吉林省延边第二重点高中2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题（Word版含答案解析）

延边第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试
高二数学试卷（理）
答题时间：120分钟
试卷总分：150分
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项正确）
1.
设为实数,且,则下列不等式正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
2.已知数列是等差数列,,其前5项和,则为(
)
A．14
B．15
C．11
D．24
3．已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为（
）
A．－5
B．－4
C．－3
D．－2
4.
已知各项均为正数的等比数列中，，，则（
）
A．2
B．54
C．162
D．243
5.
已知实数满足，则的最小值是(
)
A．2
B．
C．4
D．
6．当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
7.
已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭
圆上一点，若周长是6，则椭圆的方程是(
)
A．
B．
C．
D．
8.已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题：
①公差
②
③
④数列中的最大项为
⑤
其中正确命题的个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
9．已知抛物线的焦点为，，直线交抛物线于，两点，且为的中点，则p的值为（
）
A．3
B．2或4
C．4
D．2
10.
过点作两条互相垂直的直线和，与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，若为线段的中点，则的最小值为（
）
A．
B．4
C．
D．5
11.
设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为实数，关于点的轨迹下列说法正确的是（
）
A．当时，轨迹为焦点在轴上的椭圆（除与轴的两个交点）
B．当时，轨迹为焦点在轴上的椭圆（除与轴的两个交点）
C．当时，轨迹为焦点在轴上的双曲线（除与轴的两个交点）
D．当时，轨迹为焦点在轴上的双曲线（除与轴的两个交点）
12．已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与E相交于，两点，且的中点为，则的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．若等比数列的各项均为正数，且，则______.
14．已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是______
15.
若，，则__________.
16.
若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为__________
三、解答题（共６小题，共70分，请写出必要的解答过程）
17．（本小题满分12分）
等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
设椭圆C：（），过点，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，求的中点坐标及.
19．(本小题满分12分）
已知数列的前n项和为,且,,数列满足，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和
.
20.
（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，直线过点交抛物线于，两点．
（1）若直线的倾斜角为，求的长；
（2）若直线交轴于点，且,.试求的值．
21.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中动圆P与圆外切，与圆内切.
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）直线l过点且与动圆圆心P的轨迹交于A、B两点，是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积的最大值；若不存在，说明理由。
22.（本小题满分10分）
函数，（）．
（1）求的解集；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
2019级高二理科数学期中考试参考答案
1.【详解】对于，令，故错误；对于，当时，则，故错误；对于，则，，则，故错误；对于，且，故正确，故选D.
2.【详解】数列是等差数列,,
故选：C
3.【详解】可行域的端点的坐标为，，，过点时，取得最小值，最小值为.故选：B.
4.【详解】解：设等比数列的公比为，由题意可得，
解得，.故选：C
5.【详解】因为，所以当且仅当时，等号成立故选B项.
6.【详解】当x＞0时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立 当x＞0时，不等式m＜x恒成立 m＜（x）min，当x＞0时，x26（当且仅当x＝3时取“＝”），因此（x）min＝6，所以m＜6，故选A．
7.B
8.【答案】B【详解】等差数列中，最大，且，，，①正确；
，，，，，，最大，
④不正确；，，③⑤正确，②错误.故选：B．
9.【解析】设，两式相减得为的中点，代入解得或故选
10.【详解】解:设为坐标原点,由题意可得,四点共圆,且圆心为
所以,即化简可得,,且,,
则，当且仅当即,时取等号,此时取得最小值．故选:C．
11.【解析】解析：设点，则，由题意可得，即，也即，显然当时，该方程表示焦点在轴上的椭圆（除与轴的两个交点），故答案A不正确；显然当时，该方程表示焦点在轴上的椭圆（除与轴的两个交点），故答案B不正确；显然当时，该方程表示焦点在轴上的双曲线（除与轴的两个交点），故答案D
不正确，应选答案C．
12.【详解】设双曲线的标准方程为，设，，则有：，，两式作差得：，即，∵，的中点为，∴，∴，即，∴，得.故选：B.
13.10
14.
.
15.
.
16【详解】由椭圆和双曲线定义，不妨设，根据椭圆和双曲线的定义可得：
，，联立上面两式，解之得：，，由椭圆的方程可得，所以焦距
.
17.
试题解析：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝．
由条件可知q＞0,故q＝．由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝．
故数列{an}的通项公式为an＝．
（Ⅱ）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－．
故．
所以数列的前n项和为
18.【详解】（1）将点代入椭圆C的方程得，所以.又由，得，即，所以.所以椭圆C的方程为.
（2）过点且斜率为的直线方程为，设直线与C的交点为，，联立方程消去y得，得，.
设线段的中点坐标为，则，，
即中点坐标为
由弦长公式
19.试题解析：（1）∵，∴当时，.
当时，.
∵时，满足上式，∴.
又∵，∴，解得：.故，，.
（2）∵，，
∴①
②
由①-②得：
∴，.
20【详解】解：（1）据已知得椭圆的右焦点为，∴，故抛物线的方程为，
∵直线的倾斜角为，∴，
于是得到，即，
设，，∴，∴．
（2）根据题意知斜率必存在，于是设方程为，点坐标为，
∵，为与抛物线的交点，，
得到，∵，∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
21.【详解】（1）设点，动圆的半径为，由题意知，，，
.由椭圆定义可知，动圆圆心在以，为焦点的椭圆上，
，，∴.所以.由于圆M内切于圆N于点，则.
因此，动圆圆心的轨迹方程为.
（2）因为直线过点，若直线的方程为，显然构成不了，故舍去；
故可设直线的方程为，则，整理得.
由.
设点、，则，.
则，
因为.设，则，
则.设，
所以在区间上为增函数，所以.所以，当且仅当时取等号，即.
因此，面积的最大值为.
22.【详解】解：（1），所以，
所以解不等式组或或，解得或或，∴的解集是
（2）由（1）知，当时，，由知，．故在上恒成立.令，则，即解得，故的取值范围为.