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22.2 二次函数与一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．如图，抛物线顶点坐标为，对于下列结论：①；②；③；④若方程没有实数根，则．其中正确的结论有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据顶点坐标公式可得b=4a，c=3a，进而可判断①②③，根据一元二次方程根的判别式，可判断④．
【详解】
解：∵抛物线顶点坐标为，
∴，即：b=4a，c=3a，故③正确；
∴abc=，
∵抛物线开口向下，即：a＜0，
∴abc＜0，故①正确；
∵，
∴②错误；
∵方程没有实数根，
∴，这与矛盾，故④错误．
故选B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数顶点坐标公式以及二次方程根的判别式与根的情况的关系，是解题的关键．
2．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴为
C．抛物线与轴有两个交点 D．与时函数值一样大
【答案】D
【分析】
先把一般式配成顶点式得到，然后利用二次函数的性质对各选项进行判断．
【详解】
解：∵
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-4），故A、B正确，
当时，y有最小值-4，当x＜1时，y随x的增大而减少，当x＞1时，y随x的增大而增大．
∴抛物线与x轴有两个交点，故C正确．
当时，时，，函数值不一样大，故D错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的交点问题，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
3．如图，抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值错误的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
已知抛物线的对称轴，可求出m=4，进而求出抛物线的解析式；把关于x的一元二次方程有解的问题，转化为抛物线与直线y=t的交点问题，可求出t的取值范围；最后将所给的四个选项逐一与t的范围加以对照，即可得出正确答案．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线x=2,
∴
解得，m=4．
∴抛物线的解析式为
当x=2时，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4）．
当x=1时，
当x=3时，
∵关于x的一元二次方程是，
∴．
∵方程在的范围内有解，
∴抛物线与直线y=t在范围内有公共点，如图所示．
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故选：A
【点睛】
本题考查了二次函数的对称轴、顶点坐标、与一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程的关系等知识点，熟知二次函数的对称轴、顶点坐标的计算方法是解题的基础，而熟知二次函数与一元二次方程的互相转化是解题的关键．
4．如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1；
④若点，，均在二次函数图象上，则；
⑤（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断．
【详解】
解：∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，
∴当x=1时，，
故结论①正确；
根据函数图像可知，
当，即，
对称轴为，即，
根据抛物线开口向上，得，
∴，
∴，
即，
故结论②正确；
根据抛物线与x轴的一个交点为，
对称轴为可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，
∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1，
故结论③正确；
根据函数图像可知：，
故结论④错误；
当时，，
∴当时，，
即，
故结论⑤错误，
综上：①②③正确，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系．
5．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】
与关于y轴对称
抛物线的对称轴为y轴，
因此抛物线的图像也关于y轴对称
设与交点为，则，
即在点之间的函数图像满足题意
的解集为：
故选D．
【点睛】
本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解与关于y轴对称是解题的关键．
6．已知二次函数图像上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是（ ）
x … 0 50 200 …
y … 1 1 …
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据表格信息确定出二次函数的对称轴和c的值，关于方程的解即关于x的方程的解，找出二次函数的函数值为时对应的x的值即可．
【详解】
解：根据表格可知，当时，，
即该二次函数解析式可写为，
∵当时和当时的函数值相同，
∴该二次函数对称轴为，
∴当时和当时的函数值都为，
关于方程的解即关于x的方程的解，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，根据表格信息确定二次函数的对称轴是解题的关键．
7．二次函数的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ）．
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A． B．
C． D．关于的方程无实数根
【答案】B
【分析】
根据抛物线开口方向，对称轴的位置 ( http: / / www.21cnjy.com )以及与y轴的交点可以对A进行判断；x=1时，y＜0，可对B进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对C进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D进行判断．
【详解】
解：A．∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-=-1，
∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故A正确；
B．∵抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴x=1时，y＜0，
即a+b+c＜0，
∵b=2a，
∴3a+c＜0，故B错误；
C．∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，即4ac-b2＜0，故C正确；
D．∵抛物线开口向下，顶点为（-1，n），
∴函数有最大值n，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，故D正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．2·1·c·n·j·y
8．已知二次函数（，）的图象经过点，，与x轴交于点，点（点A在点B的左侧）．若，则有下列结论：①，，②，③．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】
①将点，，代入抛物线表达式得：，由得：，求出、的表达式，即可求解；②，则，故；③由①知，，，则右侧交点在和之间，即可求解．
【详解】
解：①将点，，代入抛物线表达式得：，
由得：③，
则③①得：，故，
①②得：，
故①正确，符合题意；
②，
由③式得：，
故，
故②正确，符合题意；
③由①知，，，
则右侧交点在和之间，
即，
故③正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查 ( http: / / www.21cnjy.com )函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
9．若抛物线与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，根据“两个交点间的距离为4，对称轴为”建立方程可求出的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，然后根据关于轴的对称点的坐标变换规律即可得．
【详解】
解：设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，
由题意得：，解得，
则抛物线与轴的两个交点坐标分别为，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为，
顶点的坐标为，
则点关于轴的对称点的坐标是，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、关于轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
10．已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】C
【分析】
先由直线过一、二、三象限，求出，通过判断方程实数解的个数可判断直线与抛物线交点的个数．
【详解】
解：∵直线过一、二、三象限，
∴．
由题意得：，
