南安三中2023届高二年上学期数学周考试卷(第5周)答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．圆的圆心坐标和半径分别是（
）
A．(-1，0)，3
B．(1，0)，3
C．
D．
【答案】D【分析】根据圆的标准方程，直接进行判断即可.
【详解】根据圆的标准方程可得，的圆心坐标为，半径为，故选：D.
2．直线的倾斜角为
A．
B．
C．
D．
解：设直线的倾斜角是，，．直线，
，直线的倾斜角为．故选：．
3．已知直线，直线，则与之间的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【详解】直线的方程可化为，则与之间的距离．故选：D
4．已知，若共面，则实数的值为(
B
)
A.
B.14
C.12
D.
5．为坐标原点，为圆（常数上的动点，若最大值为3，则的值为（
）
A．1
B．
C．
D．2
解：圆的圆心为，半径为1，所以圆上的点到原点的最大距离为，即，解得，又，所以的值为．故选：．
6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【详解】线段AB的中点为M（1，2），kAB=﹣2，∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．
∵AC=BC，∴的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．故选：D．
7．过点A(1，0)的直线l与圆(x-1)2+(y-1)2=1相交于A，B两点，若|AB|=，则该直线的斜率为（
）
A．±1
B．±
C．±
D．±2
【解析】由题意，该直线斜率存在，设直线l方程为，则圆心到直线l的距离为，
则弦，解得.
故选：A.
8．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
则，，设和的公垂线的方向向量，
则，即，令，则，
，.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线的方程是，则下列说法正确的是（
）
A．若，则直线不过原点
B．若直线不过第四象限，则一定有
C．若，且，则直线不过第四象限
D．若，则直线与圆相切
【解】当时，即都不等于0，当时，，所以直线不过原点，故A正确；
若直线不过第四象限，若有直线过第一，二象限时，此时，，则，故B不正确；
若，时，，，即直线的斜率大于0，直线的横截距小于0，则直线过第一，二，三象限，不过第四象限，故C正确；
当时，圆心到直线的距离，即直线与圆相切，故D正确.
故选：ACD
10．已知点是平行四边形所在的平面外一点,如,则下列结论正确的是(
)
A.
B.
C.是平面的法向量
D.
解析：,则选项A,B正确.又与不平行,是平面的法向量,则选项C正确.与不平行,故选项D错误.
故选：ABC
11．已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则下列说法中正确的是（
）
A．圆M的圆心为(4，﹣3)
B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．圆M的半径为25
D．圆M被y轴截得的弦长为5
【解析】对于选项，圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则圆的标准方程为(x﹣4)2+(y+3)2=25.
所以圆的圆心坐标(4，﹣3)，半径为5.
所以选项正确，选项不正确；
对于选项,令(x﹣4)2+(y+3)2=25中的，得或，
所以圆M被x轴截得的弦长为8，所以选项正确；
对于选项,令(x﹣4)2+(y+3)2=25中的，得或，
所以圆M被轴截得的弦长为6，所以选项错
故选：AB
12．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是（
）
A．三棱锥的体积不变
B．平面
C．
D．平面平面
【解析】对于A，的面积是定值，，平面，平面，
∴平面，故到平面的距离为定值，
∴三棱锥的体积是定值，即三棱锥的体积不变，故A正确；
对于B，，
∴平面平面，平面，平面，故B正确；
对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，P在上，故可设，
则，，，
则不一定为0，和不垂直，故C错误；
对于D，设，
则，，，，，
设平面平面的法向量，则，取，得，
设平面的法向量，则，取，得，
.∴平面和平面垂直，故D正确.故选：ABD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知两条直线
，
，若的一个法向量恰为的一个方向向量，则________.
【详解】因为直线
的一个法向量恰为
的一个方向向量，所以，
所以，解得：，故答案为：.
14．点P（-1,1）为圆的弦AB的中点,则直线AB的方程为____________
【解析】根据题意，设圆的圆心为则的坐标，则
由为圆的弦的中点，则，则，
则直线的方程为y，即；
故答案为．
15．己知，，点在直线上，若使取最小值，则点的坐标是___________.
【详解】点关于直线的对称点为，又，
则直线的方程为，即，
联立，解得，，
所以使取最小值的点的坐标是.
故答案为：.
16．如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是__________
【解析】设点，如图连接交于，由矩形可知为的中点，，
连接，在直角中，，则
即，整理得，所以顶点的轨迹方程是
故答案为：
解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）已知直线．
（1）求证：不论为何实数，直线恒过一定点；
（2）过定点作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被点平分，求直线的方程．
解：（1）证明：直线整理得：，令解得：，
则无论为何实数，直线恒过定点，
（2）根据题意，设直线，与轴的交点为，与轴的交点为，
过定点作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被点平分，即为的中点，
则有，解可得，，即直线过，，
则直线的方程为，即．
18.（本题满分12分）已知，，.
（1）求点到直线的距离；
（2）求的外接圆的方程.
【解析】（1），由得直线的方程为.
所以点到直线的距离
（2）设外接圆的方程为，
由题意，得
解得
即△的外接圆的方程为.
