2022
届临川一中、临川一中实验学校高三第一次月考
x
y
0
x
y
3
0
数学试卷（理科）
7．已知M
,
N
为平面区域
内的两个动点，向量
a=(0,1)
，则MN
a的最大值是(
)
y
3
3
注意事项：
A．
B．2
C．3
D．4
1
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分
150
分.考试时间为
120
分钟.
2
2
本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的
8．某几何体的三视图（单位：
cm）如图所示，则该几何体的表面积（单
无效.
3
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置。
位：
cm2
）是（
）．
第Ⅰ卷
A．17+
5
B．16+
5
C．15+
5
D．14+
5
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分.在每小题给出的四个选项中，只有一
9．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏
项是符合题目要求的.
饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即
A
x
2
1.
已知集合
1 ，
B
2, 1,0，1,2, ，则
A
B
（
）x
将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平
2
2
A(2,0)
A.
{0,1,
2}
2,
1
1,
2
0,1
面直角坐标系中，设军营所在区域为
x
y
1，若将军从点
处出发，河岸线所在直线方程为B.
C.
D.
x
y
3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（
）
2.
已知复数
z1
，
z2
在复平面内对应的点分别为
1, 1 ，
z
0,1
1，则
z
共轭复数的模为（
）2
A．
2
2
B．
2
2
1
C．
10
1
D．
10
A.
2
B.
1
i
C.
1
i
D.
2
10．若函数
f
(x)
sin
|
x
| cos2x，
x
R则（
）
3.
等比数列 an 的各项均为正数，且
a1a5
4
，则
log2
a2
log2
a3
log2
a4
（
）
A．
f
(x)是周期函数
B．
f
(x)在 ,
上有
4
个零点
A.
10
B.
5
C.
3
D.
4
C．
f
(x)
在
0,
上是减函数
D．
f
(x)的最小值为
1
2
4
a
b
2
．若
a,b R
，则“
ab是
a
b
0”的(
)
2
11．已知函数
y
f
(x
1)
ln
x
的图象关于直线
x
1对称，且当
x
(0, )
时，
f
(x)
.若
x
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
a
f
e
2
b
f
(2)
c
f
5
a,b,c．下列函数中,既是偶函数,又在区间(-∞，0)上单调递增的函数是(
)
，
，
，则
的大小关系是(
)
2
3
A．
y
=
x2
B．
y
2x
C．
y
ln
x
D．
y
=
cos
x
A．b
a
c
B．
a
b
c
C．
a
c
b
D．
c
b
a
4
x
6.
x
(1, )
a已知曲线
y
ex
1在
x
x0
处的切线方程为
e3x
y
t
0
，则（
）
12．不等式
x
e
a
ln
x
x
1对任意
恒成立，则实数
的取值范围（
）
( ,1
e]
2
( , 4]
( , 3]
A.
x
1，t
1
B.
x
3，
t
1
2e3
C.
x
1，
t
1
D.
x
3，
t
1
2e3
A．
B．
( ,
2
e
]
C．
D．
0
0
0
0
第
II
卷
二、填空题：本题共
4小题，每小题
5分，共
20
分.
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13．
x 1
10
5
（1）求
5
局比赛决出胜负的概率；2x 1
的展开式中
x
的系数为____.
（2）比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为
X
,求
X
的分布列与期望.
14．已知
sin
cos
3
，则
sin2
cos2
___________.
3
15.
f
(x)
(0, )
xf
(x)
2
f
(x)
0
f
(2)
4
f
2x
x已知可导函数
的定义域为
，满足
，且
，则不等式
4
x2
y2
20.
2（12
分）已知椭圆C
:
2
+
2
=1(a
>
b
>
0)
的右焦点与抛物线
y
=
4x的焦点重合，椭圆的离心率为a
b
的解集是________．
16．如图，在底面边长为
4
，高为6
的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，
3
.
2
小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为
（1）求椭圆C的标准方程；
___________．
2
（2）点
P为椭圆C位于
y轴左侧部分上的任意一点，过点P分别作抛物线
y
=
4x的两条切线，切点分
三、解答题：共
70
分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第
17~21
题为必考题，每个试题考
生必须作答.第
22、23
题为选考题，考生根据要求作答.
别为
A,B，求三角形DPAB的面积的取值范围.
