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专题08
二次函数与一元二次方程、不等式
一、单选题
1．不等式的解集为（
）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】D
【解析】，故选D.
2．设集合，，则集合（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，，
则，故选B.
3．不等式，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由得，解得.故选B.
4．下列不等式中解集是R的是（
）
A．；
B．；
C．；
D．.
【答案】D
【解析】A选项，由得，所以解集为，排除A；
B选项，由得，所以解集为，排除B；
C选项，由得，解得，即解集为，排除C；
D选项，由得，则，显然恒成立，所以解集为R，即D正确；
故选D.
5．一元二次不等式的解集是，则的值是（
）
A．10
B．-10
C．14
D．-14
【答案】D
【解析】根据题意，一元二次不等式的解集是，且，
则方程的两根为和，则有，解可得，，
则，故选D．
6．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．或
D．
【答案】A
【解析】因为关于的不等式在上有解，即在上有解，
只需的图象与轴有公共点，
所以，即，所以，解得：，
所以实数的取值范围是，故选A.
7．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当时，恒成立；
当时，由不等式对恒成立得，，解得.
综上可知，实数的取值范围是.故选B.
8．已知一元二次方程的两根为与，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意一元二次方程的两根为与，
所以，
所以.故选B.
9．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k不可以是（
）
A．
B．
C．1
D．4
【答案】B
【解析】解不等式，得
．
解不等式得
或．
“”是“”的充分不必要条件，
∴
是的真子集，
∴
或，解得：或，
则实数可以是ACD.故选B.
10．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由知，，
当且仅当时，等号成立，
则使不等式有解，只需满足即可，解得，故选C.
二、多选题
11．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是（
）
A．或
B．R
C．
D．
【答案】BCD
【解析】不等式中，，，
关于的不等式对应的方程有两个不等的实数根，不妨设为，，且；
关于的不等式的解集为或；
故该不等式的解集可能是A，不可能是BCD.
故选BCD.
12．关于x的不等式的解集为，则下列正确的是（
）
A．
B．关于x的不等式的解集为
C．
D．关于x的不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】A．由已知可得且是方程的两根，A正确，
B．由根与系数的关系可得：，解得，
则不等式可化为：，即，所以，B错误，
C．因为，C正确，
D．不等式可化为：，即，解得或，D正确，
故选ACD．
13．若关于x的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中正确的说法是（
）
A．当时，，
B．
C．当时，
D．当时，
【答案】ABD
【解析】A中，时，方程为，解为：，，所以A正确；
B中，方程整理可得：，由不同两根的条件为：，所以，所以B正确.
当时，在同一坐标系下，分别作出函数和的图像，如图，
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可得，所以C不正确，D正确，
故选ABD.
14．已知，不等式恒成立，则实数的可能取值有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】因为，不等式恒成立，
所以当时，若不等式恒成立，若无意义；
当时，即或，则
，解得
，
综上：
实数的可能取值有或，故选CD
15．不等式的解集中恰有三个正整数解，则a的可能取值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】CD
【解析】因不等式的解集中恰有三个正整数解，则，设其解集为，
则是方程的二根，，，
因区间内有且只有三个正整数，必有且
，即且，于是得，
而，则，时，不等式解集为，恰有1，2，3三个正整数解，
时，不等式解集为，恰有1，2，3三个正整数解，
时，不等式解集为，恰有1，2，3，4四个正整数解，
显然符合要求的a值可以是8或者9.故选CD.
三、填空题
16．若命题，为假命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意是真命题，
时，不等式为，符合题意，
时，则，，
综上：．故答案为：.
17．已知二次函数，当时的解集是，则不等式的解集是______________
【答案】或
【解析】因为不等式的解集为，
所以方程的两根为和，且；则，即，
所以不等式可化为，则，解得或，
所以不等式的解集是或.故答案为：或.
18．已知当时，不等式恒成立，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由题意，因为当时，不等式恒成立，
可转化为关于的函数，
则对任意恒成立，则满足
解得，即的取值范围为.故答案为：.
19．一元二次不等式的解集为，有如下三个结论：①；②；③.则以上结论正确的是______.(把所有正确的序号都填上)21世纪教育网版权所有
【答案】①②③
【解析】因为一元二次不等式的解集为，
所以且方程有两个相等的实数根，
所以即，所以，故①正确；
又因为，所以，故②正确；
所以，当且仅当时，等号成立，所以，故③正确.
故答案为：①②③.
20．研究问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，有如下解决方案：
解：由，令，则，
所以不等式的解集为.
参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为____________；
【答案】
【解析】由得，，
令，因为，所以.
所以不等式的解集为.故答案为：.
