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专题07
基本不等式
一、单选题
1．已知且，下列各式中最大的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，所以，，所以，，
由均值不等式可知，所以，
由上可知：，
所以四个式子中最大，故选D.
2．已知正实数a，b满足，则的最小值是（
）
A．8
B．16
C．32
D．36
【答案】B
【解析】因为正实数a，b满足，
所以，即，当且仅当时，即时取等号.
因为，所以，所以.
故的最小值是16.故选B
3．已知，，则“”是“，”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】，时，，取“=”的充要条件是.
因为时，不一定有，，故选B.
4．已知正数满足，则下列选项不正确的是（
）
A．的最小值是2
B．的最大值是1
C．的最小值是4
D．的最大值是
【答案】C
【解析】因为正数满足，由，
当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确；
由，可得，即，当且仅当时成立，所以B正确；
由，当且仅当时成立，所以C不正确；
由正数满足，可得，
则，当且仅当时，即时，等号成立，
即的最大值是，所以D正确.
故选C.
5．对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当时，不等式恒成立，
当时，，
当时，，当且仅当时等号成立.
当时，，当且仅当时等号成立.
所以.故选B
6．若实数，则的最小值为（
）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】D
【解析】由条件可知，，
所以，
当，即，结合条件
，
可知时，等号成立，所以的最小值为.故选D
7．已知，，且，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当时，，，所以CD选项错误.
当时，，，所以B选项错误.
，
即当且仅当或时等号成立.
则，，解得.故选A.
8．若正实数，满足，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，
，
当且仅当，即等号成立，故选B.
9．若对于正实数，，有，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意对任意，成立，
令，，则，
因为时，所以，且时取等，则.故选A.
10．对于函数，若满足，则称为函数的一对“类指数”．若正实数a与b为函数的一对“类指数”，的最小值为9，则k的值为（
）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【解析】因为正实数a与b为函数的一对“类指数”，所以，
所以，即，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
又的最小值为9，所以k的值为1，故选B.
二、多选题
11．下列函数最小值为2的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】A选项：∵，当时，，当且仅当时等号成立，
当时，，当且仅当时等号成立，
∴取值范围为，A错误；
B选项：∵，
由，当且仅当时等号成立，
∴最小值为2，B正确；
C选项：∵，由，当且仅当时等号成立，
∴最小值为2，C正确；
D选项：∵，，当且仅当时等号成立，
∴（时等号成立），最大值为2，D错误.
故选BC.
12．若，，且，则下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】A选项：由可得，可得，，当且仅当时等号成立，故A正确；
B选项：，则，当且仅当时等号成立，故B错误；
C选项：，当且仅当时等号成立，故C正确；
D选项：，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选ACD.
13．已知正实数a，b，c满足a2-ab＋4b2-c＝0，当取最小值时，下列说法正确的是（
）
A．a＝2b
B．c＝4b2
C．a＋b-c的最大值为
D．a＋b-c的最大值为
【答案】AD
【解析】因为正实数a，b，c满足a2-ab＋4b2-c＝0，
所以，
当且仅当即时，等号成立，此时，
所以，当时取得最大值，故选AD.
14．已知a，b均为正数，且，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】因为知a，b均为正数，且，所以
所以对于A选项，，当且仅当时等号成立，故A选项正确；
对于B选项，，故B选项正确；
对于C选项，，当且仅当是等号成立，故正确；
对于D选项，，当且仅当时等号成立，故错误.
故选ABC.
15．《几个原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理成定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，则该图形可以完成的无字证明有（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】根据图形，利用射影定理得：，又，，
所以，由于，所以．
由于，所以．
故选．
三、填空题
16．函数的值域是________．
【答案】
【解析】易知，，
当时，，当且仅当时取等号，
当时，，，当且仅当时取等号，
综上可得函数的值域为，故答案为：.
17．若，则的最大值是
_______
【答案】
【解析】，故，则，
当且仅当即时取“=”，故答案为：.
18．已知函数，，的最小值为3，则__________．
【答案】16
【解析】由题得（当且仅当时，等号成立）
所以.故答案为：16
19．定义满足不等式（）的实数的集合叫做A的B邻域.若的邻域是一个关于原点对称的区间，则的最小值为_________.21世纪教育网版权所有
【答案】
【解析】因为：的邻域在数轴上表示以为中心，为半径的区域，
，
而邻域是一个关于原点对称的区间，所以可得，
又因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．故答案为：．
20．某公司一年购买某种货物400吨，
( http: / / www.21cnjy.com )每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=________吨，和最小值为________21教育网
【答案】20
160
【解析】设一年总费用为y万元，每年购买次数为次，
则(万元)，
当且仅当，即时等号成立，故．故答案为：20；160.