（一）必考题：共
60
分.
x
2
17.（12
分）已知等差数列{a
n}和等比数列{bn}满足：
a4
=
7,a8
=15
b
=
a
,b
=
a
+a
21.（12
分）已知函数
f
(x)
=
ae
-
x
-
2x,a R
，
，
1
2
4
6
7
{a
}
{b
}
（1）若函数
g(x)为函数
f
(x)
的导函数，讨论函数
g(x)的单调性；（1）求数列
n
和
n
的通项公式；
1
（2）若函数
f
(x)
的两个极值点分别为
x1,
x2
且
x1
<
x2
，若不等式
x1
+
lx2
>
0恒成立，求实数
l
的取值
2
{c
}
c
=
+b
n N
（
）若数列
n
满足
n
n
，
，求数列{cn}的前
n项和T
.a
nnan+1
范围；
（二）选考题：共
10
分.请考生在第
22、23
题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
18（.
12
分）如图在四棱锥P
-
ABCD，棱PA^底面
ABCD，底面四边形
ABCD为梯形，其中
AD
/
/BC，
22.[选修
4—4：坐标系与参数方程]（10
分）
BC
=
2AB
=
2AD
=
2PA
=
2,点Q在线段PA，且满足PA
=
3QA
.
ìx
=
2cosa
在平面直角坐标系
xoy，曲线C1
的参数方程为
í
（其中a
为参数），以坐标原点为极点，
x轴
y
=
sina
（1）求证：
PC
/
/
平面QBD；
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2
的极坐标方程为
r
sin(q
p
+
)
=
4
.
（2）若
AB^
AD,
点M
为线段
PC
6上靠近
P的三等分点，求二面角
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2
的直角坐标方程；
Q
-
BD
-M
的余弦值.
（2）若点P为曲线C1上任意一点，求点
P到曲线C2
的距离的最大值.
23.[选修
4—5：不等式选讲]（10
分）
19.（12
分）为了提高学生身体素质，引导学生广泛发展其体育爱好，某大学每年会举办一次盛大的羽毛
已知函数
f
(x)
=|
x
+2
|
+
|
x
-
a
|
球比赛，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中采用两种模式：前三场采用“模式
1”，后四场采用
“模式
2”.某位选手率先在
7
局中拿下
4
局，比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛，在“模式
1”中，
（1）当
a
=
1时，求不等式
f
(x)
>
5的解集；
3
1
1
每局甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
;
在“模式
2”中，每局比赛双方获胜的概率都为
，每局比
4
4
2
（2）若
a
>
0，对任意的
x R,
f
(x)
a2
-
2a
-
2
恒成立，求
a的取值范围.
赛结果互相独立.
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AE
AD
1\
=
=
EC
BC
2
数学试卷（理科）解答
AQ
1
又 Q满足
PA
=
3QA
\
=
一、选择题
QP
2
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
C
B
C
B
A
D
C
B
B
C
AE
AQ\
=
二、填空题
EC
QP
13、-4704
14
5
5、
或
-
15、
(1,+ )
16、5-
15
\QE
/
/PC
3
3
三、解答题
又 QE
平面QBD，
PC
平面QBD
17、解：令等差数列{an}的公差为
d，等比数列{bn}的公比为
q，由题知：
\PC
/
/平面QBD
6
分
ì
a1
+3d
=
7í
解得
a1
=1,d
=
2，所以
an
=
2n
-1,n N
3
分
（
2）因为
PA^平面ABCD且AB^
AD
，所以如图以
A
为坐标原点，以
AB,
AD,
AP
分别为 a1
+7d
=15
b
a
3,b
a
a
24
x轴,
y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系
o
-
xyz，\
1
=
2
=
4
=
6
+
7
=
q
2
由
BC
=
2,
AB
=
AD
=
PA
=1可知
A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)，C(1,2,0)\
=
Q(0,0,
1)
M
PC
P
M
(1
,
2
2\bn
=
3
2
n-1,n
N
，由点
为线段
的靠近点
的三等分点，故
,
