江苏省扬中市第二高级中学2021-2022第一学期高三数学周练4
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．若集合，若，则实数的取值范围是
（
）
A、
B、
C、
D、
2．“”是“”的
（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有（
）
A．64种
B．48种
C．24种
D．12种
4．的展开式中常数项为
（
）
A．－160
B．160
C．80
D．－80
5．已知如图为函数的图象，则的解析式可能是
（
）
A、
B、
C、
D、
6．设分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与相切，与的渐近线在第一象限内的交点是，若轴，则双曲线的离心率为
(
)
A.
B.2
C..
D.4
7．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为
（
）
A．
B．
C．
D．2
8．如图直角坐标系中，角、角的终边
分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为，且满足，
则的值为
（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．若，且，则下列不等式恒成立的是
（
）
A、
B、
C、
D、
10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是
（
）
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球不都是红球的概率为
11．已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是
（
）
A．函数的值域与的值域不相同
B．把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象
C．函数和在区间(，)上都是增函数
D．若是函数的极值点，则是函数的零点
12．关于函数，下列判断正确的是
(
)
A．x＝2是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数k，使得成立
D．对任意两个正实数，，且＞，若，则
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．设随机变量服从正态分布，若，则_____．
14．已知函数，则_____
__；若实数a满足，则a的取值范围是_________．
15．如图，在P地正西方向的A处和正东方向的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设，为了节省建设成本，要使得的值最小，则当的值最小时，___
_．
16．在平面直角坐标系内，已知,若点满足,则面积的最大值为
.若点还同时满足，则点的横坐标等于
.
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在①，②，③.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
的内角、、所对应的边分别为，，，已知______，，.
（1）求的值；（2）求的面积.
18．设在正项等比数列中，，前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
19．在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,点(2,1)在椭圆C上。
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与圆相切，与椭圆C相交于两点，求证：是定值.
20．今年4月23日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的语文、数学、外语三门学科，“1”是指在物理和历史中必选一科，“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科。为了解我校高一学生在物理和历史中的选科意愿情况，进行了一次模拟选科。已知我校高一参与物理和历史选科的有1800名学生，其中男生1000人，女生800人。按分层抽样的方法从中抽取了36个样本，统计知其中有17个男生选物理，6个女生选历史。
(Ⅰ)根据所抽取的样本数据,填写答题卷中的列联表。并根据统计量判断能否有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关
(Ⅱ)在样本里选历史的人中任选4人,记选出4人中男生有人,女生有人,求随机变量的分布列和数学期望.(
的计算公式见下)
临界值表
P( )
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
21．在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，．
（1）求证：；
（2）若，是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
22．设，，函数，其中是自然对数的底数，曲线
在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数、的值；
（Ⅱ）求证：函数存在极小值；
（Ⅲ）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.
5江苏省扬中市第二高级中学2021-2022第一学期高三数学周练4
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．若集合，若，则实数的取值范围是
（
A
）
A、
B、
C、
D、
2．“”是“”的
（
B
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有（
C
）
A．64种
B．48种
C．24种
D．12种
4．的展开式中常数项为
（
A
）
A．－160
B．160
C．80
D．－80
5．已知如图为函数的图象，则的解析式可能是
（
B
）
A、
B、
C、
D、
6．设分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与相切，与的渐近线在第一象限内的交点是，若轴，则双曲线的离心率为
(
A
)
A.
B.2
C..
D.4
7．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为
（
D
）
A．
B．
C．
D．2
8．如图直角坐标系中，角、角的终边
分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为，且满足，
则的值为
（
B
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．若，且，则下列不等式恒成立的是
（
CD
）
A、
B、
C、
D、
10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是
（
ABC
）
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球不都是红球的概率为
11．已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是
（
CD
）
A．函数的值域与的值域不相同
B．把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象
C．函数和在区间(，)上都是增函数
D．若是函数的极值点，则是函数的零点
12．关于函数，下列判断正确的是
(
BD
)
A．x＝2是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数k，使得成立
D．对任意两个正实数，，且＞，若，则
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．设随机变量服从正态分布，若，则__0.6___．
14．已知函数，则_____
2
__；若实数a满足，则a的取值范围是__________．
15．如图，在P地正西方向的A处和正东方向的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设，为了节省建设成本，要使得的值最小，则当的值最小时，___
4
_．
16．在平面直角坐标系内，已知,若点满足,则面积的最大值为
.若点还同时满足，则点的横坐标等于
.