即，
∵△，
∴此方程有两个不相等的实数解．
∴直线与抛物线的交点个数为2个．
故选：C．
【点睛】
此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．
11．二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解．
【详解】
解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵对称轴为直线x= =1，且图象与x轴交于点（﹣1，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a，
∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误；
③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确；
④∵抛物线经过点，
∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点，
∴抛物线与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n），
∴一元二次方程的两根分别为，5，
故④正确，
综上，上述结论中正确结论有①③④，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．
12．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴没有交点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则，解得，再把代入中求出的值；利用二次函数图象平移的规律得到抛物线向上平移个单位后的解析式为，根据判别式的意义得到，然后解不等式后可确定的最小值．
【详解】
解：∵点和是抛物线上的两点，
∴点A和点B为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线，即，
解得，，
∴抛物线解析式为，
把代入得；
抛物线向上平移（是正整数）个单位后的解析式为，
∵抛物线与轴没有交点，
∴，
解得，
∵是正整数，
∴的最小值是4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；决定抛物线与轴的交点个数，也考查了二次函数的性质．
13．若、（）是关于的一元二次方程的两个根，、（）是关于的方程的两根，则、、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
依题意画出函数y＝（x a）（x b）图象草图，根据二次函数的增减性求解．
【详解】
解：依题意，画出函数y＝（x a）（x b）的图象，如图所示．
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函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b），即：、（）是关于的一元二次方程的两个根，
方程1 （x a）（x b）＝0
转化为（x a）（x b）＝1，
方程的两根是抛物线y＝（x a）（x b）与直线y＝1的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．
综上所述，可知m＜a＜b＜n．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．
14．根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（ ）
x 0 1 2 3 4
ax2+bx+c -14.5 -11.5 -6.5 0.5 9.5
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
观察表格可知，随x的值逐渐增大，ax2+bx+c-5的值在3～4之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=5时，对应的x的值在3～4之间．
【详解】
解：由表格可知：当x=3时，ax2+bx+c=0.5，则ax2+bx+c-5=-4.5，
当x=4时，ax2+bx+c=9.5，则ax2+bx+c-5=4.5，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5（a≠0）的一个解x的范围是3＜x＜4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围．
15．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】
根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得，则，根据可得，代入变形可对③进行判断；当时，的值最大，即当时，即>，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
【详解】
解：①∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点
∴>0
∴，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴
由图象得，当时，，
∴
∴，故③正确；
④当时，的值最大，
∴当时，>，
∴（），
∵b＞0，
∴（），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（-）=2×=4，所以⑤错误．
∴正确的结论是③④，
故选：A
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．21·cn·jy·com
16．已知函数，当时，函数值随增大而增大，且对任意的和，、相应的函数值、总满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
对任意的1≤x1≤a+1和1≤ ( http: / / www.21cnjy.com )x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1-y2|≤9，只需最大值与最小值的差小于等于9即可，进而求解．
【详解】
解：函数的对称轴为x=a，
而x≤2时，函数值随x增大而增大，故a≥2；
∵1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，
∴x=a时，开口向下，函数的最大值=a2，
故函数的最大值在x=1和x=a+1中产生，
则x=1，x=a+1那个距x=a远，函数就在那一边取得最小值，
∵a≥2，
∴a-1≥1，而a+1-a=1，
∴1距离a 更远，
∴x=1时，函数取得最小值为：-1+2a，
∵对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1-y2|≤9，
只需最大值与最小值的差小于等于9即可，
∴，a2-（-1+2a）≤9，
(a-1)2=9，
解得-3≤a-1≤3，而a≥2，
∴2≤a≤4，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，|y1-y2|≤3转换为最大值与最小值的差小于等于3，是解题的关键．
17．若抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于A、B两点，若的长是6，则该抛物线的顶点坐标为（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
用待定系数法求出抛物线表达式，进而求解．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，解得，
故抛物线的表达式为，
令，解得，
则，
解得，
故抛物线的表达式为，
当时，，
故顶点的坐标为（2，-18），
故选：D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点， ( http: / / www.21cnjy.com )主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
18．对于一个函数，当自变量x取a时，其函数 ( http: / / www.21cnjy.com )值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（ ）
A．c＜ B．0＜c＜ C．﹣1＜c＜ D．﹣1＜c＜0
【答案】B
【分析】
由函数的二倍数概念得出x1、x2是方程x2+x+c=2x的两个实数根，由△＞0且x=1时y＞0，即可求解．
【详解】
解：由题意知二次函数y=x2+x+c有两个不相等且小于1的二倍数，
∴x1、x2是方程x2+x+c=2x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1，
整理，得：x2-x+c=0，
由x2-x+c=0有两个不相等的实数根知：△＞0，即1-4c＞0①，
令y=x2-x+c，画出该二次函数的草图如下：
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而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x=1时，y=x2-x+c=c＞0②，
联立①②并解得：
0＜c＜，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．
19．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点为；④．其中，正确的结论是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
