河北省沧州市普通高中2022届高三上学期9月教学质量监测数学试题（Word版含答案解析）

沧州市普通高中2021年9月高三数学质量监测
数学
注意事项：
1.本试卷共4页，22题。全卷满分150分，考试用时120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（
）
A.
B.
2
C.
D.
8
3.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高（单位：）的情况，得出，随机测量一株水稻，其株高在（单位：）范围内的概率为（
）
（附：若随机变量，则，）
A.
0.0456
B.
0.1359
C.
0.2718
D.
0.3174
4.若实数，满足，则（
）
A.
B.
C.
D.
5.如图，已知，分别是圆柱上、下底面圆的直径，且，若该圆柱的侧面积是其上底面面积的倍，则与平面所成的角为（
）
A.
B.
C.
D.
6.已知直线：，：与圆：分别交于点，与，，若四边形是正方形，则（
）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
4
7.如图，中，，，分别是的三等分点，若，ZE
（
）
A.
B.
2
C.
3
D.
6
8.已知定义在上的函数是偶函数，且在上单调递增，则满足的的组织范围为（
）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知一组数据为，1，4，4，2，8，则该组数据的（
）
A.众数是4
B.平均数是3
C.第50百分位数是2
D.方差是9
10.已经的展开式中各项的二项式系数之和为16，则展开式中（
）
A.各项的系数之和为
B.存在常数项
C.各项的系数中最大的是24
D.含的无理项有三项
11.已知直线：与抛物线：交于，两点，若线段的中点是，则（
）
A.
B.
C.
D.点在以为直径的圆内
12.已知函数，将的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若，总，使，则可以为（
）
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知正项等差数列满足，，则________.
14.已知直线与曲线相切，则的最大值为________.
15.如图，已知平面四边形中，是边长为2的正三角形，，以为棱折成直二面角，若折叠后，，，四点在同一球面上，则该球的体积为________.
16.已知为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
设为数列的前项和，已知.
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
如图，在中，为边上一点，，且.
（1）求的长；
（2）若，，求的面积.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥，，，平面，.
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
某校组织一次篮球定点投篮比赛，有，两处场地，每人每处最多投2次.在处每投进一球得2分，投不进得0分；在处每投进一球得3分，投不进得0分.若先在处投，在处只要有一次投不进就停止投篮，两次都投进才能在处投，在处两次都可投；若先在处投，连续两次都未投进，则停止投篮，否则继续在处投完两次.已知同学甲在处的命中率为0.8，在处的命中率为0.5，每次投篮的结果相互独立.
（1）若同学甲先在处投，记为同学甲的投篮总得分，求的分布列与数学期望；
（2）试判断同学甲先在处投还是先在B处投能使投篮总得分超过6分的概率更大一些.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆：（）的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆交于，两点（不同于点），记直线，的斜率分别为，，试判断是否存在定值，使当变化时总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）若，若的单调区间；
（2）若有两个不同的零点，，证明：.
普通高中2021年9月高三教学质量监测
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
B
【解析】由题意得，，，则，故选B.
2.
C
【解析】由已知得，所以，故选C.
3.
B
【解析】由题意得，，所以，故选B.
4..
D
【解析】由，得，所以，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误；因为，所以，选项D正确.故选D
5.
C
【解析】如图，设为圆柱下底面内与垂直的直径，记，连接，，由对称性可知，，所以为与平面所成的角，因为，即，所以，所以，所以与平面所成的角为，故选C.
6.
A
【解析】将化为标准方程为.由题意知圆心在直线上，所以.又，两直线间的距离，且四边形是正方形，所以，解得，所以.故选A.
7.
D
【解析】由题意得，
，所以.
所以
，故选D.
8.
B
【解析】因为函数是偶函数，且在上单调递增，所以函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，又，所以，即，平方并化简，得，解得或.故选B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.
ABD
【解析】由题意得众数是4，选项A正确；平均数是，选项B正确；将数据按从小到大的顺序排列：，1，2，4，4，8，得第50百分位数即中位数是，选项C错误；方差为，选项D正确.故选ABD.
10.
BCD
【解析】由的二项式系数之和为16，得，可得，令，可得所有项的系数之和为1，选项A错误；展开式的通项是（），令，可得常数项为，选项B正确；时对应项是，系数最大，故各项的系数中最大的是24，选项C正确；，2，4时，含的无理项有三项，选项D正确.故选BCD
11.
AB
【解析】设，，将与联立消可得，，所以，解得，选项A正确；因为在直线：上，所以，选项B正确；，选项C错误；设，则，所以点在以为直径的圆上，选项D错误.故选AB.
12.
BCD
【解析】，因为时，，所以.因为，又，总，使，设的值域为，则，当时，.当时，，不符合；当时，，符合；当时，，符合；当时，符合，故选BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.
9
【解析】设等差数列的公差为，因为所以
解得所以.
14.
1
【解析】设切点为，则则所以，
所以的最大值为1.
15.
【解析】如图，折叠后，取的中点，连接，由已知得平面，，，又，所以球心在上，设球半径为，则，，所以，解得，所以球的体积为.
16.
【解析】因为点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点，所以，设点关于点的对称点为，双曲线的左焦点为，则.令，则，，，又，在和中，由勾股定理得，解得，所以双曲线的渐近线的斜率为.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
解：（1）因为为数列的前项和，且，
所以时，.
又，符合上式，所以，
即的通项公式为.
（2）由（1）知，，
所以.
即数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
解：（1）在中，由正弦定理得，
因为，，所以，解得.
（2）设，由，得，又中，，
所以.
在中，由余弦定理得，，
又，，
所以，
解得，即，
所以，，
，
即的面积为.
19.（本小题满分12分）
解：（1）证明：因为平面，平面，所以.
又因为，，所以平面.
因为平面，所以.
又因为，所以.
连接.因为，所以，，
得，又，所以，即.
因为平面，平面，所以，又，
所以平面，因为平面，所以.
（2）解：由（1）知平面，，以为原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，设，则，，，，
，，，.
设平面的一个法向量为，则得
所以.令，得，所以.
设平面的一个法向量为，则得
所以，，得，所以.
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
20.（本小题满分12分）
解：（1）由题意得，的所有可能取值为0，2，4，7，10.
则，，
，，
.
所以的分布列为
0
2
4
7
10
0.2
0.16
0.16
0.32
0.16
数学期望.
（2）由（1）知，同学甲先在处投，投篮总得分超过6分的概率.
若同学甲先在处投，投篮总得分超过6分包含前两次投中一次、后两次全投中，及前两次全投中、后两次至少投中一次，所以记事件“同学甲先在处投投篮，总得分超过6分”，
所以.
因为，所以同学甲先在处投能使投篮总得分超过6分的概率更大一些.
21.（本小题满分12分）
解：（1）由题意知解得
所以椭圆的方程是.
（2）由（1）知，设，，将代入，
得，所以，，
且，解得.
，
即恒成立，所以解得.
所以存在定值，使当变化时，总成立.
22.（本小题满分12分）
（1）解：当时，，，则.
因为时，，单调递减；时，，单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）证明：，是的两个不同的零点，等价于，是方程的两个不同的根，
也是方程的两个不同的根，，则，.
要证，只需证，只需证，即证.
令，则，所以时，，单调递增；时，，单调递减.
不妨设，则，.令，，
则，所以时，，单调递增，又，所以时，，即.
因为时，单调递减，所以，即.
故原结论正确，即.