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22.1 二次函数的图象和性质
【提升训练】
一、单选题
1．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点、点．下列结论：①；②；③；④．正确的有（ ）
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中①；②；③；④：⑤当（为实数）时，，其中正确的有（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知二次函数（、是常数，）的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
5．将二次函数位于x轴下方的图像沿x轴向上翻折，与原二次函数位于x轴上方的部分组成一个新图像，这个新图像对应的函数最大值与最小值之差为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
6．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
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A．b＞0 B．b2-4ac＜0 C．a+b+c＞0 D．点A的坐标为（﹣2，0）
7．如图，小聪要在抛物线y ＝x（2-x）上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，三个同学的说法如下，
小明：若b＝-3，则点M的个数为0；
小云：若b ＝ 1，则点M的个数为1；
小朵：若b ＝ 3，则点M的个数为2．
下列判断正确的是（ ）．
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A．小云错，小朵对 B．小明，小云都错 C．小云对，小朵错 D．小明错，小朵对
8．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，②，③，④，正确的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（ ）
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A． B． C． D．
10．二次函数的图像如图所示，点 在轴的正半轴上，且，设，则 的取值范围为（ ）
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A． B．
C． D．
11．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
12．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），对称轴为x＝1，与x轴的另一个交点为B，点C为抛物线顶点．下列结论：①abc＜0；②4a＋2b＋c＞0；③a＋b＞0；④c＜4b；⑤若△ABC是等腰三角形时，a＝．其中结论正确的有（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．已知二次函数的图象经过第一象限的点，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．设，分别是函数，图象上的点，当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”．则下列结论：
①函数，在上是“逼近函数”；
②函数，在上是“逼近函数”；
③是函数，的“逼近区间”；
④是函数，的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
15．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
16．二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
17．若关于x的二次函数y＝ax2+bx的图象经过定点（1，1），且当x＜﹣1时y随x的增大而减小，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．我们定义一种新函数：形如y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )|ax2＋bx＋c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
②当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值随x值的增大而增大；
③当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
④当x＝1时，函数的最大值是4
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A．4 B．3 C．2 D．1
19．二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）
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A．若，是图象上的两点，则
B．
C．方程有两个不相等的实数根
D．当时，随的增大而减小
20．如图，抛物线y＝ax2﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（ ）21*cnjy*com
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A．h＞ B．0＜h≤ C．h＞2 D．0＜h＜2
21．已知二次函数，其中，当时，y的最大值与最小值的差为16，则m的值为（ ）
A． B． C． D．2
22．已知函数，若函数在0≤x≤1上的最大值是2，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或3 D．﹣6或
23．已知抛物线经过点A（1，0），B（5，0）两点，，是关于x的一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
24．如图，正三角形和正三角形的边，在同一条直线上，将向右平移，直到点与点重合为止，设点平移的距离为，，．两个三角形重合部分的面积为，现有一个正方形的面积为，已知，则S关于的函数图像大致为（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
25．如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ）2-1-c-n-j-y
A．或2 B． C．2 D．
27．已知二次函数，当时，，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
28．二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论不正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
29．如图是二次函数在平面直角坐标系中的图象，根据图象判断：①；②；③；④，其中正确的是（ ）21*cnjy*com
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A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
30．已知抛物线，当时，y的最大值为2，则当时，y的最小值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
二、填空题
31．如图，抛物线的解析式为，点的坐标为，连接：过A1作，分别交y轴、抛物线于点、：过作，分别交y轴、抛物线于点、；过作，分别交y轴、抛物线于点、…：按照如此规律进行下去，则点（n为正整数）的坐标是_________．
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32．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________．
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33．如图为二次函数的图象，则下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是________（填写序号）．
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34．如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线，下面结论：
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①；
②；
③；
④方程必有一个根大于且小于0．
其中正确的是____（只填序号）．
35．如图，二次函数（）的图象与轴交于，对称轴为直线，与轴的交点在2和3之间（不包括这两个点），下列结论：①当时，；②；③对于任意实数，始终成立；④，其中正确的结论的序号是________．
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三、解答题
36．如图，抛物线经过点，与轴交于点和点（点在点的右边），且．
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（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图1，点、在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；
（3）如图2，点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3：5两部分，求点的坐标．
37．二次函数．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）过动点作直线轴，当直线与抛物线只有一个公共点时，求关于的函数表达式；
（3）若对于每一个值，它所对应的函数值都不小于1，求整数的值．
38．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为，抛物线经过点．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式的解集；
（3）点是抛物线上的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点,当时，求P点的坐标．
39．小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如
下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：
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（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质：__________；
②方程的解为：__________；
③若方程有四个实数根，则的取值范围是__________．
（2）延伸思考：
将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围．
40．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任 ( http: / / www.21cnjy.com )意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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41．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 7 5 3 ﹣1 ﹣1 3 …