21．已知函数，不等式的解集为__________；令，则函数的最大值为_________.21教育网
【答案】
【解析】由，可得，解得.
所以，不等式的解集为.
当时，，
当且仅当时，等号成立，
因此，函数的最大值为.故答案为：；.
22．已知函数
（1）若f(x)>0的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是______.
（2）若f(x)>0的不等式在[1，
9]上恒成立，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【解析】（1）由题在R上恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，则，解得，
综上，；
（2）当时，恒成立，满足题意；
当时，在单调递增，，满足题意；
当时，在单调递减，，解得，
综上，.
故答案为：；.
四、解答题
23．已知不等式的解集是，不等式的解集是.
（1）求；
（2）若关于的不等式的解集是，求的解集.
【解析】（1）由可得：，解得，
所以，
由可得：，解得：，
所以，
所以
（2），
所以关于的不等式的解集是，
所以和是方程的两个根，
由根与系数的关系可得：，解得：，
所以不等式即为，
所以，解得：，
所以原不等式的解集为.
24．已知不等式的解集为或.
（1）求a，b的值；
（2）当时，解关于x的不等式.
【解析】（1）由题意知，1和b是方程的两根，
则解得
（2）不等式，
即为，即.
①当时，解集为；
②当时，解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
25．用一根长为10米的绳子围成一个矩形，设矩形的一条边的长为米.
（1）所围成的矩形的面积能否大于6平方米，若能，求出的范围；若不能，说明理由．
（2）求所围成的矩形的面积的最大值.
【解析】（1）依题意得所围成的矩形的面积为，由即，解得；
（2）由，当时，；
所以所围成的矩形的面积的最大值为．
26．已知函数.
（1）若，求在上的最大值和最小值；
（2）若关于的方程在上有两个不相等实根，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，
因为二次函数开口向上，对称轴为，
又因为在上递减，在上递增，
所以，
又，
所以；
（2）因为方程在上有两个不相等实根，
所以方程有两个不相等正实根，
则，
解得，
所以实数的取值范围是.
27．设函数．
（1）当时，解关于x的不等式；
（2）若，使得成立，求a的取值范围．
【解析】（1）当时，，整理可得
所以，解得或，
故原不等式的解集为．
（2）命题：，使得成立的否定为：恒成立，
则，解得，
若原命题成立，则a的取值范围为．
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二次函数与一元二次方程、不等式
一、单选题
1．不等式的解集为（
）
A．或
B．或
C．
D．
2．设集合，，则集合（
）
A．
B．
C．
D．
3．不等式，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列不等式中解集是R的是（
）
A．；
B．；
C．；
D．.
5．一元二次不等式的解集是，则的值是（
）
A．10
B．-10
C．14
D．-14
6．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．或
D．
7．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知一元二次方程的两根为与，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k不可以是（
）
A．
B．
C．1
D．4
10．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是（
）
A．或
B．R
C．
D．
12．关于x的不等式的解集为，则下列正确的是（
）
A．
B．关于x的不等式的解集为
C．
D．关于x的不等式的解集为
13．若关于x的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中正确的说法是（
）
A．当时，，
B．
C．当时，
D．当时，
14．已知，不等式恒成立，则实数的可能取值有（
）
A．
B．
C．
D．
15．不等式的解集中恰有三个正整数解，则a的可能取值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
三、填空题
16．若命题，为假命题，则实数的取值范围是__________．
17．已知二次函数，当时的解集是，则不等式的解集是______________
18．已知当时，不等式恒成立，则的取值范围为___________.
19．一元二次不等式的解集为，有如下三个结论：①；②；③.则以上结论正确的是______.(把所有正确的序号都填上)21世纪教育网版权所有
20．研究问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，有如下解决方案：
解：由，令，则，
所以不等式的解集为.
参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为____________；
21．已知函数，不等式的解集为__________；令，则函数的最大值为_________.21教育网
22．已知函数
（1）若f(x)>0的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是______.
（2）若f(x)>0的不等式在[1，
9]上恒成立，则实数a的取值范围是_________.
四、解答题
23．已知不等式的解集是，不等式的解集是.
（1）求；
（2）若关于的不等式的解集是，求的解集.
24．已知不等式的解集为或.
（1）求a，b的值；
（2）当时，解关于x的不等式.
25．用一根长为10米的绳子围成一个矩形，设矩形的一条边的长为米.
（1）所围成的矩形的面积能否大于6平方米，若能，求出的范围；若不能，说明理由．
（2）求所围成的矩形的面积的最大值.
26．已知函数.
（1）若，求在上的最大值和最小值；
（2）若关于的方程在上有两个不相等实根，求实数的取值范围.
27．设函数．
（1）当时，解关于x的不等式；
（2）若，使得成立，求a的取值范围．
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