四、解答题
21．设.
（1）证明：；
（2）证明：.
【解析】（1）证明：因为，，.
.
且（当且仅当时取等号），
故.
所以
（2）证明：
当且仅当时取等号，
又，故.
22．解答下列各题.
（1）设，，，求.
（2）设且恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）∵，，，
∴
，
当且仅当时取等号.
（2）∵，
∴，
由恒成立，得
，
又，
∴，，
则.
当且仅当，即时上式等号成立.
∴.
∴的取值范围是：.
23．生命在于运动，运动在于锻炼.其中，游泳就是一个非常好的锻炼方式.游泳有众多好处：强.身健体；保障生命安全；增强心肺功能；锻炼意志，培养勇敢顽强精神；休闲娱乐，促进身心健康.近几年，游泳池成了新小区建设的标配.家门口的“游泳池”，成了市民休闲娱乐的好去处.如图，某小区规划一个深度为，底面积为的矩形游泳池，按规划要求：在游泳池的四周安排宽的休闲区，休闲区造价为元，游泳池的底面与墙面铺设瓷砖，瓷砖造价为元.其他设施等支出大约为万元，设游泳池的长为.21cnjy.com
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（1）试将总造价（元）表示为长度的函数；
（2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.
【解析】（1）因为游泳池的长为，所以游泳池的宽为，
铺游泳池的花费为，
休闲区的花费为，
所以，总造价为，其中；
（2）由基本不等式可得
（元），
当且仅当时，等号成立.
因此，当时，总造价最低，且最低总造价为元.
24．已知正实数x，y满足．
（1）是否存在正实数x，y，使得？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由．
（2）求证：，并说明等号成立的条件．
【解析】（1）因为，当且仅当时，等号成立，所以，故不存在正实数，使得；
（2）由，故
，
当且仅当，即时，等号成立．
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基本不等式
一、单选题
1．已知且，下列各式中最大的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知正实数a，b满足，则的最小值是（
）
A．8
B．16
C．32
D．36
3．已知，，则“”是“，”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
4．已知正数满足，则下列选项不正确的是（
）
A．的最小值是2
B．的最大值是1
C．的最小值是4
D．的最大值是
5．对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．若实数，则的最小值为（
）
A．
B．1
C．
D．2
7．已知，，且，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．若正实数，满足，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
9．若对于正实数，，有，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．对于函数，若满足，则称为函数的一对“类指数”．若正实数a与b为函数的一对“类指数”，的最小值为9，则k的值为（
）
A．
B．1
C．
D．2
二、多选题
11．下列函数最小值为2的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．若，，且，则下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
13．已知正实数a，b，c满足a2-ab＋4b2-c＝0，当取最小值时，下列说法正确的是（
）
A．a＝2b
B．c＝4b2
C．a＋b-c的最大值为
D．a＋b-c的最大值为
14．已知a，b均为正数，且，则（）
A．
B．
C．
D．
15．《几个原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理成定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，则该图形可以完成的无字证明有（
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A．
B．
C．
D．
三、填空题
16．函数的值域是________．
17．若，则的最大值是
_______
18．已知函数，，的最小值为3，则__________．
19．定义满足不等式（）的实数的集合叫做A的B邻域.若的邻域是一个关于原点对称的区间，则的最小值为_________.21世纪教育网版权所有
20．某公司一年购买某种货物400吨，每
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四、解答题
21．设.
（1）证明：；
（2）证明：.
22．解答下列各题.
（1）设，，，求.
（2）设且恒成立，求实数的取值范围.
23．生命在于运动，运动在于锻炼.其中，游泳就是一个非常好的锻炼方式.游泳有众多好处：强.身健体；保障生命安全；增强心肺功能；锻炼意志，培养勇敢顽强精神；休闲娱乐，促进身心健康.近几年，游泳池成了新小区建设的标配.家门口的“游泳池”，成了市民休闲娱乐的好去处.如图，某小区规划一个深度为，底面积为的矩形游泳池，按规划要求：在游泳池的四周安排宽的休闲区，休闲区造价为元，游泳池的底面与墙面铺设瓷砖，瓷砖造价为元.其他设施等支出大约为万元，设游泳池的长为.21教育网
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（1）试将总造价（元）表示为长度的函数；
（2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.
24．已知正实数x，y满足．
（1）是否存在正实数x，y，使得？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由．
（2）求证：，并说明等号成立的条件．
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