（1）如表是y与x的几组对应值，则a＝ ，k＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，已描出了部分点并绘制了部分图象，请把该函数的图象补充完整，并写出该函数的一条性质： ；
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（3）如图，在平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系中作出了函数y＝﹣x＋2的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0的解集（结果保留1位小数，误差不超0.2）
42．已知二次函数y＝ax2－4ax＋3a（a为常数，且a≠0）
（1）求证：不论a为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
（2）当1≤x≤4时，y＜5，直接写出a的取值范围．
43．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．
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（1）求的值；
（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q．
①当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．
44．如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．
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（1）求和的值；
（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．21教育名师原创作品
45．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；
（2）若点，在抛物线上，且，则m的取值范围是 ；（直接写出结果即可）
（3）当时，函数y的最小值等于6，求m的值．
46．在平面直角坐标系xoy中，抛物线，顶点为P，直线与抛物线交于点A，点B．
（1）求抛物线顶点P的坐标（用含a的代数式表示）．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当时，求抛物线与直线AB围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标．
②当抛物线与直线AB围成的封闭区域内有且只有1个整点时，求a的取值范围．
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47．已知二次函数（其中m为常数）．
（1）当时，求该二次函数图象的对称轴．
（2）求证：:无论m为何值，该函数的图象与x轴一定有两个公共点．
（3）当时，该函数有最大值3，求m的值．
48．已知关于的一元二次方程（为常数）．
（1）若它的一个实数根是方程的根，则_____，方程的另一个根为_____；
（2）若它的一个实数根是关于的方程的根，求的值；
（3）若它的一个实数根是关于的方程的根，求的最小值．
49．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是抛物线的顶点．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段MB上一个动点，且点P的横坐标为m，过点P作轴于点D，交抛物线于点E，求线段PE的最大值，并求出此时点E的坐标；21世纪教育网版权所有
（3）在（2）的条件下，若在线段MB上存在点P，使得为直角三角形，请直接写出点P的坐标．
50．如图，二次函数的图象与x轴交于O，A两点．
（1）求点A的坐标和此二次函数的对称轴．
（2）若P，Q在抛物线上且．当时，．求m的取值范围．
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51．在平面直角坐标系中，抛物线（）．
（1） 求抛物线的对称轴及抛物线与y轴交点坐标．
（2） 已知点B（3，4），将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
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备用图
52．如图，二次函数的图象与轴分别交于点（点在点的左侧），与轴交于点，且经过点．
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（1）求的值．
（2）将点向下平移个单位至点，过点作轴于点，交抛物线于点．若，求的值．
53．二次函数的顶点是直线和直线的交点．
（1）当时，的值均随的增大而增大，求的取值范围．
（2）若直线与交于点．
①当时，二次函数的最小值为，求的取值范围．
②和为二次函数上的两个点，当时，求的取值范围．
54．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A（2，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线解析式，并根据该函数图象写出x＜0时y的取值范围；
（2）将线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′（m，n均为正数），若点O′，B′均落在此二次函数图象上，求m，n的值．
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55．如图1，抛物线与轴交于点，，点为抛物线顶点，连接，，与轴交于点，连接．
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（1）求该抛物线解析式，并写出顶点的坐标；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）如图2，连接，抛物线上是否存在点，使，当时，请直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．
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22.1 二次函数的图象和性质
【提升训练】
一、单选题
1．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】
先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．
【详解】
解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，
，
抛物线的对称轴为，
，
，则结论①正确；
将点代入二次函数的解析式得：，则结论③错误；
将代入得：，则结论②正确；
抛物线的对称轴为，
和时的函数值相等，即都为，
又当时，随的增大而减小，且，
，则结论④错误；
由函数图象可知，当时，取得最大值，最大值为，
，
，
即，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
2．如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点、点．下列结论：①；②；③；④．正确的有（ ）
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
把A、B两个点的坐标分别代入中，求得b=-2a及c=-3a，由图象知a<0，从而可分别对前3个结论作出判断；根据抛物线在顶点处取得最大值，从而可对最后一个结论作出判断．
【详解】
∵抛物线分别过点A、B
∴
解得：
由图象知：a<0
∴b>0，c>0
∴abc<0
故①错误
b-2a=-2a-2a=-4a>0，
故②③均正确
∵，且a<0
∴当x=1时，函数取得最大值，且最大值为a+b+c=-4a
对于任意x=n，当n≠1时，则必有
即
故④正确
所以正确的结论有②③④
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点， ( http: / / www.21cnjy.com )二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向、最值、二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据抛物线过点A、B得到b、c关于a的表达式，本题涉及到数形结合思想．
3．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中①；②；③；④：⑤当（为实数）时，，其中正确的有（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】
由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x ( http: / / www.21cnjy.com )轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故①错误；根据二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2-4ac＞0，求得4ac-b2＜0，故②错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=-1时，y=a-b+c＜0，于是得到c-a＜0，故③错误；当x=1时，y=a+b+c>0，故④正确；当x=-n2-2（n为实数）时，代入解析式得到y=ax2+bx+c=a（-n2-2）2+b（-n2-2）+c=an2（n2+2）+c，于是得到y=an2（n2+2）+c≥c，故⑤正确．
【详解】
解：①由图象与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又对称轴方程为x=-1，所以-=-1，所以b=2a，
∵
∴
∴abc＞0，故①错误；
②∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2-4ac＞0，
∴4ac-b2＜0，故②错误；
③∵-=-1，
∴b=2a，
∵当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴a-2a+c＜0，
∴c-a＜0，故③错误；
④当x=1时，y=a+b+c>0，故④正确；
⑤当x=-n2-2（n为实数）时，y=ax2+bx+c=a（-n2-2）2+b（-n2-2）+c=an2（n2+2）+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，
∴y=an2（n2+2）+c≥c，故⑤正确，
∴正确的结论有：④⑤，共2个
故选：A．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
4．已知二次函数（、是常数，）的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出二次函数的解析式，确定函数取得最大值时，的值；再解出函数值为时，的值，即可得出答案．
【详解】
解二次函数（、是常数，）的图象经过点和，
，
解得：，
，
当时，函数的最小值为，最大值为1，
当时，；
时，，
解得：，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数，解题的关键是：理解题意，求出函数的解析式，利用函数的对称性、开口方向，研究最值．
5．将二次函数位于x轴下方的图像沿x轴向上翻折，与原二次函数位于x轴上方的部分组成一个新图像，这个新图像对应的函数最大值与最小值之差为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