) 6
分
3
3
3
3
1
\BD
=
(-1,1,0),BQ
=
(-1,0,
1),BM
2
2
2=
(-
,
,
)
2
1
c
=
+
3×2n-1（
）由（
）问知
3
3
3
3n
(2n
-1)(2n
+1)
令
平
面
QBD
与
平
面
MBD
的
一
个
法
向
量
分
别
为
1
=
(
1
1-
)
+3×2n-1
2
2n
-1
2n
+1
8
分
n1
=
(x1,
y1,
z1),n2
=
(x2
,
y2
,
z2
)
\Tn
=
c1
+
c2
+
c3
+ +
cn
ì
ì
n
×BD
=
0
-x
1
+
y1
=
0
1
则
令
x
=1,则y
=1,
z
=
3
，
1
1
1
1
1
1
1
3(1
-2
n)
1
=
[(
-
)
+
(
-
)
+
+
(
-
)]+
n
×BQ
=
0
-x1
+
z1
=
0
1
1
1
1
2
1
3
3
5
2n
-1
2n
+1
1
-2
3
1
=
(1
1-
)
+3×2n
-
3
\n1
=
(1,1,3)2
2n
+1
=
3×2n
1
5-
-
ì
ì
n
×BD
=
0
-x
2
+
y2
=
0
4n+2
2
12
分
2
则
2
2
2
令
x2
=1,
则
y2
=1.z2
=
0，\n2
=
(1,1,0)
n2
×BM
=
0
-
x2
+
y2
+
z2
=
0
18、（1）如图，连接
AC与
BD，且其交点为
E，连接QE
3
3
3
令二面角Q
-
BD
-M
的平面角为q
,已知q
为锐角
在梯形
ABCD
AD
/
/BC
AD
1中，
且
=
BC
2
n1×n2
2
22
P(X
=
6)
=
(
3)3
(1)3
(1×
+
)3
(1)3
C
2
(3)2
(1)C1(1)3
C
2
(1)2
(3)C1(1)3
C1(3+
+
+
)(1)2
(1)3
13
2
3
2
3
+C3
(
1)(3)2
(1)3
\cosq
=|
cos
<
n1,n2
>|=|
|=
=
4
2
4
2
4
4
2
4
4
2
4
4
2
4
4
2|
n1
||
n2
|
2
11
11
17
=
64
22
所以二面角Q
-
BD
-M
的余弦值为
11
12
分
P(X
=
7)
=1-
P(X
=
4)
-
P(X
=
5)
-
P(X
=
6)
17
=
64
9
分
19
1
所以
X
的分布列为：、解（
）设在“模式
1”比赛中，甲胜的场数为变量h1,“模式
2”的比赛中甲胜的场数为变量h2
，
X
4
5
6
7
则令
5场比赛甲胜为事件
7
1
17
17
P
A,乙胜为事件
B，5场比赛之后决出胜负为事件C
32
4
64
64
EX
4
7
5
1
6
17其期望为
=
+
+
+7
17
357
=
则
32
4
64
64
64
12
分
P(A)
=
P(h1
=
2)P(h2
=
2)
+P(h1
=
3)P(h2
=1)
20
2、解：（1）由抛物线
y
=
4x的焦点为
F(1,0)与椭圆的焦点重合，所以
c
=1,
C
2
(3=
)2
(1)×(1)2
+
(3)3(1)2
c
3
2
2
2
2
3
33
4
4
2
4
2
且离心率
e
=
=
，
a
=
b
+c
，所以
a
=
,b
=a
2
3
3
27
27
=
+
256
256
3x2
2
所以椭圆的标准方程为：
+3y
=1
27
4
4
分
=
128
3
分
（2）如图，令
P(x0
,
y0
),
A(x1,
y1),B(x2
,
y2
)
，直线
AB的方程为
x
=
my
+
n，不妨令
A在
x轴上方，B
P(B)
=
P(h1
=1)P(h2
=
0)
+P(h1
=
0)P(h2
=1)
在
x轴的下方，则
y1
=
-2
x1
,
y2
=
2
x2
C1(3)(1=
3
)
2
(1)2
(1+
)3(1)2
4
4
2
4
2
y
'
1
,
y
'
1\
1
=
-9
1
x
2
=
=
+
1
x2
256
256
10
=
则过
A,B两点的切线
PA,PB的直线方程分别为：
PA
:
y
1
=
-
(x
-
x1)
+
y1
256
x1
5
=
2
y
2
y
128
即：
y
=
x
+
1
PB
:
y
=
x
+
2y
5
分1
1
2
y2
2
所以
P(C)
=
P(A)
+P(B)
=
4
ì
2
y
1
y
=
x
+
1
ì
y1y2
所以
5场比赛决出胜负的概率为
6
分
y1
2
x
=
4
PA,PB
0
4
联立直线
，即
í
解得
í
2
y
y
+
y
（2）分析值随机变量
X
的所有可能取值为
4,5,6,7
y
=
x
+
2
y
=
1
2
3
y2
2
0
2
则
P(X
=
4)
=
(
)3
1
(1)3
1
28
7×
+
=
=
4
2
4
2
128
32
ì x
=
my
+n1
2P(X
=
5)
=
联立
í
2
消
x得
y
-
4my