【答案】D
【分析】
根据对称轴方程可得①正确，由图象可 ( http: / / www.21cnjy.com )知x=-1时y<0，可得②错误；根据二次函数的对称性可得③错误；根据抛物线开口分析、对称轴位置及与y轴交点即可得④正确；综上可得答案．
【详解】
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x==1，
∴，故①正确，
由图象可知，x=-1时，y<0，
∴a-b+c<0，
∴a+c∵抛物线对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（-2，0），
∴与x轴的另一个交点坐标为（4，0），故③错误，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c<0，
∵x==1>0，
∴b<0，
∴abc>0，故④正确，
综上所述：正确的结论有①④，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图像与系数的关系，对于二次函数，抛物线对称轴方程为直线x=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；当抛物线与y轴交于y轴正半轴时，c>0，当抛物线与y轴交于负半轴时c<0，当对称轴在y轴左侧时，a、b同号，当对称轴在y轴右侧时，a、b异号；熟练掌握二次函数当性质是解题关键．21教育网
20．已知二次函数，，令，（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】B
【分析】
建立 结合选项的条件，分别计算 利用函数与轴的交点情况，再分别判断选项即可得到答案．
【详解】
解：当，，则＞
而
无法判断与的大小，故无法判断的大小，
故错误，不符合题意；
当，时，则 ＞
而
＜
而函数图像的开口向上，
＞
，故正确，符合题意；
当，，则＞
而
无法判断与的大小，故无法判断的大小，故错误，不符合题意；
当，，则＞
而
无法判断与的大小，故无法判断的大小，故错误，不符合题意；
故选：
【点睛】
本题考查的是二次函数与轴的交点情况，二次函数的性质，掌握利用二次函数的性质判断函数值的大小是解题的关键．
21．二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表：
x 0 1 3
y 3 5 3
下列结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程的一个根；④当时，．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】
①函数的对称轴为：x=(0+3)=，对称轴左侧y随x的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0，即可求解；
②函数的对称轴为x=，故②错误，不符合题意；
③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x，当x=3时，ax2+bx+c=3，即可求解；21教育名师原创作品
④由③知，3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为1，即可求解．
【详解】
解：①函数的对称轴为：x=(0+3)=，
对称轴左侧y随x的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0，
故①正确，符合题意；
②函数的对称轴为x=，对称轴左侧，即时，y随x的增大而增大，故②错误，不符合题意；
③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x，
当x=3时，ax2+bx+c=3，故③正确，符合题意；
④由③知，3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为-1，
故当-1＜x＜3时，ax2+(b-1)x+c>0，故④正确，符合题意；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解方程或不等式．
22．对于一个函数自变量取时，函数值为0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，，关于的方程有两个不相等的非零实数根和，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意画出关于x的二次函数的图象以及直线y＝ 2，根据图象即可判断．
【详解】
解：关于的方程有两个不相等的非零实数根和，
就是关于x的二次函数与直线y＝ 2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：
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∵抛物线的对称轴为直线x=3，
∴3＜x4＜x2，
由图象可知：一定成立，
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，利用图象判断是解题的关键．
23．如图，经过原点的二次函数的图象，对称轴是直线x= 2．关于下列结论：①；②；③方程的两个根为=0，= 4；④ 若A（x1，1），B（x2，2）是抛物线上两点，则x1＞x2 ．其中正确的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据函数与x轴交点的个数，函数对称性、二次函数与一元二次方程以及增减性可依次判断．
【详解】
解：∵图象与x轴有两个交点，
∴，①正确；
由函数的对称性可知，二次函数与x轴的另一个交点为x=-4，
结合图象增减性可知，当x=-3时，y=，②错误；
由图象可知，c=0，
∴结合函数与x轴的交点，方程的两个根为=0，= 4，③正确；
无法确定A（x1，1）和B（x2，2）在对称轴两侧还是同侧，无法判断x1和x2的大小，
故④错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用是解题关键．
24．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，过点作交轴于，若点从点出发，沿着直线上方抛物线运动到点，则点经过的路径长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C．3 D．
【答案】D
【分析】
分别求出A，B的坐标，运用待定系数法求出直线AB，PQ的解析式，再求出它们与y轴的交点坐标即可解决问题．
【详解】
解：对于，
令x=0，则y=3，
∴
令y=0，则
解得，
∵点A在点C的左侧，
∴A（-3，0）
设AB所在直线解析式为，
把A，B点坐标代入得，解得
所以，直线AB的解析式为：y=x+3，
∵PQ//AB
∴设PQ的解析式为：y=x+a
∵点经过的路径长是直线PQ经过抛物线的切点与y轴的交点和点B的距离的2倍，
∴方程有两个相等的实数根，
∴
解得，
∴点Q的坐标为（0，）
当点P与点A重合时，点Q与点B重合，此时点Q的坐标为（0，3）
点经过的路径长为
故选：D．
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【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点的求法．www.21-cn-jy.com
25．利用函数知识对关于代数式的以下说法作出判断，则正确的有（ ）
①如果存在两个实数，使得，则
②存在三个实数，使得
③如果，则一定存在两个实数，使
④如果，则一定存在两个实数，使
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
根据二次函数的性质、根的判别式一一判断即可；
【详解】
解：①错误，或时， 与不一定等于0；
②错误，一元二次方程最多存在两个不同的实数根；
③正确，∵，则△＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，故一定存在两个实数，使；
④错误，∵，∴△不一定＞0，抛物线可能与x轴没有交点，结论不一定成立．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数图象与轴的交点、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．如图是抛物线，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤关于x的方程的另一个解在和之间，
其中正确结论的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
根据抛物线开口方向和对称轴可以对①②进行判断；利用抛物线的对称性可得当时，，于是可对③进行判断；根据顶点即可对④进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的一个交点在和之间，则关于x的方程的另一个解在和之间，于是可对⑤进行判断．
【详解】
∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴直线，
∴，
∴，
故①②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点与关于直线对称，
∵时，，
∴时，，即，
故③正确；
∵抛物线，其顶点坐标为，
∴，
故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，
∴关于x的方程的另一个解在和之间，
故⑤错误；
∴正确结论的有①②③④共4个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数间的关系，涉及了抛物线的开口方向，对称轴、与x轴的交点等问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．
