江苏省扬中市第二高级中学2021-2022第一学期高一数学周练4
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．不等式的解集为
（
D
）
A．
B．
C．
D．
2．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（
A
）
A．
B．
C．
D．
3.
若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是
( A )
A．a＋>b＋
B.>
C．a－>b－
D.>
4．已知，则下列不等式成立的是
（ B ）
A．
B．
C．
D．．
5．设，，，则的最小值是
（
D
）
A．4
B．
C．
D．
6．关于x的不等式的解集为，且：，则a=
（ A ）
A．
B．
C．
D．
7．已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是
（
D
）
A．
B．
C．
D．
8．已知非负实数，满足：，，则的最小值是
（
A
）
A．
B．
C．0
D．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．下面命题正确的是
（
ABD
）
A．“”是“”的
充
分不
必
要条件
B．命题“若,则”的
否
定
是“
存
在,则”.
C．设,则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设,则“”是“”的必要
不
充
分
条件
10．已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是
（
AD
）
A．
B．
C．
D．
11.
下列说法正确的是
（
AC
）
A．“是正数”是“”的充分不必要条件；
B．函数的最小值为4；
C．；
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
12．设正实数满足，则下列说法正确的是
(
ABD
)
A．的最小值为3
B．的最大值为
C．的最小值为
D．的最小值为
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13.已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是_______
14．已知，，且，则的最大值为_________．[
15．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是____．
16．已知，且，则的最小值是
．
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知二次函数，为实数．
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）当时，解关于的不等式．
17.解：（1）由不等式的解集为可知
方程的两根为
，
则由韦达定理可得，所以，
（2）当时，不等式
当时，即时，解得
当时，即时，无解
当时，即时，解得
综上，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为.
18.（1）若
是正数，且，则
的最小值；
（2）若，求的最大值.
18.解：
（1）∵，且，∴，
当且仅当，即时，等号成立.
即的最小值为；
（2）
因为，
又因为
当且仅当时,等号成立,
故的最大值是.
19．已知为正实数．
（1）求证：；
（2）如果一个Rt△的两条直角边分别为，且它的周长为.求Rt△面积的最大值.
19．解：（1）为正实数，不等式等价于，
由，
所以，
当时等号成立”
（2）直角三角形的两条直角边分别为，则斜边
其周长为,,
所以有，
所以成立，所以，
当时取“=”，
所以直角三角形面积的最大值为.
20．某地需要修建一条大型输油管道通过240
km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x
km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2＋x)万元．设余下工程的总费用为y万元．
(1)
试将y表示成x的函数；
(2)
需要修建多少个增压站才能使y最小？其最小值为多少？
20．解：(1)
设需要修建个增压站，则，
所以.
因为表示相邻两增压站之间的距离，则，
故与的函数关系为．
（注：定义域不写扣1分）
(2)
，
当且仅当时，等号成立，此时.
故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9
440万元．
（注：等号成立条件不写扣2分）
21.已知函数，.
（1）若关于x的不等式在有解，求a是取值范围；
（2）解关于x的不等式.
21．解：（1）在有解，即在有解，
因为，，
因为，所以；
（2），，且，
1）时，；
2）时，或；
3）时，
；
4）时，无解；
5）时，
.
（注：对1种情况得1分，对3种情况得4分，全对得8分）
22．（Ⅰ）已知不等式的解集为，求的最小值．
（Ⅱ）若正数满足，求证：．
22．解：（Ⅰ）当时，，
因为不等式的解集为，
所以方程的两根为，
由韦达定理可得，
，则
，
当且仅当时取等号，
故的最小值为；
（Ⅱ）正数为正数，且，
由基本不等式，有
，
三式相加得：
，
，即
（当且仅当时等号成立）.
6江苏省扬中市第二高级中学2021-2022第一学期高一数学周练4
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．不等式的解集为
（
）
A．
B．
C．
D．
2．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3.
若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是
(
)
A．a＋>b＋
B.>
C．a－>b－
D.>
4．已知，则下列不等式成立的是
（
）
A．
B．
C．
D．．
5．设，，，则的最小值是
（
）
A．4
B．
C．
D．
6．关于x的不等式的解集为，且：，则a=
（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知非负实数，满足：，，则的最小值是
（
）
A．
B．
C．0
D．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．下面命题正确的是
（
）
A．“”是“”的
充
分不
必
要条件
B．命题“若,则”的
否
定
是“
存
在,则”.
C．设,则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设,则“”是“”的必要
不
充
分
条件
10．已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是
（
）
A．
B．
C．
D．
11.
下列说法正确的是
（
）
A．“是正数”是“”的充分不必要条件；
B．函数的最小值为4；
C．；
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
12．设正实数满足，则下列说法正确的是
(
)
A．的最小值为3
B．的最大值为
C．的最小值为
D．的最小值为
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13.已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是_______
14．已知，，且，则的最大值为_________．[
15．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是____．
16．已知，且，则的最小值是
．
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知二次函数，为实数．
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）当时，解关于的不等式．
18.（1）若
是正数，且，则
的最小值；
（2）若，求的最大值.
19．已知为正实数．
（1）求证：；
（2）如果一个Rt△的两条直角边分别为，且它的周长为.求Rt△面积的最大值.
20．某地需要修建一条大型输油管道通过240
km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x
km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2＋x)万元．设余下工程的总费用为y万元．
(1)
试将y表示成x的函数；
(2)
需要修建多少个增压站才能使y最小？其最小值为多少？
21.已知函数，.
（1）若关于x的不等式在有解，求a是取值范围；
（2）解关于x的不等式.
22．（Ⅰ）已知不等式的解集为，求的最小值．
（Ⅱ）若正数满足，求证：．
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