山东省平邑县第一重点高中东校2022届高三上学期9月月考数学试题（Word版含答案解析）

2021-2022山东平邑一中东校高三9月份月考及详细答案
一、单项选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．若集合，，则　　
A．，
B．，
C．，
D．，
2．已知，则　　
A．
B．
C．
D．
3．若，，，则　　
A．
B．
C．
D．
4．已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是　　
A．，
B．
C．
D．，
5．已知等比数列中，，则公比为　　
A．
B．2
C．
D．
6．函数的大致图象是　　
A．
B．
C．
D．
7．为得到函数的图象，只需将函数的图象　　
A．向右平移长度单位
B．向左平移个长度单位
C．向右平移个长度单位
D．向左平移长度单位
8．设是定义域为的偶函数，若，，，都有，则，，的大小关系为　　
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数有　　
A．
B．
C．
D．
10．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边上的一点为，，则下列各式一定为负值的是　　
A．
B．
C．
D．
11．已知函数在区间上至少存在两个不同的，满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是　　
A．在区间上的单调性无法判断
B．图象的一个对称中心为
C．在区间上的最大值与最小值的和为
D．将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位得到的图象，则
12．已知函数的图象关于直线对称，且对有．当，时，．则下列说法正确的是　　
A．的周期
B．的最大值为4
C．
D．为偶函数
三、填空题：本题共4小题。
13．已知，且是第三象限角，则　　，　　．
14．设函数，则　　．
15．命题“不等式的解集为空集”是真命题，则实数的取值范围是　　．
16．函数在上单调递增，则实数的取值范围是
　　．
四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设的前项和为，求的值．
18．在中，，______．求边上的高．
，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．
20．已知函数有两个极值点，，且．
（1）若，求曲线在点，（4）处的切线方程；
（2）记（a），求的取值范围，使得（a）．
21．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间（分钟）的变化规律越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：．
（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
22．已知函数，．
（Ⅰ）若，求曲线在点，（e）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间和极值；
（Ⅲ）若对于任意，，都有成立，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．若集合，，则　　
A．，
B．，
C．，
D．，
解：，，
．
故选：．
2．已知，则　　
A．
B．
C．
D．
解：，即为
，
即有，
即．
故选：．
3．若，，，则　　
A．
B．
C．
D．
解：令在时单调递增，
，
则，
故选：．
4．已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是　　
A．，
B．
C．
D．，
解：已知，解得；
，解得或；
若是的充分条件，则能推出，
即，
解得，
则实数的取值范围是，．
故选：．
5．已知等比数列中，，则公比为　　
A．
B．2
C．
D．
解：等比数列中，，
，，
，
解得，
故选：．
6．函数的大致图象是　　
A．
B．
C．
D．
解：，
则是奇函数，图象关于原点对称，排除，
当，，排除，
当时，得或，
即当时，函数的零点分别为0，，，，，，即函数零点间距相同，排除，
故选：．
7．为得到函数的图象，只需将函数的图象　　
A．向右平移长度单位
B．向左平移个长度单位
C．向右平移个长度单位
D．向左平移长度单位
解：，
函数的图象，可由函数的图象向左平移个长度单位．
故选：．
8．设是定义域为的偶函数，若，，，都有，则，，的大小关系为　　
A．
B．
C．
D．
解：，，，都有，
在上是增函数，
又是上的偶函数，
，
，
，
．
故选：．
二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数有　　
A．
B．
C．
D．
解：根据题意，依次分析选项：
对于，，其定义域为，有，即函数为偶函数，
在区间上，，为增函数，符合题意，
对于，，有，解可得，即函数的定义域为，不是偶函数，不符合题意，
对于，为二次函数，开口向上且对称轴为轴，既是偶函数又是区间上的增函数，符合题意，
对于，，其定义域为，有，即函数为偶函数，
可令，可得在递增；在递增，则函数为增函数，符合题意，
故选：．
10．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边上的一点为，，则下列各式一定为负值的是　　
A．
B．
C．
D．
解：根据题意，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边上的一点为，，
则，
当时，，则，，
则，，，，
当时，，则，，
则，，，，
故一定为负值的是、，