根据题意作出图形，最大值为新函数时的函数值，最小值为0．
【详解】
如图，根据题意：
位于x轴下方的图像沿x轴向上翻折后的图像为：
的图像
则新函数的最大值为时的函数值
最小值为0．
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函数最大值与最小值之差为：
故选D
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，对称，注意函数图像的取值范围，数形结合是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
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A．b＞0 B．b2-4ac＜0 C．a+b+c＞0 D．点A的坐标为（﹣2，0）
【答案】D
【分析】
抛物线的开口向下，对称轴在 ( http: / / www.21cnjy.com )y轴的左侧（左同右异），可得到a，b的取值范围，可对A作出判断；抛物线与x轴有两个不同的交点，可得到b2-4ac＞0，可对B作出判断；抛物线的对称轴为直线x=-1，图象经过点（0，0），可确定a+b+c的取值范围，可对C作出判断；利用二次函数的对称性，可得到点A的坐标，可对D作出判断．
【详解】
解：A、∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的左侧，
∴a＜0， ，
∴b＜0，故A不符合题意；
B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴ b2-4ac＞0 ，故B不符合题意；
C、抛物线的对称轴为直线x=-1，图象经过点（0，0），
∴当x=1时y＜0即a+b+c＜0，故C不符合题意；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=-1，图象经过点（0，0），
∴点A和点O关于对称轴对称，
∴点A（-2，0），故D符合题意；
故答案为：D．
【点睛】
此题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数与不等式（组）的综合应用．
7．如图，小聪要在抛物线y ＝x（2-x）上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，三个同学的说法如下，
小明：若b＝-3，则点M的个数为0；
小云：若b ＝ 1，则点M的个数为1；
小朵：若b ＝ 3，则点M的个数为2．
下列判断正确的是（ ）．
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A．小云错，小朵对 B．小明，小云都错 C．小云对，小朵错 D．小明错，小朵对
【答案】C
【分析】
根据题意，分、、三种情况，结合二次函数、一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵点，
当时，则，整理得，
∵，
∴有两个不相等的值，
∴点的个数为2；
当时，则，整理得，
∵，
∴有两个相同的值，
∴点的个数为1；
当时，则，整理得，
∵，
∴点的个数为0；
∴小明错，小云对，小朵错
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．
8．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，②，③，④，正确的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据抛物线的开口方向，对称 ( http: / / www.21cnjy.com )轴，与y轴交点可得a，b，c的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x轴的交点可得当x=-2时，y＞0，可判断②；再根据x=-1时，y取最大值可得a-b+c≥ax2+bx+c，从而判断③；最后根据x=1时，y=a+b+c，结合b=2a，可判断④．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-1，即，
∴b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，
则与x轴的另一个交点在-2和-3之间，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故②错误；
∵x=-1时，y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c，
∴a-b+c≥ax2+bx+c，
∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正确；
∵当x=1时，y=a+b+c＜0，b=2a，
∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正确；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与系数的 ( http: / / www.21cnjy.com )关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
9．在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分四种情况讨论，利用待定系数法，求过，，，中的三个点的二次函数解析式，继而解题．
【详解】
解：设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
最大为，
故选：A．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．二次函数的图像如图所示，点 在轴的正半轴上，且，设，则 的取值范围为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由图像可得，，当，，并与轴交于之间，得，据悉可得，据此求解即可．
【详解】
解：由图像可知，图像开口向下，并与轴相交于正半轴，
∴，，
当，，
∵，并由图像可得，二次函数与轴交于之间，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，熟悉相关性质是解题的关键．
11．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】
由已知可得a+b=6，，把b=6-a代入S的表达式中得：
，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值．
【详解】
∵p=5，c=4，
∴a+b=2p-c=6
∴
由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得：
设，当取得最大值时，S也取得最大值
∵
∴当a=3时，取得最大值4
∴S的最大值为
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．
12．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），对称轴为x＝1，与x轴的另一个交点为B，点C为抛物线顶点．下列结论：①abc＜0；②4a＋2b＋c＞0；③a＋b＞0；④c＜4b；⑤若△ABC是等腰三角形时，a＝．其中结论正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】
根据二次函数的图象分析出基本信息，然后逐项判断即可．
【详解】
由函数图象可知，，，，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（-1，0）、B关于对称轴对称，
∴B的坐标为（3，0），
∴当时，函数值，
即：4a＋2b＋c＞0，故②正确；
∵对称轴为直线x＝1，
∴，，，
∵，
∴，故③正确；
由A点坐标可得：，
将代入可得：，
∴，
即：，故④正确；
由题意，A、B是关于对称轴对称的，C为顶点，
∴△ABC始终为等腰三角形，无论取何值，也不会影响△ABC是等腰三角形的结论，
∴△ABC为等腰三角形时，不一定只能推出，也可能是其他结果，故⑤错误；
∴正确的有：①②③④，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，能够准确根据图像信息分析出基本式子的结果，并灵活变形是解题关键．
13．已知二次函数的图象经过第一象限的点，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
根据直角坐标系和象限的性质，得；根据二次函数的性质，得，从而得，通过计算即可得到答案．
【详解】
∵点在第一象限
∴
∴
∵二次函数的图象经过第一象限的点
∴
∴
∴
当时，，即和y轴交点为：
当时，，即和x轴交点为：
∵，
∴一次函数的图象不经过第三象限
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数、一次函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、直角坐标系的性质，从而完成求解．www.21-cn-jy.com
14．设，分别是函数，图象上的点，当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”．则下列结论：
①函数，在上是“逼近函数”；
②函数，在上是“逼近函数”；
③是函数，的“逼近区间”；
④是函数，的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】
分别求出的函数表达式，再在各个x所在的范围内，求出的范围，逐一判断各个选项，即可求解．
【详解】
解：①∵，，
∴，当时，，
∴函数，在上不是“逼近函数”；
②∵，，
∴，当时，，
函数，在上是“逼近函数”；
③∵，，
∴，当时，，
∴是函数，的“逼近区间”；
④∵，，
∴，当时，，
∴不是函数，的“逼近区间”．
故选A
【点睛】
本题主要考查一次函数与二次函数的性质，掌握一次函数与二次函数的增减性，是解题的关键．
15．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口 ( http: / / www.21cnjy.com )方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【详解】
A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．
16．二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】
求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小关系，从而可以求解．
【详解】
解：二次函数的对称轴为：
，且开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
，
A，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
B,若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C，若，所以，则一定成立，故选项正确，符合题意；
D，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质及不等式，解题的关键是：根据二次函数的对称轴及开口方向，确定各点纵坐标值的大小关系，再进行分论讨论判断即可．
17．若关于x的二次函数y＝ax2+bx的图象经过定点（1，1），且当x＜﹣1时y随x的增大而减小，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意开口向上，且对称轴 ≥ 1，a＋b＝1，即可得到 ≥ 1，从而求解．
【详解】
由二次函数y＝ax2+bx可知抛物线过原点，
