江苏省镇江市重点高中2022届高三上学期期初调研考试数学试题（Word版含答案解析）

江苏省镇江中学高三上学期期初质量检测
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于（
）
A．3
B．
C．
D．
2．“”是“”的______条件（
）
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
3．若集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知是定义在R上的函数，且，如果当时，，则（
）
A．27
B．
C．9
D．
5．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，则至少有1名女生当选的不同的选法有（
）
A．27种
B．48种
C．21种
D．24种
6．函数的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
7．函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
8．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．）
9．数据5，7，7，8，10，11的标准差是________．
10．的展开式中的第四项是_______．
11．长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为______．
12．已知三次函数在R上单调递增，则的最小值为_______．
三、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．）
13．下列说法中正确的是（
）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”的必要不充分条件是“”
C．“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”
D．“”是“”的充分条件
14．下列命题中正确的是（
）
A．的最大值是
B．的最小值是2
C．的最大值是
D．的最小值是
15．已知函数，则下列结论正确的是（
）
A．恒成立，则a的取值范围是
B．，则a的取值范围是
C．，则a的取值范围是
D．
16．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍跟随区间”．特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”．下列结论正确的是（
）
A．若为的跟随区间，则
B．函数不存在跟随区间
C．若函数存在跟随区间，则
D．二次函数存在“3倍跟随区间”
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．己知函数．
（1）证明：为偶函数；
（2）用定义证明：是上的减函数；
（3）当时，求的值域．
18．已知关于x的不等式的解集为．
（1）求a，b的值；
（2）当，且满足时，有恒成立，求k的取值范围．
19．已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若函数有两个零点，求a的取值范围．
20．在四棱锥中，底面，E是的中点．
（1）证明：；
（2）证明：平面；
（3）求二面角的余弦值．
21．已知定义在R上的函数，其中a为常数．
（1）若是函数的一个极值点，求a的值；
（2）若函数在区间上是增函数，求a的取值范围；
（3）若函数，在处取得最大值，求正数a的取值范围．
22．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，关于x的不等式在上恒成立，求k的取值范围．
江苏省镇江中学高三上学期期初质量检测
参考答案
一、选择题
1．【答案】B
【解答】根据题意，当时，，则，又由函数为R上的奇函数，则；
2．【答案】D
【解答】“”与“”相互推不出，因此“”是“”的既不充分也不必要条件．
3．【答案】B
【解答】因为集合，所以，故选B．
4．【答案】B
【解答】由，则，所以为周期为8的周期函数，．
5．【答案】D
【解答】分为两类：
①1名女生当选，有种选法；
②2名女生当选，有种选法，故至少有1名女生当选的不同选法有（种）．
6．【答案】A
【解答】函数，所以：，则函数为减函数，
故：函数的最大值为．
7．【答案】A
【解答】，则函数为奇函数，可排除CD；，可排除B．故选：A．
8．【答案】B
【解答】设时曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为，点B处的切线为，则，因为切线的倾斜角小于直线的倾斜角，直线的倾斜角小于切线的倾斜角，所以，即，故选：B．
二、填空题
9．【解答】数据的平均数为，所以标准差为．
10．【解答】的展开式中第4项为．
11．【解答】依题意得，长方体的体对角线长为，记长方体的外接球的半径为R，则有因此球O的表面积等于．
12．【解答】由题意在R上恒成立，则．
∴
令．
（当且仅当，即时取“=”）
三、多项选择题
13．【答案】ABC
解析：由得，所以“”可推出“”，反之不一定成立，
所以A正确；“”可推出“”，反之不一定成立，所以B正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，所以C正确；由“”推不出“”，“”可推出“”，故“”是“”的必要条件，所以D错．故选ABC．
14．【答案】AC
解析：，当且仅当时，等号成立，所以A正确；
，y的值不能为2，所以B错误；
，当且仅当时，等号成立，所以C正确，D错误．
15．【答案】AC
解析：在A中，因为是减函数，所以当时，函数取得最小值，最小值为，因此，A正确；在B中，因为是减函数，所以当时，函数取得最大值，最大值为5，因此，B错误；在C中，，∴当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最大值为3，故函数的值域为，由有解，知，C正确；在D中，等价于的值域是的值域的子集，而的值域是的值域是，故D错．
16．【答案】BCD
解析：对于A，因为在区间上为增函数，故其值域为，若为的跟随区间，则，解得或，因为，所以．故A错误．
对于B，因为函数在区间与上均为增函数，所以若存在跟随区间，则有即a，b为的两根．
因为无解，所以函数不存在跟随区间．故B正确．
对于C，因为为减函数，所以若函数存在跟随区间，则则，
所以，因为，所以．
易得．
所以，令，则，同理也满足，即在区间上有两个不相等的实数根，
故解得，故C正确．
对于D，若存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为．当时，易得在区间上单调递增，此时易得a，b为方程的两根，解得或．
故存在定义域为，使得值域为．故D正确．故选BCD．
四、解答题
17．【解答】（1）证明：函数的定义域是，任取．
都有，∴是偶函数．
（2）证明：当时，，任取，且，
则，∵，∴，，∴，即，∴在上是减函数．
（3）由（1）（2）知函数在上是增函数，∴，，∴所求值域为．
18．【解答】（1）因为不等式的解集为，所以1和b是方程的两个实数根且，所以解得
（2）由（1）知于是有，故，当且仅当，即时，等号成立，依题意，有，即，得，解得
19．【解答】（1）当时，，∴．∵，∴．
∴切线方程为即．
（2）函数的定义域是，令，则．设，
则与的图象在上有两个交点．
，令，则
当时，；当时，
∴在上单调递增，在上单调递减．
∴．
又∵；当时，，
∴a的取值范围是．
20．【解答】证明：（1）底面，∴，又，，
∴面面，∴．
（2），∴，E是的中点，∴，由（1）知，从而面，∴．易知，∴面．
（3）由题可知两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
设，则
设平面的一个法向量为
，即，即，则即
设面的一个法向量为
，即取，则，即
∴由图可知钝二面角的余弦值为．
21．【解析】（1）∵∴．∵是的一个极值点，
∴，∴
（2）①当时，在区间上是增函数，∴符合题意；
②当时，，令得：
当时，对任意，∴（符合题意）
当时，当时，，∴，∴（符合题意）
综上所述，．
（3）时，．
，令，即（
），显然有．设方程（
）的两个根为，由（
）式得，不妨设．当时，为极小值
所以在上的最大值只能为或
当时，由于在上是单调递减函数
所以最大值为，所以在上的最大值只能为或
又已知在处取得最大值
所以
即，解得，又因为，所以．
22．【解析】（1）当时，，
当时，时减函数，是增函数，
所以的减区间为，增区间为
（2）当时，，即
设，则只需在恒成立即可
易知，因为，所以
当时，，此时在上单调递减
所以与题设矛盾
当时，由得，当时，
当时，，此时在上单调递减
所以当时，，与题设矛盾
当时，，故在上单调递增，所以恒成立．
综上，．