故选：．
11．已知函数在区间上至少存在两个不同的，满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是　　
A．在区间上的单调性无法判断
B．图象的一个对称中心为
C．在区间上的最大值与最小值的和为
D．将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位得到的图象，则
解：由题意得，，即．
又在区间上至少存在两个最大值或最小值，
且在区间上具有单调性，则，此时，即，
因为，所以，
所以在区间上单调递减，故错误；
由，所以为图象的一个对称中心，故正确；
因为，所以，
，，
所以最大值与最小值之和为，故正确；
将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，
得到的图象，再向左平移个单位，
得到的图象，
即，故错误．
综上，，正确．
故选：．
12．已知函数的图象关于直线对称，且对有．当，时，．则下列说法正确的是　　
A．的周期
B．的最大值为4
C．
D．为偶函数
解：因为函数的图象关于直线对称，
故的图象关于直线对称，
因为对有，
所以函数的图象关于点中心对称，
所以，即，
又，即，
所以，所以，
所以，所以的周期为8，故选项正确；
又，故函数为偶函数，故选项正确；
因为当，时，，且，
则当，时，，，
所以，所以，
故当，时，，
又函数的图象关于直线对称，
所以在同一个周期，上，的最大值为（2），
故在上的最大值为4，故选项正确；
因为（5），所以选项错误．
故选：．
三、填空题：本题共4小题。
13．已知，且是第三象限角，则　　，　　．
解：因为是第三象限角，且，
所以，
则．
故答案为：；
14．设函数，则　　．
解：函数，
，
．
故答案为：15．
15．命题“不等式的解集为空集”是真命题，则实数的取值范围是　　．
解：命题“不等式的解集为空集”是真命题，
当时，不等式为，解集为空集；
当时，应满足，
即，
解得；
综上知，实数的取值范围是，．
故答案为：，．
16．函数在上单调递增，则实数的取值范围是
　　．
解：，
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，
所以的取值范围为，．
故答案为：，．
四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设的前项和为，求的值．
解：（Ⅰ）因为，，成等比数列，所以．（2分）
所以，（4分）
又的公差为2，所以，
解得．（7分）
所以的通项公式为．（9分）
（Ⅱ）（11分）
．（13分）
所以，的值为220．
18．在中，，______．求边上的高．
，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：选择①，在中，由正弦定理得，
即，解得；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为．
选择②，在中，由正弦定理得，
又因为，所以，即；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为．
选择③，在中，由，得；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为．
19．已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．
解：（Ⅰ）
．
．
（Ⅱ）．
，
．
的单调增区间为：．
20．已知函数有两个极值点，，且．
（1）若，求曲线在点，（4）处的切线方程；
（2）记（a），求的取值范围，使得（a）．
解：（1）当时，，
，
（4），（4）．
所以，点，（4）处的切线方程是．
（2），
由已知得，，，且．
令，得，且．
．．
．
令．
则
在上单调递增．
（4），
．
又在上单调递增，
．
21．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间（分钟）的变化规律越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：．
（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
解：（1）当时，
是增函数，且；
当时，是减函数，
且．
所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟．
（2）（5），，
故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．
（3）当时，，则；
当时，令，
，则学生注意力在180以上所持续的时间
，
所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．
22．已知函数，．
（Ⅰ）若，求曲线在点，（e）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间和极值；
（Ⅲ）若对于任意，，都有成立，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ），（e），
，
则（e）．
所以在点，（e）处的切线方程为即．
（Ⅱ）因为，
所以，．
①当时，因为，所以，
函数的单调增区间是，无单调减区间，无极值
②当时，令，解得，
当时，；当，，
所以函数的单调减区间是，单调增区间是，，
在区间上的极小值为，无极大值．
（Ⅲ）因为对于任意，，都有成立，所以，
即问题转化为对于，恒成立，
即对于，恒成立，
令，则，
令，，，则，
所以在区间，上单调递增，
故（e），进而，
所以在区间，上单调递增，
函数，
要使对于，恒成立，只要，
所以，即实数的取值范围是．