∵抛物线定点（1，1），且当x＜-1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向上，且对称轴 ≥ 1，a＋b＝1，
∴a＞0，b＝1﹣a，
∴﹣≥﹣1，
∴，
故选：D．
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【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得关于a的不等式组是解题的关键．
18．我们定义一种新函数：形如y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )|ax2＋bx＋c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
②当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值随x值的增大而增大；
③当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
④当x＝1时，函数的最大值是4
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A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】
观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个分析判断即可．
【详解】
解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，故①正确；
令|x2-2x-3|=0可得x2-2x-3=0，
∴（x+1）（x-3）=0，
∴x1=-1，x2=3，
∴（-1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
又对称轴是直线x=1，
∴当-1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故②正确；
由图象可知（-1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x=-1或x=3时，函数最小值是0，故③正确；
由图象可知，当x＜-1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点纵坐标的函数值，
故当x=1时的函数值4并非最大值，故④错误．
综上，只有④错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数在新定义函数中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）
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A．若，是图象上的两点，则
B．
C．方程有两个不相等的实数根
D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【分析】
根据二次函数的图象和性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，a＜0，
∴点（-1，0）关于直线x=1的对称点为（3，0），
则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），点（-2，y1）与（4，y1）是对称点，
当x＞1时，函数y随x增大而减小，
故A选项不符合题意；
把点（-1，0），（3，0）代入y=ax2+bx+c得：a-b+c=0①，9a+3b+c=0②，
①×3+②得：12a+4c=0，
∴3a+c=0，
故B选项不符合题意；
当y=-2时，y=ax2+bx+c=-2，
由图象得：纵坐标为-2的点有2个，
∴方程ax2+bx+c=-2有两个不相等的实数根，
故C选项不符合题意；
∵二次函数图象的对称轴为x=1，a＜0，
∴当x≤1时，y随x的增大而增大；
当x≥1时，y随x的增大而减小；
故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
20．如图，抛物线y＝ax2﹣2a ( http: / / www.21cnjy.com )x﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．h＞ B．0＜h≤ C．h＞2 D．0＜h＜2
【答案】C
【分析】
先根据抛物线的解析式可得点的坐标，从而可得长，再利用三角形的面积公式可得的长，从而可得点的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式和一次函数的解析式，然后根据二次函数图象的平移规律、增减性求解即可得．
【详解】
解：对于抛物线，
当时，，解得或，
则，
的面积为3，
，即，解得，
，
将点代入抛物线解析式得：，解得，
则抛物线的解析式为，
将抛物线向左平移个单位所得抛物线为，
当时，随的增大而增大，
设直线的函数解析式，
将点代入得：，解得，
则直线的函数解析式，
当直线与没有公共点时，则只需时，直线的函数值大于抛物线的函数值，
即，
解得，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
21．已知二次函数，其中，当时，y的最大值与最小值的差为16，则m的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】
根据题意和二次函数的性质，可以求得m的值．
【详解】
解：∵二次函数，
∴该函数图象开口向下，
∵
∴当x＝1时，y取得最大值=，当x＝3时，y取得最小值=，
∵y的最大值与最小值的差为16
∴
解得：，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
22．已知函数，若函数在0≤x≤1上的最大值是2，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或3 D．﹣6或
【答案】D
【分析】
先求得其对称轴为x＝a，再分a＜0、0≤a≤1和a＞1根据二次函数的单调性分别求得其最大值，由最大值为2，可求得a的值．
【详解】
∵，
∴其对称轴为x＝a，开口向下，
当a＜0即a＜0时，在0≤x≤1上y随x的增大而减小，
∴当x＝0时有最大值，最大值＝﹣a+＝2，
解得a＝﹣6＜0，符合题意；
当0≤a≤1即0≤a≤2时，y的最大值＝﹣a2+a2﹣a+＝2，
∴a＝3（不合题意，舍去），或a＝﹣2（舍去）；
当a＞1即a＞2时，在0≤x≤1上y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，有最大值＝﹣1+a﹣a+＝2，
∴a＝，
综上可知a的值为﹣6或．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图像与性质，分类讨论是解题的关键.
23．已知抛物线经过点A（1，0），B（5，0）两点，，是关于x的一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】
先把整理成一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得x1+x2=+2，再根据对称轴公式求出代入即可．
【详解】
解：抛物线经过点A（1，0），B（5，0）两点，
∵，是关于x的一元二次方程的两根，
∴，
∴x1+x2=+2，
∵抛物线经过点、两点，
∴，
∴=6，
∴x1+x2=6+2=8．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
24．如图，正三角形和正三角形的边，在同一条直线上，将向右平移，直到点与点重合为止，设点平移的距离为，，．两个三角形重合部分的面积为，现有一个正方形的面积为，已知，则S关于的函数图像大致为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
分0≤x≤2、2＜x＜4、4≤x≤6三种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
①当0≤x≤2时，则两个三角形重合部分为边长x的正三角形，则：，
故，为二次函数，图象开口向上，
当x=2时，S=2；
②当2＜x＜4时，两个三角形重合部分为边长为2的正三角形，故S=2；
③当4≤x≤6时，同理可得：，图象开口向上，当x=4时，S=2；
当x=6时，S=0；
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，分类求出函数表达式，是解决本题的关键．
25．如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
①根据图像开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a,b,c的正负
②根据对称轴公式，判断的大小关系
③根据时，，比较与0的大小；
④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可
⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．
【详解】
①图像开口朝上，故 ，根据对称轴“左同右异”可知，
图像与y轴交点位于x轴下方，可知c<0
故①正确；
②得
故②错误；
③经过
又由①得c<0
故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等
当时，即
即
经过，即经过
故④正确；
⑤当时,, 当时,
函数有最小值
化简得，
故⑤正确．
综上所述：①③④⑤正确．
故选D．
【点睛】
本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图像的关系，结合图像逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键．
26．已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ）
A．或2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】
解：函数向右平移3个单位，得：；
再向上平移1个单位，得：+1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴+1即
解得：或
∵抛物线的对称轴在轴右侧
∴＞0
∴＜0
∴
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
27．已知二次函数，当时，，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的性质，可以求得该函数的开口方向为向上，对称轴为x=1，且当x=1时，该函数取得最小值2-a．又由当y＝2时，x＝2或x＝0，结合题意即可求出m的取值范围．
【详解】
解：二次函数，
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x=1时，该函数取得最小值-a+2，
∵当时，，且当y＝2时，x＝2或x＝0，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
28．二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据二次函数的图象与性质得到的符号，再逐一进行判断．
【详解】
解：由图知，二次函数的图象开口向上，即，
与轴交于正半轴，即，
对称轴
同号，即
，故A正确；
由图知，当时，，
，故B正确；
由图知，二次函数图象与轴有两个不同的交点，
即，故C正确；
无法判断，故D错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
29．如图是二次函数在平面直角坐标系中的图象，根据图象判断：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