27．如图，函数图象C1与C2都经过x轴上的 ( http: / / www.21cnjy.com )点B并关于垂直于x轴的直线l对称，已知C1是抛物线y＝﹣2x2＋8x﹣6在x轴上方的部分，若直线y＝x＋m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣
【答案】D
【分析】
首先求出点和点的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时的值以及直线过点时的值，结合图形即可得到答案．
【详解】
解：令，即，
解得或3，
点，，
函数图象与关于直线对称，
解析式为，
当与相切时，
令，即，
△，
解得，
当过点时，即，
，
当时直线与、共有3个不同的交点，
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查抛物线与轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
28．已知抛物线与x轴有两个交点，现有如下结论：①此抛物线过定点；②若抛物线开口向下，则m的取值范围是；③若时，有，，则m的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
把函数变形，由m为任意数，可得，解方程组的可判定①，由抛物线与x轴有两个交点，可求且，由抛物线开口向下，，结合抛物线与x轴有两个交点， 且，可判定②，若时，抛物线开口向上，当x=-2,，y，当x=-1，y，可得，解得，当x=1,，y，当x=2，y，可得，解得，求公共部分即可．
【详解】
解:把函数变形，由m为任意数
∴，
解得，
抛物线过定点，
①此抛物线过定点正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
，
，
解得且，
∵抛物线开口向下，
∴，
解得，
又∵且，
∴；
②若抛物线开口向下，则m的取值范围是正确，
若时，，抛物线开口向上，
抛物线与x轴有两个交点，
，
∴当x=-2,，y，当x=-1，y，
即，
解得，
，
∴当x=1,，y，当x=2，y，
即，
解得，
∴有，，则m的取值范围是．
( http: / / www.21cnjy.com / )
③若时，有，，则m的取值范围是正确，
所以正确结论的个数有3个．
故选择D．
【点睛】
本题考查抛物线过定点，抛物线开口方向，抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )与x轴的交点个数，抛物线与x轴两交点位置，求范围，掌握抛物线过定点把函数变形构造方程组，抛物线开口方向，抛物线与x轴的交点个数归结判别式的符号，抛物线与x轴两交点位置，利用函数值的符号列不等式组是解题关键．
29．如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（ ）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5
【答案】B
【分析】
根据二次函数的图象特征解答．
【详解】
解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根在2和3之间，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数与x轴的交点坐标特征是解题关键．
30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象过点（﹣2，0）和（4，0），现有下四个结论：
①8a+c＝0；
②5a+2b+c＞0；
③若抛地物线与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），则﹣＜a＜﹣；
④已知m＞0，关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣4）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则x1＜﹣2＜4＜x2，
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
先求抛物线对称轴直线x＝1，可得b＝﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )a，由x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，消去b即可判断①；由8a+c＝0，b＝﹣2a，代入5a+2b+c＝﹣7a即可判断②；由抛物线在y轴的截距2＜c＜3，利用c＝﹣8a，构造a的不等式2＜﹣8a＜3，解不等式可判断③；根据抛物线开口向下，图象过点（﹣2，0）和（4，0），抛物线与直线y＝m（m＞0）的两个交点横坐标﹣2＜x1＜x2＜4，即可判断④．
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象过点（﹣2，0）和（4，0），
∴图象开口向下，对称轴为直线x＝＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a，
∵x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴8a+c＝0，故①正确；
∵8a+c＝0，b＝﹣2a，
∴5a+2b+c＝5a﹣4a﹣8a＝﹣7a＞0，故②正确；
∵抛地物线与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），
∴2＜c＜3，
∵c＝﹣8a，
∴2＜﹣8a＜3，
∴﹣＜a＜﹣，故③正确；
∵抛物线开口向下，图象过点（﹣2，0）和（4，0），
∴抛物线与直线y＝m（m＞0）的两个交点横坐标﹣2＜x1＜x2＜4，
∴关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣4）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则﹣2＜x1＜x2＜4，故④错误；
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线图像与系数的关系，抛物线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，抛物线与一元二次方程的关系，掌握抛物线图像与系数的关系，抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题关键．
二、填空题
31．如图是抛物线的部分图象，其顶点为，且与轴的一个交点在点和之间下列结论：①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的序号是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】①③④
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，
∴当x＝ 1时，y＞0，即a b＋c＞0，故①结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，即，
∴2a＋b＝0，
∵a≠0，
∴3a＋b≠0，故②结论错误；
∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线与直线y＝n有唯一一个交点，
即方程=n有两个相等的实数根，
∴△＝b2 4a（c n）＝0，
∴b2＝4a（c n），故③结论正确；
∵抛物线的开口向下，
∴y最大＝n，
∴直线y＝n 1与抛物线有两个交点，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝n 1有两个不相等的实数根，故④结论正确；
综上所述，正确的结论有3个．
故答案是①③④．
【点睛】
主要考查二次函数图象与二次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数系数之间的关系，掌握二次函数系数的几何意义，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，是解题的关键．
32．已知抛物线的顶点坐标为，试求：
（1）______；
（2）若关于的一元二次方程在或的范围内有实数根，则的取值范围是______．
【答案】1 或
【分析】
（1）根据抛物线的顶点坐标可求出b，c的值，从而可得结论；
（2）把一元二次方程变形为，画出函数图象，根据图象可得结论．
【详解】
解：（1）
∴抛物线的顶点坐标为（，）
又∵顶点坐标为（1，2）
∴
解得，
∴
故答案为：1；
（2）∵
∴
∴
如图①，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在时，有实数根，的取值为
如图②
( http: / / www.21cnjy.com / )
在时，有实数根，的取值为
故答案为：或
【点睛】
本题考查抛物线与直线的交点问题，解题的关键画出函数图象，分情况讨论，从而求出的范围，
33．如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是________（只填写序号）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】①②③
【分析】
利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对 ( http: / / www.21cnjy.com )称轴方程得到b=-2a，则2a+b+c=c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点横坐标大于-1小于0，则当x=-1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c<-3+c，然后把b=-2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．
