合考查了向量、三角函数及正余弦定理
点评：三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换
19．如图，在三棱锥中，，平面．
（1）求证：平面平面
（2）若，求二面角的正切值
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】
（1）平面
，平面
平面
平面平面，
平面平面.
（2）设是的中点，过于，连接
在中
平面平面平面，
平面
又平面
是二面角的平面角．
设，则在中，
，
所以.
20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【详解】
（1）因为，
由正弦定理得．
因为，所以sinA＞0，所以，
所以，因为，
所以，即．
（2）依题意，即ac＝4．
所以当且仅当时取等号．
又由余弦定理得
∴，当且仅当a＝c＝2时取等号．
所以△ABC的周长最小值为．
【点睛】
本题主要考查解三角形、基本不等式求最值，考查学生逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养，是一道容易题.
21．某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过A，B，C三道工序加工而成的，A，B，C三道工序加工的元件合格率分别为，已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其他的为废品，不进入市场．
（1）生产一个元件，求该元件为二等品的概率；
（2）从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率．
【答案】（1）；（2）．
【详解】
解：（1）不妨设一个元件经A、B、C三道工序加工合格的事件分别为A、B、C，
则，
设事件D为“生产一个元件，该元件为二等品”，
根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，
所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为．
（2）生产一个元件，该元件为一等品的概率．
设事件E为“任意取出3个元件进行检测，至少有2个元件是一等品”，
则．
所以至少有2个元件是一等品的概率为．
22．设函数（且），是定义域为R的奇函数：，
（1）求k的值，
（2）判断并证明当时，函数在R上的单调性；
（3）已知，若对于时恒成立．请求出最大的整数．
【答案】（1）；（2）在R上为增函数；证明见解析；（3）10．
【详解】
（1）∵（且）是定义域为R的奇函数，
∴，解得．
此时，对任意，有，
即是R上的奇函数，符合题意．故．
（2）由（1）得．判断该函数为增函数.下面证明：
设，且，
则
∵，且，∴，又
∴，即，
∴在R上为增函数．
（3）由（1），不等式对于时恒成立，
即，亦即不等式恒成立．
令，则，
问题转化为关于t的不等式对任意恒成立，
亦即不等式，对任意恒成立．
当时，，
，则的最大整数为10．
【点睛】
（1）函数奇偶性的应用:①一般用或;②有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值:
或.
（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.
试卷第1页，总3页
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