广东省广州市荔湾区2022届高三上学期9月调研数学试题（Word版含答案）

广州市荔湾区2021学年高三调研测试
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后、将答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数（其中为虚数单位），则的共辄复数为（
）
A.
B.
C.
D.
2.已知全集，设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（
）
A.
B.
C.
D.
3.若圆台的下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为5，则其体积为（
）
A.
B.
C.
D.
4.若点在直线上，则的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
5.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以线段为直径的圆经过点，则点的横坐标为（
）
A.
B.
C.
D.
6.设等差数列的前项和为，若，，则等于（
）
A.-3
B.-12
C.-21
D.-30
7.一个盒中装有大小相同的1个黑球与2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有1次取到黑球的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，，曲线上总存在两点，，使得曲线在M，N两点处的切线互相平行，则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列说法中正确的是（
）
A.若将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，则方差恒不变
B.若一组数据1，，2，3的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2
C.设随机变量服从正态分布，若，则
D.对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是
10.已知向量，，则下列说法正确的是（
）
A.若，则的值为-2
B.的最小值为1
C.若，则的值为2
D.若与的夹角为钝角，则的取值范围是且
11.已知函数的部分图象如图所示，则（
）
A.
B.
C.在区间上单调递增
D.若，则
12.已知直三棱柱中，，，为的中点.点满足，其中，则（
）
A.对时，都有
B.当时，直线与所成的角是30°
C.当时，直线与平面所成的角的正切值
D.当时，直线与相交于一点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则___________.
14.若，则的值为___________.
15.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则后物体的温度（单位：°C）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有52°C的物体，放在12°C的空气中冷却，2min以后物体的温度是32°C，则再经过6min该物体的温度可冷却到___________.
16.已知椭圆的左焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A，B两点（点B在x轴上方），且，则椭圆的离心率为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等比数列的前项和为，，且，公比.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求和：.
18.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形；平面平面，，，M是线段PC的中点.
（1）求证：平面BMD；
（2）求二面角的大小.
19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，点D是边AC的中点，.
（1）证明：；
（2）求：
20.某地投资兴建了甲、乙两个加工厂，生产同一型号的小型电器，产品按质量分为A，B，C三个等级，其中A，B等级的产品为合格品，C等级的产品为不合格品.质监部门随机抽取了两个工厂的产品各100件，检测结果为：甲厂合格品为95件，甲、乙两厂A级产品分别为20件、25件，两厂不合格品共20件.
（1）根据所提供的数据，判断是否有95%的把握认为产品的合格率与生产厂家有关
（2）每件产品的生产成本为50元，每件A，B等级的产品出厂销售价格分别为100元、80元，C等级的产品必须销毁，且销毁费用为每件5元.用样本的频率代替概率，试比较甲、乙两厂盈利的大小.
附：
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
21.已知抛物线：，点M在抛物线C上，点N在x轴的正半轴上，等边的边长为.
（1）求C的方程；
（2）若平行轴的直线交直线OM于点P，交抛物线C于点，点T满足，，判断直线TM与抛物线C的位置关系，并说明理由.
22.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，函数存在两个零点，求证：.
2021学年高三调研测试数学参考答案与评分标准
评分说明：
1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同。可根据试题主要考查的知识点和郎力比照评分标准给以相应的分数.
2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择顾：本大题共8小题，每小题5分，共4分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
A
C
D
C
A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
题号
9
10
11
12
答案
ABD
BCD
AD
ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.-3
14.-1
1514.5℃
16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.解：（1）由为等比数列，，，
则
由，解得，
故.
（2）由（1）得，
所以
由，所以是以-2为公比的等比数列
所以
所以的和为.
18.证明：（1）连AC，OM
因为底面ABCD是平行四边形，所以O为AC中点
又M是PC中点，
所以
又平面BMD，平面BMD
所以平面平面BMD.
（2）取AD的中点N，连PN
因为，所以，
又平面平面ABCD
所以平面ABCD
如图，以O点为原点分别以NA、NB、NP所在直线为轴、轴、轴数立空间直角坐标系
由，，得，，
则，，，，，，
所以，，，
设平面MBC的法向量为
所以，即
令，则，
设平面的法向量为
所以，即
令，则，
设平面MBC与平面BMD所成的二面角为.
所以
所以二面角的大小为90°
19.（1）由题设，
由正弦定理知：，即，
∴，
又，∴，得证.
（2）由题意知：，，
∴
同理，
∵，
∴，
整理得，
由余弦定理知：
（说明：公式1分，代入1分）
综上，.
20.解：
（1）2×2列联表如下
合格品
次品
合计
甲厂
95
5
100
乙厂
85
15
100
合计
180
20
200
因为
（说明：公式1分，不等号部分1分）
所以有95%的把握认为产品的合格率与生产厂家有关.
（2）对于甲厂，抽到的100件产品中有A等级产品20件，B等级产品75件，C等级产品5件，设生产一件产品的利润为X元，则X可能取很的值为50，30，-55.
X的分布列为
50
30
-55
0.2
0.75
0.05
因为，
对于乙厂，抽到的100件产品中有A等产品25件，B等级产品60件，C等级产品15件，设生产一件产品的利润为元，则可能取得的值为50，30，-55.
的分布列为
50
30
-55
0.25
0.6
0.15
因为，
所以甲厂的盈利比乙厂大.
21.解：等边的边长为，得，（说明：横纵坐标各一分）
代入，解得
所以，C的方程为.
（2）相切.理由如下；
由（1）得C的方程为，.
由等边得，直线的方程为
不妨设直线的方程为，则，
设点，
从而，，，
由得，
由得，，整理得
所以
由题知.
设直线的斜率为，则
则直线的方程为，即
与抛物线联立得
整理得
从而
所以直线与抛物线相切.
22.解：（1），∴，
①当，即时，，在R上单调递增；
②当，即时，令，得
当，，单调递减；
当，，单调递增.
综上所述，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减.在上单调递增
（2）解法一：当时，
由得
两式相减得，因为，故.
要证，只需证.
两边同除以的得
令，故只需证即可.
令，，
令，，
当，，故在上单调递减，
故故在上单调递增，故，
故原命题得证.
解法二：
当时，
由得
令，，，即
两式相减得，
要证，即只需证，即证
即，即，
令，只需证即可.
令，
当时，，故在上单调递增，
故，故原命题得证，因此原不等式成立。