【详解】
解：①∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∵对称轴x=-=1，
∴b=-2a，
∴2a+b+c=2a-2a+c=c>0，
∴①正确；
②∵抛物线与x轴的另一个交点在x轴的负半轴上，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标大于2小于3，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标的横坐标大于-1小于0，
∴当x=-1时y＜0，
∴a-b+c＜0,
∴②正确；
③∵当x=1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，
∴③正确；
④∵直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D，D在x轴下方且0＜x<3，
∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c<-3+c，
∴9a-6a<-3，
∴a<-1，
∴④不正确；
∴①②③正确,
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式（组）：利 ( http: / / www.21cnjy.com )用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．
34．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ( http: / / www.21cnjy.com )的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a）．下列结论：①abc＜0；②5a﹣b+c＝0；③若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2， 则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】①③④
【分析】
利用顶点式得到y=ax2+4ax-5a，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )抛物线的开口向上得到a＞0，则b＞0，c＜0，于是可对①进行判断；把b=4a，c=-5a代入5a-b+c中可对②进行判断；根据抛物线y=a（x+5）（x-1）与直线y=-1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，则可对③进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，则利用根与系数的关系可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为（-2，-9a），
∴y=a(x+2)2-9a=ax2+4ax-5a，
∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∴b=4a＞0，c=-5a＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵5a-b+c=5a-4a-5a=-4a，
而a＞0，
∴5a-b+c＜0，所以②错误；
∵方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x1和x2，
∴抛物线y= a(x+5)(x-1)与直线y=-1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，
∴-5＜x1＜x2＜1，所以③正确；
∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×(-)=2×(-)=-8，所以④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
35．如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】②④
【分析】
根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可．
【详解】
解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴﹣=1，即b=﹣2a＞0
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，故②正确；
根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；
由得，
根据图象，抛物线与直线y=﹣1有交点，
∴有实数根，故④正确，
综上，正确的为②④，
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键．
三、解答题
36．已知关于的一元二次方程，其中为常数．
（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根．
（2）己知函数的图象不经过第三象限，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用判别式求解即可得到答案；
（2）根据a的值及判别式设抛物线与轴的交点的横坐标分别为，，由此得到，，解不等式求出答案．
【详解】
（1）证明：∵
，
∴无论为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵二次函数的图象不经过第三象限，二次项系数，
∴抛物线开口方向向上，
∵，
∴抛物线与轴有两个交点，
设抛物线与轴的交点的横坐标分别为，，
∴，，
解得，
即的取值范围是．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式，二次函数的开口方向，与轴交点个数及根与系数的关系，正确理解二次函数的图象性质是解题的关键．
37．已知二次函数．
（1）若图像经过点．
①的值为______；
②无论为何值，图像一定经过另一个定点______．
（2）若图像与轴只有1个公共点，求与的数量关系．
（3）若该函数图像经过，写出函数图像与坐标轴的公共点个数及对应的的取值范围．
【答案】（1）①2；②；（2）；（3）图像与坐标轴有1个公共点时，；图像与坐标轴有2个公共点时，或；图像与坐标轴有3个公共点时，或且．
【分析】
（1）①把点代入即可求得；②把代入求得，即可证明图像一定过另一个定点；
（2）根据题意，即可得到；
（3）由题意得，计算出，分三种情况得到关于m的不等式组，和方程组，即可．
【详解】
（1）①∵二次函数过点，
∴n=2，
故填：2；
②当时，
=2，
∴无论m为何值，图像一定经过另一个定点，
故答案为：；
（2）∵图像与x轴有1个公共点，
∴当y=0时，
方程有两个相等的实数根，
∴且，
即，
∵，
∴，
∴；
（3）∵函数图像经过，
∴即,
∴，
∴，
①当图像与坐标轴有1个公共点时，即与x轴没有交点,
，
则或，
解得，
②当图像与坐标轴有2个公共点时，即与x轴只有1个交点或者函数过原点,
当函数与x轴只有1个交点时,
，
解得，
当函数过原点时,,
解的,
故当或时,函数与坐标轴有2个交点;
③当图像与坐标轴有3个公共点时，即与x轴有2个不同的交点,且函数不过原点,
则或，
解得或且，
综上所述：
图像与坐标轴有1个公共点时，，
图像与坐标轴有2个公共点时，或，
图像与坐标轴有3个公共点时，或且．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与系数的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系，二次函数图像上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，分类讨论是解题的关键．
38．已知二次函数．
（1）当时，求出该二次函数的图象与轴的交点坐标；
（2）若时，该二次函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）的值为或
【分析】
（1）将代入原二次函数，得到二次函数的解析式，然后令，即可得到关于的一元二次方程，解方程即可求出二次函数图象与轴的交点坐标；
（2）求出二次函数的对称轴，然后由抛物线的性质进行解答．
【详解】
解：（1）由题意，得，
当时，．
解得，．
该二次函数的图象与轴的交点坐标为，．
（2）抛物线的对称轴为．
若抛物线与轴只有一个交点，则交点为．
有，解得；
若抛物线与轴有两个交点，
当，时，，解得；
当，时，，解得；
综上所述，的值为或．
【点睛】
本题考查了抛物线与轴的交点，熟悉抛物线的性质及不等式的解法是解题的关键．
39．某公司决定投资燃油汽车与新能源汽车，该公司信息部的市场调研结果如下：
方案：若单独投资燃油汽车时，则所获利润（千万元）与投资金额（千万元）之间存在正比例函数关系例，并且当投资2千万元时，可获利润0.8千万元；
方案：若单独投资新能源汽车时，则所获利润（千万元）与投资金额（千万元）之间存在二次函数关系：，并且当投资1千万元时，可获利润1.4千万元；当投资3千万元时，可获利润3千万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）如果该公司对燃油汽车与新能源汽车这两种产品投资金额相同，且获得总利润为5千万元，求此时该公司对这两种汽车的投资金额各是多少千万元？