-
4n
=
0
4
y
=
4x
y1
+
y2
=
4m,
y1y2
=
-4n
ìx
t
-1-
t
ln
tx
1
=
\
x
-
x
=
ln
t，
1
+11
2
=
t
í
1-
t解得
x
+1
t
-1-
ln
t
7
分
\
x0
=
-n,
y
2m
P
y
2
3
2
3
0
=
，又点
在椭圆的
轴左侧部分，则
-
x0
<
0,\0
<
n
2
x
=
3
3
2
1-
t
3x
2
22
3n
2
\
x1
+
lx2
>
0等价于
t
-1-
t
ln
t
+l(t
-1-
ln
t)
>
0对任意的
t
(0,1)恒成立\
0
+3y0
=
+12m
=
14
4
7
分
令H
(t)
1=
t
-1-
t
ln
t
+l(t
-1-
ln
t)
'，则H
(t)
=
-
ln
t
+l(1-
)
令线段
AB的中点为M
y
y，则
=
1
+
y2M
=
2m
=
y
2
0
，
xM
=
myM
+n
=
2m
+n
t
2
1
当
l
0时，H
'(t)在
(0,1)
'单调递减，则H
(t)
>
H
'
(1)
=
0
\S
=
|
PM
||
y
-
y
|=
(m2
2DPAB
2
1
2
+n)
(y1
+
y2
)
-
4y1y2
所以
y
=
H
(t)在
(0,1)上单调递增，则H
(t)
<
H
(1)
=
0不成立，舍去
3
8
分
=
4(m2
+
n)
2
当
l
>
0时，则
3
1
3
=
4(-
n2
+
n+
)
2
H
''(t)
1
l
l
-
t=
-
+
=
48
12
t
t2
t2
2
3
3
84
12
当
l
1
H
''时，则
(t)
>
0
'，则
y
=
H
(t)在
(0,1)
'
'上单调递增，所以H
(t)
<
H
(1)
=
0
又 0
<
n
\
<
S
3
18
DPAB
3
12
分
\
y
=
H
(t)在
(0,1)上单调递减，则H
(t)
>
H
(1)
=
0成立
10
分
21
'、（1）由题知
g(x)
=
f
(x)
=
ae
x
-
2x
-
2
g
'，则
(x)
=
ae
x
-
2
当0
<
l
<1时，H
''
(t)
<
0时，
l
<
t
<1，H
''
(t)
>
0时，0
<
t
<
l
当
a
0
'时，
g
(x)
<
0对
x R恒成立
\g(x)在R上单调递减
1
分
所以
y
=
H
'
(t)在
(0,l)上递增，在
(l,1)上递减
'
当
a
>
0时，
g
(x)
2=
0，则
x
=
ln
a
t
(l,1)
H
'
(t)
>
H
'2
2
对任意
，
(1)
=
0g
'
(x)
>
0时，
x
>
ln
，\g(x)在
(ln
,
+ )上单调递增
a
a
所以
y
=
H
(t)在
(l,1)上单调递增，所以H
(t)
<
H
(1)
=
0与题设矛盾舍去
g
'
(x)
2
2<
0时，
x
<
ln
，\g(x)在
(- ,
ln
)上单调递减
a
a
4
分
综上：
l
1
12
分
综上：当
a
0时，
g(x)在
R上单调递减
2
a
0
g(x)
(ln
2
x
2
2
2
2
2
当
>
时，
在
,
+ )上单调递增，在
(- ,
ln
2)
22、（1）曲线C上单调递减
1的普通方程为
+
y
=
1，则其极坐标方程为
r
cos
q
+4r
sin
q
=
4
a
a
5
分
4
（2）由（1）问知
f
(x)的两个极值点
x1,
x2
是方程
g(x)
=
0的两根，即
a
>
0
曲线C2
:
r(
3
sinq
1+
cosq
)
=
4，即其直角坐标方程为：
x
+
3y
-8
=
0
2
2
5
分
ì aex1
-
2x1
-
2
=
0
ex
-x
x
+1\í
1
2
=
1
t
=
ex
-xx
则可得
，令
1
2
，由
x
<
x
知道
t
(0,1)
ae
2
-
2x
-
2
=
0
x
+1
1
2
2
2
（2）令点
P(2cosa
,sina
)
C
d
|
2cosa
+
3sina
-8
|
|
7
sin(a
+j)
-8
|，则其到
2
的距离为
=
=
，2
2
d
7则
的最大值为
4+
2
10
分
23、（1）当
a
=
1时
当
x
-2时，
f
(x)
=
-(x
+2)
-
(x
-1)
=
-2x
-1>
5，\
x
<
-3
当
-2
<
x
<1时，
f
(x)
=
x
+2-
(x
-1)
=
3
>
5不成立
当
x
1时，
f
(x)
=
x
+2+
x
-1=
2x
+1>
5，\
x
>
2
综上，
f
(x)
>
5的解集为
(- ,-3)
(2,+ )
5
分
（2） a
>
0,\
f
(x)
=|
x
+2
|
+
|
x
-
a
| |
a
+2
|=
a
+2
\a
+2
a2
-
2a
-
2
a2即
-3a
-
4
0
\0
<
a
4
所以
a的取值范围为：0
<
a
4
10
分