19.（本题满分12分）如图，在几何体中，∥，四边形为矩形，分别为的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)若直线与平面所成的角为30°，求平面与平面夹角的余弦值.
20.答案：(1)取的中点，连接，如图所示，则.
又，则四边形为平行四边形，即.平面平面，平面.
(2)由，可得.
四边形为矩形，平面，则为直线与平面所成的角，即，.，则可建立如图所示的空间直角坐标系，
，.
设为平面的法向量，则，即，
取，则为平面的一个法向量.又为平面的一个法向量，，故平面与平面夹角的余弦值为.
20.（本题满分12分）已知圆与直线相交于不同的A、B两点.
（1）求实数m的取值范围；
（2）若，求实数m的值.
答案：（1）由消去y得，，由已知得，，解得，故实数m的取值范围是.
（2）设圆C的半径为r，因为圆心到直线的距离为，
所以，
由已知得，解得.
21.（本题满分12分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，
C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
21.本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求
解能力。
方法一：
（Ⅰ）由得，
所以.
故.
由，得，
由得，
由，得，所以，故.
因此平面.
（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.
由平面得平面平面，
由得平面，
所以是与平面所成的角.
由得，
所以，故.
因此，直线与平面所成的角的正弦值是.
方法二：
（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意知各点坐标如下：
因此
由得.
由得.
所以平面.
（Ⅱ）设直线与平面所成的角为.
由（Ⅰ）可知
设平面的法向量.
由即可取.
所以.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.
22.（本题满分12分）如图，已知位于轴左侧的圆与轴相切于点且被轴分成的两段圆弧长之比为，直线与圆相交于，两点，且以为直径的圆恰好经过坐标原点．
（1）求圆的方程；
（2）求直线的斜率的取值范围．
解：（1）因为位于轴左侧的圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，
设圆与轴交于，点，又因为被轴分成的两段圆弧长之比为，
所以可得，所以，圆心的坐标：，
所以圆的方程：；
（2）依题意，只需求出点（或在劣弧上运动时的直线（或斜率，设其直线方程为，
此时有，解得；
若点在劣弧上，则直线的斜率，于是；
若点在劣弧上，则直线的斜率，于是；
又当时，点为也满足条件；
综上所述，所求直线的斜率的取值范围为．
第2页，共10页
第1页，共10页南安三中2023届高二年上学期数学周考试卷(第5周)
（总分：150分
时间：120分钟）
2021.9.26
班级：
姓名：
座号：
成绩：
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．圆的圆心坐标和半径分别是（
）
A．(-1，0)，3
B．(1，0)，3
C．
D．
2．直线的倾斜角为
A．
B．
C．
D．
3．已知直线，直线，则与之间的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知，若共面，则实数的值为(
)
A.
B.14
C.12
D.
5．为坐标原点，为圆（常数上的动点，若最大值为3，则的值为（
）
A．1
B．
C．
D．2
6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
7．过点A(1，0)的直线l与圆(x-1)2+(y-1)2=1相交于A，B两点，若|AB|=，则该直线的斜率为（
）
A．±1
B．±
C．±
D．±2
8．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线的方程是，则下列说法正确的是（
）
A．若，则直线不过原点
B．若直线不过第四象限，则一定有
C．若，且，则直线不过第四象限
D．若，则直线与圆相切
10．已知点是平行四边形所在的平面外一点,如,则下列结论正确的是(
)
A.
B.
C.是平面的法向量
D.
11．已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则下列说法中正确的是（
）
A．圆M的圆心为(4，﹣3)
B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．圆M的半径为25
D．圆M被y轴截得的弦长为5
12．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列
结论中正确的是（
）
A．三棱锥的体积不变
B．平面
C．
D．平面平面
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知两条直线
，
，若的一个法向量恰为的一个方向向量，则_______
14．点P（-1,1）为圆的弦AB的中点,则直线AB的方程为____________
15．己知，，点在直线上，若使取最小值，
则点的坐标是___________.
16．如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形
的顶点的轨迹方程是__________
解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）已知直线．
（1）求证：不论为何实数，直线恒过一定点；
（2）过定点作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被点平分，求直线的方程．
18.（本题满分12分）已知，，.
（1）求点到直线的距离；
（2）求的外接圆的方程.
19.（本题满分12分）如图，在几何体中，∥，四边形为矩形，分别为的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)若直线与平面所成的角为30°，求平面与平面夹角的余弦值.
20.（本题满分12分）已知圆与直线相交于不同的A、B两点.
（1）求实数m的取值范围；
（2）若，求实数m的值.
21.（本题满分12分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，
C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
22.（本题满分12分）如图，已知位于轴左侧的圆与轴相切于点且被轴分成的两段圆弧长之比为，直线与圆相交于，两点，且以为直径的圆恰好经过坐标原点．
（1）求圆的方程；
（2）求直线的斜率的取值范围．
南安三中2023届高二年上学期数学周考试卷(第5周)
答
题
卡
2021.9.26
班级：
姓名：
座号：
成绩：
三、填空题：每小题5分，共20分．
13：
；
14：
；
15：
；
16：
；
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17：
18.
19.
20.
21.
22.
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