（3）如果公司对燃油汽车投资千万元，对新能源汽车的投资金额是燃油汽车的两倍，投资所获总利润的利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4千万元，直接写出的取值范围．
【答案】（1），；（2）该公司对这两种汽车的投资金额均为5千万元；（3）
【分析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据获得总利润为5千万元可列方程，解方程即可；
（3）设该公司对燃油汽车投资千万元，对新能源汽车投资千万元，先表示出此时关于的函数关系式，再根据投资所获总利润的利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4千万元，分别列出不等式，求解即可．
【详解】
解：（1）由题意可得，当时，，代入得，
，
解得，
∴正比例函数的表达式为．
当时，；当时，，代入，
得：，
∴，
∴二次函数表达式为；
（2）根据题意得：，
∴，
∴，
解得：．
∴该公司对这两种汽车的投资金额均为5千万元；
（3）设该公司对燃油汽车投资千万元，对新能源汽车投资千万元，
则，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴；
∵获得总利润为不低于4千万元，
∴，
∴．
综上所述，的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数的解 ( http: / / www.21cnjy.com )析式、二次函数和一元一次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数与不等式的关系是解题的关键．
40．已知二次函数的图象与轴有且只有一个公共点．
①求的顶点坐标；
②将向下平移若干个单位后，得抛物线，如果与轴的一个交点为，求的函数关系式，并求与轴的另一个交点坐标；
（2）若，是上的两点，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）（ 1，0）；（2）y＝（x＋1）2 4，（1，0）；（3）n＞2或n＜ 4
【分析】
（1）由于二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0，由此可以确定m，进而即可求解；
（2）首先设所求抛物线解析式为y＝（x＋1）2＋k，然后把A（ 3，0）代入即可求出k，也就求出了抛物线的解析式；
（3）由于图象C1的对称轴为直线x ( http: / / www.21cnjy.com )＝ 1，所以知道当x≥ 1时，y随x的增大而增大，然后讨论n≥ 1和n≤ 1两种情况，利用前面的结论即可得到实数n的取值范围．
【详解】
（1）y＝x2＋2x＋m＝（x＋1）2＋m 1，对称轴为直线x＝ 1，
∵抛物线与x轴有且只有一个公共点，
∴顶点的纵坐标为0，
∴C1的顶点坐标为（ 1，0）；
（2）设C2的函数关系式为y＝（x＋1）2＋k，
把A（ 3，0）代入上式得（ 3＋1）2＋k＝0，得k＝ 4，
∴C2的函数关系式为y＝（x＋1）2 4．
∵抛物线的对称轴为直线x＝ 1，与x轴的一个交点为A（ 3，0），
由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；
（3）对于y＝x2＋2x＋m＝（x＋1）2＋m 1，当x≥ 1时，y随x的增大而增大，
当≥ 1时，
∵y1＞y2，
∴n＞2．
当＜ 1时，P（n，y1）的对称点坐标为（ 2 n，y1），且 2 n＞ 1，
∵y1＞y2，
∴ 2 n＞2，
∴n＜ 4．
综上所述：n＞2或n＜ 4．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图形和性质，掌握抛物线与x轴交点个数与其判别式的关系，抛物线平移的性质，抛物线的增减性，是解题的关键．
41．已知关于的一元二次方程．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．
【答案】（1）；（2），
【分析】
（1）根据△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根求解m的取值范围即可；
（2）根据二次函数图象与x轴的交点的横坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标就是当y=0时对应一元二次函数的解，故将x=1代入方程中求出m值，再代入一元二次方程中解方程即可求解．21*cnjy*com
【详解】
解：（1）由题知，
∴．
（2）由图知的一个根为1，
∴，∴，
即一元二次方程为，
解得，，
∴一元二次方程的解为，．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别 ( http: / / www.21cnjy.com )式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键．
42．已知抛物线（其中为常数）
（1）求证：不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点；
（2）若，两点在抛物线上，试比较与0的大小；
（3）若该抛物线在的部分与直线有两个公共点，试求出的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）当时，；当时，；当时，；（3）．
【分析】
（1）计算y=0时一元二次方程的判别式，根据一元二次方程根与判别式的关系即可得结论；
（2）分别计算y1与y2，再计算，最后根据一次函数的性质即可得答案；
（3）由题意可得方程=有两个不相等的实数根，且在之间，结合判别式及二次函数的性质列不等式组即可得答案．
【详解】
（1）当y=0时，=0，
∴判别式△==4>0，
∴不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点．
（2）∵，两点在抛物线上，
∴，，
∴，
当=0时，，
∵-2<0，
∴的值随m的增大而减小，
∴当时，<0，当时，>0，
综上所述：当时，；当时，；当时，．
（3）∵该抛物线在的部分与直线有两个公共点，
∴方程=有两个不相等的实数根，且在之间，
整理得：，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】
本题考查二次函数与一元二次方程的综合及一次函数的性质，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根与判别式的关系是解题关键．
43．在平面直角坐标系中，抛物线经过，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线与抛物线关于x轴对称，在抛物线是否存在一点P，使得与的面积比，若存在，求出点P的坐标，若不村在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）P点坐标为或或或．
【分析】
（1）由待定系数法可以得到抛物线的表达式；
（2）根据已知条件可以得到或，再根据抛物线与抛物线关于x轴对称可以得到抛物线的表达式为：，如此得到关于的方程，并在解方程后得到P的坐标．
【详解】
解：（1）设抛物线的表达式为：,则由题意可得：
，
解之可得a=-2，b=8，c=-6，
∴抛物线的表达式为：；
（2）由（1）可得：，
∴D（2，2），
∴,
∴，
∴，即或，
∵抛物线与抛物线关于x轴对称，
∴抛物线的表达式为：，
∴当时，有，
解之可得：或；
当时，有，
解之可得：或；
∴P点坐标为或或或．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数表达式的方法及一元二次方程的求解是解题关键．
44．已知二次函数．
（1）直接写出该函数图象的对称轴和与轴的交点坐标．
（2）若该函数图象开口向上，且图象上的一点在轴的下方，求证：．
（3）已知点，，，在该函数图象上，若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，试求的取值范围．
【答案】（1），（0，1）；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据对称轴公式和y轴上点的坐标特征即可求得；
（2）根据题意a＞0，且△＞0，即(4a)2-4a 1＞0，解得即可；
（3）根据二次函数的性质即可得出y3=a+4a+1≥0，y4=4a+8a+1＜0，解得即可．
【详解】
解：（1）∵二次函数y=ax2+4ax+1（a≠0）．
∴函数图象的对称轴为直线x=-=-2，
当时，，
∴y轴的交点坐标为（0，1）；
（2）∵该函数图象开口向上，且图象上的一点（x0，y0）在x轴的下方，
∴a＞0，且△＞0，即(4a)2-4a 1＞0，
∴a＞；
（3）∵函数图象的对称轴为直线x=-2，
∴点（-3，y1）关于对称轴的对称点为（-1，y1），
∵-2＜-1＜1＜2，y1=y2，
∴当开口向上时，则y1=y2＜y3＜y4，y1，y2，y3，y4四个函数值中最少有两个小于零，不合题意，
当开口向下时，则y1=y2＞y3＞y4，y1，y2，y3，y4四个函数值中可以满足y1=y2＞y3＞0＞y4，
∴y3＞0，y4＜0，即当x=1时，y3=a+4a+1≥0，
x=2时，y4=4a+8a+1＜0，
解得-≤a＜-．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，得到关于a的不等式是解题的关键．【出处：21教育名师】
45．在平面直角坐标系xOy中，点，为抛物线上的两点．
（1）当h=1时，求抛物线的对称轴；
（2）若对于，，都有，求h的取值范围．
【答案】（1）；（2）或
【分析】
（1）将代入解析式，然后将二次函数一般式化成顶点式求解；
（2）设抛物线上四个点的坐标为，，，，利用二次函数性质分情况讨论求解．
【详解】
解：（1）当时，抛物线的表达式为．
∴．