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在①，②，③.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
的内角、、所对应的边分别为，，，已知______，，.
（1）求的值；（2）求的面积.
17．解：若选①：，
由正弦定理得，
∵，
∴，
∴，∵，∴，
∴，∵，∴，
（1）∵，，∴，
∴.
（2）∵，∴，由正弦定理得，∴，
∴，
若选②：，由正弦定理得，
∵，∴，
∴，即，∵，∴，
下面步骤同①.若选③：，
则，
∴，∴，
∵，∴，∵，∴，下面步骤同①.
18．设在正项等比数列中，，前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
18．解：（1）设数列的公比为，
由题意得，
，
；
（2）由（1）得，
，
令，
，
两式相减得：，
，
19．在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,点(2,1)在椭圆C上。
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与圆相切，与椭圆C相交于两点，求证：是定值.
19.解：
（1）由题得，
再将点(2,1)带入方程得，
则椭圆C的方程为；
（2）①当直线斜率不存在时,则直线的方程为，
当时,
(,),(, ),
此时,所以,即，
当时,
同理可得,即；
②当直线斜率存在时，不妨设直线的方程为，
因为直线与圆相切,所以，
联立，
设，
此时
所以,即；
综上：是定值为.
20．今年4月23日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的语文、数学、外语三门学科，“1”是指在物理和历史中必选一科，“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科。为了解我校高一学生在物理和历史中的选科意愿情况，进行了一次模拟选科。已知我校高一参与物理和历史选科的有1800名学生，其中男生1000人，女生800人。按分层抽样的方法从中抽取了36个样本，统计知其中有17个男生选物理，6个女生选历史。
(Ⅰ)根据所抽取的样本数据,填写答题卷中的列联表。并根据统计量判断能否有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关
(Ⅱ)在样本里选历史的人中任选4人,记选出4人中男生有人,女生有人,求随机变量的分布列和数学期望.(
的计算公式见下)
临界值表
P( )
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
20．解：(Ⅰ)由条件知,按分层抽样法抽取的36个样本数据中有×36=20个男生，
16个女生，结合题目数据可得列联表如下；
物理
历史
合计
男生
17
10
27
女生
3
6
9
合计
20
16
36
根据表中数据,计算，
而，
所以没有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关；
(Ⅱ)由(I)知在样本里选历史的有9人，其中男生3人，女生6人；
所以可能的取值有2，0， 2， 4；
且，
，
，
；
所以的分布列为：
2
0
2
4
所以的期望为．
21．在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，．
（1）求证：；
（2）若，是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
21．证明：（1）因为，且为线段的中点，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又平面平面，所以，
又，且平面平面，平面平面，
所以平面，所以平面，又平面，所以；
（2）因为，为线段的中点，所以，
又因为平面平面，所以平面，
以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系；
则，，，，
则，，，
设，得，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，不妨令，
可得为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
于是有；
得或（舍），所以存在点，
使得直线与平面所成角的正弦值为．
22．设，，函数，其中是自然对数的底数，曲线
在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数、的值；
（Ⅱ）求证：函数存在极小值；
（Ⅲ）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.
22．解：（Ⅰ）∵，∴，
由题设得，∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
∴
，∴，
∴函数
在是增函数，
∵，，且函数图像在上不间断，
∴，使得，结合函数在是增函数有：
）
递减
极小值
递增
∴函数存在极小值；
（Ⅲ），使得不等式成立，
即，使得不等式
成立……（
），
令，，
则，
∴结合（Ⅱ）得，
其中，满足，
即，∴，，∴，
∴，，∴在内单调递增，
∴，
结合（
）有，即实数的取值范围为．
9