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A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】C
【分析】
首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点来判断a、b、c的符号，进而判断各结论是否正确．
【详解】
解：根据二次函数的图象知：抛物线交y轴于负半轴，则c<0，故①错误；
由图知：当x=1时，y<0，即a+b+c<0，故②正确；
∵对称轴-，开口向上，，
∴，
所以2a-b＞0，故③错误；
∵由于抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△=b2-4ac＞0，即b2＞4ac，
∵a＞0，∴4a＞0，
由图知，时，，
∴，
∴b2＞4a +4ac，
∴b2-4a＞4ac，故④正确；
所以正确的结论为②④，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系，由图象找出有关a，b，c的相关信息以及抛物线的交点坐标，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a-b+c，然后根据图象判断其值．
30．已知抛物线，当时，y的最大值为2，则当时，y的最小值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】
根据抛物线的解析式可得其对称轴为直线 ( http: / / www.21cnjy.com )x=1，从而当x=1时，y有最大值2，此时可求得a的值，再根据抛物线的增减的性质求得y在所给范围内的最小值．
【详解】
∵，即抛物线的对称轴为直线x=1
∴当x=1时，y有最大值，且1在范围内
∴a-2a+1=2
解得：a=-1
即
当时，函数值y随x的增大而增大，此时函数在x=-1处取得最小值，且最小值为
当时，函数值y随x的增大而减小，此时函数在x=2处取得最小值，且最小值为
∵-2<1
∴当时，y的最小值为 2
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的增减性质、求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )解析式，关键是确定抛物线的对称轴，根据对称轴的位置便可确定函数的增减的范围，解答函数在某个自变量的范围的最值问题时，最好借助图象，利用数形结合的思想能帮助解决问题．
二、填空题
31．如图，抛物线的解析式为，点的坐标为，连接：过A1作，分别交y轴、抛物线于点、：过作，分别交y轴、抛物线于点、；过作，分别交y轴、抛物线于点、…：按照如此规律进行下去，则点（n为正整数）的坐标是_________．
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【答案】
【分析】
根据待定系数法分别求出直线、、、……的解析式，即可求得、P2、P3……的坐标，得出规律，从而求得点Pn的坐标．
【详解】
解：∵点的坐标为，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
设的解析式为，
∴，解得，
所以直线的解析式为，
解，求得，
∵，
设的解析式为，
∴，
∴，
∴，
解求得，
设的解析式为，
∴，
∴，
∴，
．．．
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数图像上点的坐标特征得出规律是解题的关键．21教育名师原创作品
32．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________．
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【答案】
【分析】
点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解．
【详解】
解：将点代入抛物线中，解得，
∴抛物线解析式为，
设CD、EF分别与轴交于点M和点N，
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当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，
此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中，
得到：，
解得，(负值舍去)，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．
33．如图为二次函数的图象，则下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是________（填写序号）．
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【答案】②③④
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断-1＜x＜3时，y的符号．
【详解】
解：①图象开口向下，能得到a＜0，①错误；
②对称轴在y轴右侧，x==1，则有-=1，即2a+b=0，②正确；
③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0，③正确；
④由图可知，当-1＜x＜3时，y＞0，④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
34．如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线，下面结论：
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①；
②；
③；
④方程必有一个根大于且小于0．
其中正确的是____（只填序号）．
【答案】①②④．
【分析】
根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立．
【详解】
解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①正确；
∵-=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故②正确；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x=1，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④正确；
∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴y=a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，故③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、 ( http: / / www.21cnjy.com )二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
35．如图，二次函数（）的图象与轴交于，对称轴为直线，与轴的交点在2和3之间（不包括这两个点），下列结论：①当时，；②；③对于任意实数，始终成立；④，其中正确的结论的序号是________．
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【答案】①②③④
【分析】
利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，利用函数图象得到在轴上方所对应的自变量的范围，从而可对①进行判断；利用，，得到，，而，所以，则可利用不等式的性质可对②进行判断；根据二次函数的性质得到二次函数的最大值为，则，于是可对③进行判断；利用，可对④进行判断．
【详解】
解：抛物线与轴交于，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
抛物线开口向下，
当，，所以①正确；
抛物线与轴交于，对称轴为直线，
，，
，，
抛物线与轴的交点坐标为，
而抛物线与轴的交点在和之间（不包括这两个点），
，
，
，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线，
二次函数的最大值为，
，所以③正确；
，，
，所以④正确．
故答案为①②③④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
三、解答题
36．如图，抛物线经过点，与轴交于点和点（点在点的右边），且．
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（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图1，点、在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；
（3）如图2，点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3：5两部分，求点的坐标．
【答案】（1），顶点坐标为（1，4）； （2）四边形的周长的最小值为；（3）点的坐标为（4，－5）或（8，－45）.
【分析】
（1）根据待定系数法求得a、b、c的值即可确定抛物线的解析式，再利用配方法得出顶点坐标．
（2）把向下移1个单位得点，再作关于抛物线的对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点，再在对称轴上点上方取点，使得，连接，此时四边形的周长最小，根据勾股定理即可得出．
（3）分或两种情况讨论即可．
【详解】
解：（1）∵点，，
∴,
把、、三点坐标代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴顶点坐标为（1，4）；
（2）把向下移1个单位得点，再作关于抛物线的对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点，再在对称轴上点上方取点，使得，连接，此时四边形的周长最小，
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则,
∵,
∴,
∵对称轴是直线，
∴,
∵,
∴,
,
∴四边形的周长的最小值为；
（3）如图，设直线交轴于点，
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直线把四边形的面积分为3：5两部分，
又∵，
则或5:3，
则或1.5，
即点的坐标为（1.5，0）或（0.5，0），
将点的坐标代入直线的表达式：，
解得：或－2，
故直线的表达式为：或，
联立方程组
解得：（不合题意值已舍去），
解，
解得：8（不合题意值已舍去），
故点的坐标为（4，－5）或（8，－45）.
【点睛】
本题考查二次函数综合题、涉及待定系 ( http: / / www.21cnjy.com )数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数图象与性质，勾股定理、轴对称、一次函数等知识，灵活掌握相关知识是解题的关键
37．二次函数．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）过动点作直线轴，当直线与抛物线只有一个公共点时，求关于的函数表达式；
（3）若对于每一个值，它所对应的函数值都不小于1，求整数的值．
【答案】（1）；（2）；（3）1
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴方程即可求解；
（2）由题意知直线经过顶点时，直线与抛物线只有一个交点，据此可得；
（3）根据题意可知抛物线开口向下，且顶点的纵坐标不小于1，依此得到不等式组，解之即可．
【详解】
解：（1）∵
∴二次函数的对称轴为直线
（2）由题意知直线的解析式为