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）设抛物线上四个点的坐标为，，，．
∵，
∴的最小值必为或．
①由可知，当时，存在≥，不符合题意．
②当时，总有．
∵当时，y随x的增大而减小，
∴．
当时，．
∴，符合题意．
当时，．
∴，不符合题意．
③当时，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴，．
当时，．
∴，符合题意．
当时，．
∴，不符合题意．
综上所述，h的取值范围是或．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，理解图像性质，利用数形结合思想解题是关键．
46．如图，抛物线交轴于，两点，点在点左侧，点的坐标为，，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若点的坐标为，求的长．
（2）当时，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先把A点坐标代入y=-(x-m)2 ( http: / / www.21cnjy.com )+9中求得m=1或m=7，则根据点A在点B左侧可确定抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性求DE的长；
（2）通过解方程-(x-m)2+9=0得 ( http: / / www.21cnjy.com )A（m-3，0），B（m+3，0），则AB=6，所以DE=3，利用抛物线的对称性得到2(m-6)=3，然后解方程即可．
【详解】
解：（1）把A（4，0）代入y=-(x-m)2+9得-(4-m)2+9=0，
解得m=1或m=7，
∵点A在点B左侧，
∴m=7，
即抛物线的对称轴为直线x=7，
∵CD⊥x轴，DE⊥CD，
∴点E与点D关于直线x=7对称，
而D点的横坐标为6，
∴DE=2×(7-6)=2；
（2）当y=0时，-(x-m)2+9=0，
解得x1=m-3，x2=m+3，
∴A（m-3，0），B（m+3，0），
∴AB=m+3-(m-3)=6，
∴DE=AB=3，
∵D点的横坐标为6，
∴2(m-6)=3，
∴m=．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
47．如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是，与轴交于两点，与轴交于，点的坐标是．
（1）求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线的函数关系式．
（2）作一条平行于轴的直线交二次函数的图象于点，与直线于点．若点的横坐标分别为，且，求的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）点的坐标为，直线的函数关系式为；（2）
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）因为r＜m≤n，则直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A），进而求解．
【详解】
解：（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：a+2-3=0，解得a=1，
故抛物线的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
故顶点坐标为（1，-4）；
对于y=x2-2x-3，
令x2-2x-3=0，解得x=-1或3，
令x=0，则y=-3，
故点C、D的坐标分别为（3，0）、（0，-3），
设直线CD的表达式为y=kx+b，则
，解得，
故直线CD的表达式为y=x-3；
（2）∵r＜m≤n，
∴直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A），
当y=-4时，即-x-3=-4，解得x=-1，
故-1≤r＜0，
由抛物线的对称性知，点M、N关于抛物线的对称轴对称，
故(m+n)=1，所以m+n=2，
∴1≤m+n+r＜2．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．21cnjy.com
48．已知二次函数（是常数）．
（1）若该函数图像与轴有两个不同的公共点，求的取值范围；
（2）求证：不论为何值，该函数图像的顶点都在函数的图像上；
（3），是该二次函数图像上的点，当时，都有，则的取值范围是___________．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）或
【分析】
（1）令，则，判别式大于0即可；
（2）化成顶点式，得顶点坐标为，将代入，得即可；
（3）根据函数的性质解答即可．
【详解】
解：（1）令，则，
∵，，，
∴，
∵该函数图像与轴有两个不同的公共点，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得．
∴当时，该函数图像与轴有两个不同的公共点．
（2）由，得顶点坐标为，
将代入，得，
∴不论为何值，该函数的图像的顶点都在函数的图像上．
（3）或
由（2）可知该抛物线顶点为，
当时，，
∴时，随的增大而减少，
又∵该函数开口向下，对称轴为直线，
∴如图，得出，
当时，，
要使恒成立，则，
∴，或，
结合，
∴或．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
49．已知抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝4．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
【答案】（1）见解析；（2）①y＝x2﹣8x+15；②抛物线沿y轴向上平移1个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点www-2-1-cnjy-com
【分析】
（1）要证明不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点，只要证明b2﹣4ac＞0即可，然后代入数据计算即可；
（2）①根据该抛物线的对称轴为直线x＝4，可以求得m的值，从而可以得到抛物线的函数解析式；
②将①的函数解析式，化为顶点式，即可得到把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
【详解】
（1）证明：∵抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m其中m是常数，
∴[﹣（2m+2）]2﹣4×1×（m2+2m）＝4m2+8m+4﹣4m2﹣8m＝4＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）①∵抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m的对称轴为直线x＝4，
∴＝4，
解得m＝3，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣8x+15；
②∵y＝x2﹣8x+15＝（x﹣4）2﹣1，
∴该抛物线沿y轴向上平移1个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
50．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 ；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）当x为值时，y＜0；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．
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【答案】（1）﹣1或3；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）x＞3或x＜﹣1；（4）y＞4
【分析】
（1）直接观察图象，抛物线与x轴交于﹣1，3两点，所以方程的解为x1＝﹣1，x2＝3．
（2）设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（3，0），即可求得抛物线的解析式．
（3）若y＜0，则函数的图象在x轴的下方，找到对应的自变量取值范围即可．
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞函数的最大值即可．
【详解】
解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x＝﹣1和x＝3两点，
∴方程的解为x1＝﹣1，x2＝3，
故答案为：﹣1或3；
（2）设抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+k，
∵抛物线与x轴交于点（3，0），
∴（3﹣1）2+k＝0，
解得：k＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
即：抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（3）若y＜0，则函数的图象在x轴的下方，由函数的图象可知：x＞3或x＜﹣1；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞4函数的最大值，即y＞4．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式，准确计算是解题的关键．【版权所有：21教育】
51．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：
①abc＜0；