∵直线与抛物线只有一个公共交点
∴
（3）∵拋物线的顶点坐标为
由题意可知
解得
∴整数m的值为1
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征及解不等式组的能力，理解题意得出对应方程或不等式组是解题的关键．
38．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为，抛物线经过点．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式的解集；
（3）点是抛物线上的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点,当时，求P点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）坐标有或或
【分析】
(1)先求出A、B两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式；
(2)将不等式变形为,进而得到二次函数图像在一次函数图像上方即可求解；
(3)先证明△PDQ为等腰直角三角形，进而求出 ，再分类讨论P点在直线AB上方或下方进而求解．
【详解】
解：(1)当时，，解得，
当时，，
则点，点，
把，，，分别代入得
解得：，，，
∴该抛物线的解析式为．
(2)由不等式，
得，
由图像可知，二次函数图像在一次函数图像上方，
则不等式的解集为；
(3)如图，作轴于点，交于点，
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在中，∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
设点，则点，
当点在直线上方时，
，
即，解得，
则，
∴点的坐标为：．
当点在直线下方时，
，
即解得，
∴，
∴或，
综上所述，符合条件的点坐标有或或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，图像法解不等式及等腰直角三角形的性质等，第(3)问中需要分类讨论P点位于直线AB上方或下方的情况．
39．小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如
下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：
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（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质：__________；
②方程的解为：__________；
③若方程有四个实数根，则的取值范围是__________．
（2）延伸思考：
将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围．
【答案】（1）①关于y轴对称；②；③；（2）将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象，当时，自变量的取值范围为或．
【分析】
（1）①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当y=-1时，自变量x的值，则可看作直线y=-1与函数的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线y=a与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；
（2）由函数图象平移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解x的范围问题．
【详解】
解：（1）①由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，（答案不唯一）；
故答案为关于y轴对称；
②由题意及图象可看作直线y=-1与函数的图象交点问题，如图所示：
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∴方程的解为；
故答案为；
③由题意可看作直线y=a与函数的图象有四个交点的问题，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴由图象可得若方程有四个实数根，则的取值范围是；
故答案为；
（2）由题意得：将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象，则平移后的函数图象如图所示：
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∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
40．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长；
（3）若点Q是平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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【答案】(1) ；(2) P点坐标为(1,2)，的周长最小值为；(3) Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)
【分析】
(1)将，代入即可求解；
(2)连接BP、CP、AP ( http: / / www.21cnjy.com )，由二次函数对称性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，当C、P、A三点共线时，△PBC的周长最小，由此求出AC解析式，将P点横坐标代入解析式中即可求解；
(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，按AC为对角线，AP为对角线，AQ为对角线分三种情况讨论即可求解．
【详解】
解：(1)将，代入二次函数表达式中，
∴ ，解得，
∴二次函数的表达式为：；
(2)连接BP、CP、AP，如下图所示：
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由二次函数对称性可知，BP=AP，
∴BP+CP=AP+CP，
BC为定直线，当C、P、A三点共线时，有最小值为，
此时的周长也最小，
设直线AC的解析式为：，代入，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为：，
二次函数的对称轴为，代入，得到，
∴P点坐标为(1,2)，
此时的周长最小值=；
(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
分类讨论：
情况一：AC为菱形对角线时，另一对角线为PQ，
此时由菱形对角互相平分知：AC的中点也必定是PQ的中点，
由菱形对角线互相垂直知：，
∴ ，解得，
∴P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)；
情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ，
同理有：，解得或，
∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(4，)或(4，)；
情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP，
设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
同理有：，解得或，
∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(-2，)或(-2，)；
纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解 ( http: / / www.21cnjy.com )析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．
41．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 7 5 3 ﹣1 ﹣1 3 …
（1）如表是y与x的几组对应值，则a＝ ，k＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，已描出了部分点并绘制了部分图象，请把该函数的图象补充完整，并写出该函数的一条性质： ；
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（3）如图，在平面直角坐标系中作出 ( http: / / www.21cnjy.com )了函数y＝﹣x＋2的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0的解集（结果保留1位小数，误差不超0.2）
【答案】（1），；
（2）见解析；当时，函数取值最小值
或当 ，时，函数随的增大而减小，
当时，函数随的增大而增大；
（3）或
【分析】
（1）表格中找2组值代入解析式，待定系数法求解即可；
（2）描点、连线，根据函数图像，写出一条性质即可；
（3）通过图像求得交点坐标，根据不等式x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0，结合图像写出解集．
【详解】
（1）把，
代入得：
解得
，；
（2）描点、连线，如图：
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性质：①当时，函数取值最小值；
②当 时，函数随的增大而减小，
当时，函数随的增大而增大．
（3）设＝﹣x＋2和＝ x|x＋2|＋x2﹣1
由（2）的图象可知,x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0
即：当的解集
根据图像，它们有两个交点,其横坐标一个在-3,另一个在0与1之间,分别约为-3和0.7(可将单位长十等分,确定其近似值).
或时．
不等式x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0的解集为或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析 ( http: / / www.21cnjy.com )式，二次函数图像的画法，二次函数图像的性质，二次函数与一次函数结合的相关问题，正确的理解题意，按要求作出图形是解题的关键．
42．已知二次函数y＝ax2－4ax＋3a（a为常数，且a≠0）
（1）求证：不论a为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
（2）当1≤x≤4时，y＜5，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）0＜a＜或－5＜a＜0
【分析】
（1）由恒成立得到结论；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标和对称轴，然后在1≤x≤4范围内分a＞0与a＜0两种情况确定函数的最大值，从而得到结果.2-1-c-n-j-y
【详解】
（1）证明： ∵a≠0
∴
∴无论a为何值，该函数图像与x轴总有两个交点；
（2）∵令ax2－4ax＋3a=0，解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），
抛物线的对称轴为直线，
①当a＞0时，
∵1≤x≤4，
∴当x=4时，，
∴0＜a＜，
②当a＜0时，
∵1≤x≤4，对称轴为直线x=2，
∴抛物线在顶点处取得最大值，，
∴－5＜a＜0
∴a的取值范围：0＜a＜或－5＜a＜0.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，关键是x在某一范围时函数值的最大值的确定.
43．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．
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（1）求的值；
（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q．
①当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．
【答案】（1）b=，c=；（2）①；②不存在，理由见解析
【分析】
（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；
（2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；
②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴b=，c=；
（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2，
设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵0∴PQ=m-( m2-2m-3)=-m2+3m+3=-+，
∵-1<0，
∴当时，PQ有最大值，最大值为；
②∵抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3，
∴C（0，-3），
∴OB=OC=3，
由题意，点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵PQ∥OC，
当OC为菱形的边，则PQ=OC=3，
当点Q在点P上方时，
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∴PQ=，即，
∴，
解得或，
当时，点P与点O重合，菱形不存在，
当时，点P与点B重合，此时BC=，菱形也不存在；
当点Q在点P下方时，
若点Q在第三象限，如图，
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∵∠COQ=45°，
根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合，
此时OA=1OC=3，菱形不存在，
若点Q在第一象限，如图，
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同理，菱形不存在，
综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键．
44．如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．
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（1）求和的值；
（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或．
【分析】
（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值；
（2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；
（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．
【详解】
解：（1）∵点A(2，0)同时在与上，
∴，，
解得：，；
（2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为，
解方程，得：．
∴点B的横坐标为，纵坐标为，
∴点B的坐标为(-1，3)，
观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方，
∴不等式>的解集为或；
（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，
∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)，
∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段，
对于抛物线，
∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
此时，
当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点，
此时点M1的纵坐标为-1，则，解得，
综上，点M的横坐标的取值范围是：或．
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【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．
45．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；
（2）若点，在抛物线上，且，则m的取值范围是 ；（直接写出结果即可）
（3）当时，函数y的最小值等于6，求m的值．
【答案】(1)顶点A的坐标为；(2)；(3)或
【分析】
(1)将抛物线解析式化成的形式，即可求得顶点A的坐标；
(2)将，代入抛物线中求得和的值，然后再解不等式即可求解；
(3)分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最小值，进而求出m的值．
【详解】
解：(1)由题意可知：
抛物线，
∴顶点A的坐标为；
(2)将代入中，
得到，
将代入中，
得到，
由已知条件知：，
∴，
整理得到：，
解得：，
故m的取值范围是：；
(3)二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为，
分类讨论：
①当，即时，
时二次函数取得最小值为，
又已知二次函数最小值为6，
∴，解得或，
又，故符合题意；
②当，即时，
时二次函数取得最小值为，
又已知二次函数最小值为6，
∴，解得或，
又，故或都不符合题意；
③当，即时，
时二次函数取得最小值为，
又已知二次函数最小值为6，
∴，解得或，
又，故符合题意；
综上所述，或．
【点睛】
本题考查待定系数求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，不等式的解法等，计算过程中细心，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．
46．在平面直角坐标系xoy中，抛物线，顶点为P，直线与抛物线交于点A，点B．
（1）求抛物线顶点P的坐标（用含a的代数式表示）．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当时，求抛物线与直线AB围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标．
②当抛物线与直线AB围成的封闭区域内有且只有1个整点时，求a的取值范围．
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【答案】（1）P（1，1-a）；（2）①（1，1）；②0＜a＜或a＜0
【分析】
（1）直接根据抛物线的顶点坐标可得；
（2）①根据a值得到抛物线和直线的表达式，联立，求出A，B，P的坐标，可得整点坐标；
②联立抛物线和直线表达式，用a表示出A，B，P的坐标，根据只有一个整点得到（2，2）在y=ax+1上方，或（3，1）在上方，得到不等式，解之可得a的范围．
【详解】
解：（1）=，
∴当x=1时，y=1-a，
即P（1，1-a）；
（2）①当时，
抛物线，直线，
联立得：，解得：或，
∴A（0，1），B（3，0），P（1，），
∴整点坐标只有（1，1）；
②当a＞0时，
，解得或，
∴P（1，1-a），A（0，1），B（3，3a+1），
∵只有一个整点，
∴（2，2）在y=ax+1上方，
∴2＞2a+1，解得：a＜，
∴0＜a＜；
若（3，1）在上方，
∴，
解得：a＜0，
综上：a的范围是0＜a＜或a＜0．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质等，这种探究性题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般较为容易得出正确的结论．
47．已知二次函数（其中m为常数）．
（1）当时，求该二次函数图象的对称轴．
（2）求证：:无论m为何值，该函数的图象与x轴一定有两个公共点．
（3）当时，该函数有最大值3，求m的值．
【答案】（1）直线x=-1；（2）见解析；（3）-2或3
【分析】
（1）令m=0，根据对称轴的公式直接计算即可；
（2）把（x-m）看作一个整体，令y=0，利用根的判别式进行判断即可；
（3）抛物线的对称轴为直线x=m- ( http: / / www.21cnjy.com )1，讨论：当m-1＜-2时，当-2≤m-1≤1时，当m-1＞1时，根据二次函数的增减性，得到关于m的方程，解之即可．
【详解】
解：（1）当m=0时，
，
则对称轴为直线x==-1；
（2）在中，
令y=0，则，
，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴一定有两个公共点；
（3），
∴对称轴为直线x=m-1，
当m-1＜-2时，y随x增大而减小，故当x=-2时，y有最大值3，
则，
解得：m=-2或m=0（舍）；
当-2≤m-1≤1时，当x=m-1时，y有最大值3，
则，
此时方程无解；
当m-1＞1时，y随x增大而增大，故当x=1时，y有最大值3，
则，
解得：m=3或m=1（舍）；
综上：m的值为-2或3．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，利用一元二次方程的根的判别式．也考查了二次函数的最值．
48．已知关于的一元二次方程（为常数）．
（1）若它的一个实数根是方程的根，则_____，方程的另一个根为_____；
（2）若它的一个实数根是关于的方程的根，求的值；
（3）若它的一个实数根是关于的方程的根，求的最小值．
【答案】（1）1，；（2），；（3）当时，有最小值为-2．
【分析】
(1)求方程2(x-1)-4=0的根，代入（x-1）(x-2)=m+1中，确定m的值；解（x-1）(x-2)=m+1，得到另一个根；
（2）求方程2(x-m)-4=0的根，代入（x-1）(x-2)=m+1中，确定m的值；
（3）求方程的根，代入（x-1）(x-2)=m+1中，用含n的代数式表示m，构造m+n与n的二次函数，利用二次函数的性质确定最值.
【详解】
（1）∵2(x-1)-4=0，
∴x=3，
∴（3-1）(3-2)=m+1，
解得m=1，
∴（x-1）(x-2)=2，
∴-3x=0，
∴，
故答案为：1，．
（2）由，得
．
则
∴，
∴，
∴，．
（3）由，得
．
则．
即．
∴；
∴当时，有最小值-2．
【点睛】
本题考查了一元一次方程，一元二次方程，二次函数的最值，熟练掌握方程的解法，二次函数的最值是解题的关键．21·cn·jy·com
49．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是抛物线的顶点．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段MB上一个动点，且点P的横坐标为m，过点P作轴于点D，交抛物线于点E，求线段PE的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若在线段MB上存在点P，使得为直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）；（2）最大值为1，E；（3）或
【分析】
（1）将B、C坐标滴入抛物线的解析式求解b、c即可；
（2）先求出顶点M坐标，再利用待定系数法求得直线BM的表达式，用m表示点P、E坐标，由和二次函数求最值方法求解即可；
（3）根据题意可得不可能为，分（i）当时；（ii）当时进行求解即可．
【详解】
解：（1）将点，分别代入抛物线中，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵，∴，
设直线BM的解析式为，
把点，分别代入，
得，解得，
∴直线BM的解析式为．
∵点P的横坐标为m，
∴，，
∴，
∴当时，PE有最大值，最大值为1，
此时点E的坐标为；
（3）点P的坐标为或，
根据题意可得不可能为；
（i）当时，则，即，
解得，此时点P的坐标为；
（ii）当时，则，
即
整理得：，
解得：（舍去）或，
当时， ，
此时点P的坐标为，
综上，满足题意的点P的坐标为或．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，涉及待定系数 ( http: / / www.21cnjy.com )法求函数解析式、求二次函数的最值、坐标与图形、两点间的距离公式、三角形的面积公式、解一元二次方程等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，会运用分类讨论和数形结合法等数学思想解决数学问题．【来源：21·世纪·教育·网】
50．如图，二次函数的图象与x轴交于O，A两点．
（1）求点A的坐标和此二次函数的对称轴．
（2）若P，Q在抛物线上且．当时，．求m的取值范围．
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【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）先计算二次函数的对称轴，再利用抛物线的对称性解题即可；
（2）把分别代入二次函数中，由得到，再结合图象知，整理得，结合已知条件，代入解题即可．
【详解】
解：（1）二次函数图象的对称轴为：
二次函数的图象与x轴交于O，A两点，
由对称性可知；
（2）把分别代入二次函数中得，
整理得，
由抛物线开口向下得
．
【点睛】
本题考查二次函数的图像与性质、一元一次不等式的解法、整体思想等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
51．在平面直角坐标系中，抛物线（）．
（1） 求抛物线的对称轴及抛物线与y轴交点坐标．
（2） 已知点B（3，4），将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
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备用图
【答案】（1），（0，－3a）；（2），或a=－1
【分析】
（1）运用公式x=-求出对称轴，令x=0，得y=-3a，即可求得抛物线与y轴的交点坐标；
（2）分三种情况：①当a＞0时，②当a＜0时，抛物线的顶点在线段BC上，③当a＜0时，若抛物线的顶点不在线段BC上，分别进行讨论即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2-2ax-3a，
∴x= ，
∴抛物线的对称轴是直线x=1，
令x=0，y=-3a，
∴抛物线与y轴交点坐标为E（0，-3a）；
（2）y=ax2-2ax-3a=a(x2-2x-3)=a(x+1)(x-3)，
∴抛物线与x轴交于点A（-1，0），D（3，0），与y轴交于点E（0，-3a），顶点坐标是（1，-4a）．
由题意得点C（0，4），又B（3，4），
①当a＞0时，如图1，显然抛物线与线段BC无公共点；
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②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段BC上，如图2，
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则顶点坐标为（1，4），
∴-4a=4，
∴a=-1；
③当a＜0时，若抛物线的顶点不在线段BC上，如图3，由抛物线与线段BC恰有一个公共点，
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得-3a＞4，
∴a＜ ，
综上，a的取值范围是a＜ ，或a=-1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形变换-平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合思想解答．
52．如图，二次函数的图象与轴分别交于点（点在点的左侧），与轴交于点，且经过点．
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（1）求的值．
（2）将点向下平移个单位至点，过点作轴于点，交抛物线于点．若，求的值．
【答案】（1）b=-2，c=-3；（2）
【分析】
（1）把两已知点的坐标代入中，通过解方程组得到、的值；
（2）根据题意设，，，，利用得到，则、为方程的两根，利用根与系数的关系得到，，然后利用可求出的值．
【详解】
解：（1）把，代入得，
解得；
（2）抛物线的解析式为，
点向下平移个单位至点，作轴于点，
点、的纵坐标都为，点的横坐标为3，
，
，即，
设，，，，
、为方程的两根，
，，
，
，，
，
．
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【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的 ( http: / / www.21cnjy.com )交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系．
53．二次函数的顶点是直线和直线的交点．
（1）当时，的值均随的增大而增大，求的取值范围．
（2）若直线与交于点．
①当时，二次函数的最小值为，求的取值范围．
②和为二次函数上的两个点，当时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】
（1）通过求得顶点，再根据二次函数的性质可知对称轴为直线，进而即可求得的取值范围；
（2）①将代入即可得到交点坐标及二次函数解析式为，再根据二次函数的最小值问题即可求得的取值范围；②由可求得，再由，求得或1，再根据二次函数图像的性质可知当时，和为二次函数上的两个点，即可求得的取值范围．
【详解】
（1），得
∴顶点
∴二次函数的对称轴为直线
∵当时，的值均随的增大而增大
∴，解得
∴的取值范围为；
（2）将代入，解得
所以交点坐标为, 二次函数解析式为
∴当时，二次函数的最小值为
①根据题意知，所以的取值范围为；
②由令得
当时，或1，
∵和为二次函数上的两个点，且
∴．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图像与性质，以及一次函数的交点求解，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决本题的关键．
54．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A（2，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线解析式，并根据该函数图象写出x＜0时y的取值范围；
（2）将线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′（m，n均为正数），若点O′，B′均落在此二次函数图象上，求m，n的值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）；；（2）m=1；
【分析】
（1）利用交点式写出抛物线解析式，再求出C点坐标，然后写出在y轴左侧的二次函数值的范围即可；
（2）利用点平移的坐标变换规律写出O′（m，n），B′（4+m，n），把它们代入抛物线解析式得到，然后解方程组即可．
【详解】
解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A（2，0），B（4，0），
∴抛物线解析式为y=（x-2）（x-4） ( http: / / www.21cnjy.com )，
即y=x2-6x+8，
当x=0时，y=x2-6x+8=8，即C（0，8），
所以当x＜0时，y＞8；
（2）∵线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′，
∴O′（m，n），B′（4+m，n），
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点O′，B′均落在此二次函数图象上，
∴，
解得，
即m的值为1，n的值为3．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把 ( http: / / www.21cnjy.com )求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
55．如图1，抛物线与轴交于点，，点为抛物线顶点，连接，，与轴交于点，连接．
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（1）求该抛物线解析式，并写出顶点的坐标；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）如图2，连接，抛物线上是否存在点，使，当时，请直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1），顶点的坐标为；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）存在，或
【分析】
（1）①把点A（-1，0），C（3，0）代入抛物线中，列方程组，解出即可求得结论；再进行配方后可得顶点B的坐标；
（2）利用两点的距离分别计算AB ( http: / / www.21cnjy.com )2，AC2，BC2的值，根据勾股定理的逆定理可得：△ABC是等腰直角三角形；
（3）分两种情况讨论：①当点Q在x轴下方时，如图1，先确定CF的解析式，利用抛物线与直线CF的解析式列方程，解出可得Q的横坐标；②当Q在x轴下方时，如图2，同理可得结论．
【详解】
解：（1）把点，代入抛物线，得
解得：
抛物线的解析式为．
顶点的坐标为
（2）的形状是等腰直角三角形．
理由：，，
，，
，
的形状是等腰直角三角形．
（3）分两种情况：①当在轴的下方时，如图1，延长，交于点，过作轴于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，且，
，
是等腰直角三角形，
，
．
设直线CF的解析式为：y=kx+n（k≠0），
∵，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
，即
解得：，，
点的横坐标为；
②当在轴的上方时，如图2，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
由对称得：经过点，
的解析式为，
，
解得：，
点的横坐标为．
综上，点的横坐标为或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，利用配方法求最大值，列方程可得交点坐标等知识，涉及知识点较多，综合性强，有较大难度．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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