②4a+2b+c＞0；
③5a﹣b+c＝0；
④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，
其中正确的结论有__．
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【答案】①②④⑤
【分析】
利用顶点式得到y＝ax2+4ax﹣5a，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据抛物线的开口向上得到a＞0，则b＞0，c＜0，于是可对①进行判断；解方程ax2+4ax﹣5a＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），利用x＝2时，y＞0可对②进行判断；把b＝4a，c＝﹣5a代入5a﹣b+c中可对③进行判断；根据抛物线y＝a（x+5）（x﹣1）与直线y＝﹣1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c＝1有2个根，方程ax2+bx+c＝﹣1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣9a），
∴y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a，
∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∴b＝4a＞0，c＝﹣5a＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
当y＝0时，ax2+4ax﹣5a＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以②正确；
∵5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a，
而a＞0，
∴5a﹣b+c＜0，所以③错误；
∵方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，
∴抛物线y＝a（x+5）（x﹣1）与直线y＝﹣1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，
∴﹣5＜x1＜x2＜1，所以④正确；
∵方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，
∴方程ax2+bx+c＝1有2个根，方程ax2+bx+c＝﹣1有2个根，
∴所有根之和为2×（﹣）＝2×（﹣）＝﹣8，所以⑤正确．
故答案为①②④⑤．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、 ( http: / / www.21cnjy.com )根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系、抛物线与x轴的交点，准确分析判断是解题的关键．
52．定义：对于二次函数，其相依函数为一次函数，例如：二次函数的相依函数为：
（1）求二次函数的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数与其相依函数的图象分别交于点、，过该抛物线的顶点作直线平行于轴，已知点到直线的距离为8．
( http: / / www.21cnjy.com / )
①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上；
②点为抛物线段上的一个动点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）①见解析；②
【分析】
（1）根据相依函数的定义求解；
（2）①利用顶点式求得二次函数的顶点坐标，然后利用一次函数图像上的点的坐标特点求解；②联立方程组求得，，然后求得m的值，设P点坐标为，过点P作PM⊥x轴，交AB于点M，然后利用三角形面积公式及二次函数的性质求最值
【详解】
解：（1）
∴二次函数的相依函数表达式为：；
（2）①在中，
其顶点坐标为，
∴该二次函数的相依函数为：，
当时，，
∴该二次函数的顶点在其相依函数图像上。
②联立方程组得，解得，
∴，
又∵点到直线的距离为8
∴-3m+8=-2m，解得：m=8
∴
设P点坐标为
过点P作PM⊥x轴，交AB于点M
∴M点坐标为
∴PM=
∴
∴当x=时，S有最大值为1，即
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【点睛】
本题考查二次函数新定义题目的理解，掌握二次函数的性质、利用数形结合思想解题是关键．
53．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点
（1）求证：∠ACB=90°
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标．
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【答案】（1）（2）①9；②或．
【分析】
（1）分别计算A，B，C三点的坐标，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的长，最后利用勾股定理逆定理解题；
（2）①先解出直线BC的解析式，设，接着解出，利用二次函数的配方法求最值；②根据直角三角形斜边的中线性质，解得AG的长，再证明，再分两种情况讨论以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可．
【详解】
解：（1）令x=0，得
令得
，
（2）①设直线BC的解析式为：，代入，得
设
即DE+BF的最大值为9；
②点G是AC的中点，
在中，
即为等腰三角形，
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若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，
则①
又
，
或
经检验：不符合题意，舍去，
②，
又
整理得，
，
或，
同理：不合题意，舍去，
综上所述，或．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
54．已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．
（1）求的值（用含的代数式表示）；
（2）若二次函数在时，的最大值为1，求的值；
（3）将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）利用待定系数法将点A、B的坐标代入即可
（2）根据抛物线图像分析得在范围内，的最大值只可能在或处取得，进行分类讨论①若时，②若，③，计算即可
（3）先利用待定系数法写出直线AB的解析式，再写出平移后的解析式，若线段与抛物线仅有一个交点，即方程在的范围内仅有一个根，只需当对应的函数值小于或等于0，且对应的函数值大于或等于即可．
【详解】
（1）∵抛物线过点，，
∴，
∴，
∴．
（2）由（1）可得，
在范围内，的最大值只可能在或处取得．
当时，，当时，．
①若时，即时，得，
∴，得．
②若，即时，得，此时，舍去．
③，即时，得，
∴，，舍去．
∴综上知，的值为．
（3）设直线的解析式为，
∵直线过点，，
∴，∴，
∴．
将线段向右平移2个单位得到线段，
∴的解析式满足，即．
又∵抛物线的解析式为，
∴．
又∵线段与抛物线在范围内仅有一个交点，
即方程在的范围内仅有一个根，
整理得在的范围内仅有一个根，
即抛物线在的范围内与轴仅有一个交点．
只需当对应的函数值小于或等于0，且对应的函数值大于或等于即可．
即时，，得，
当时，，得，
综上的取值范围为．
【点睛】
本题考查一次函数解析式、二次函数解析式、二次函数的最值、图像与x轴的交点与方程的根的情况、熟练掌握二次函数的图像知识是解题的关键
55．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，1）．
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（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第一象限内抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点 ( http: / / www.21cnjy.com )O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第四象限内是否存在这样的点P，使△BPQ∽△CAB．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）的最大值为；（3）或
【分析】
（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）构造出△AGE∽△DEH，可得，而DE和AG都可以用含自变量的式子表示，最后用二次函数最大值的方法求值．
（3）先发现△ABC是两直角边比为2：1的直角三角形，由△BPQ∽△CAB，构造出△BPQ，表示出Q点的坐标，代入解析式求解即可．
【详解】
解：（1）分别将C（0，1）、A（﹣，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+c中得
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）过A作AG∥y轴交BC的延长线于点G，过点D作DH∥y轴交BC于点H，
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∵B（2，0）C（0，1），
∴直线BC：y＝x+1，
∵A（-，0），
∴G（-，），
设D（），则H（），
∴DH＝（）﹣（），
＝﹣m2+2m，
∴AG=，
∵AG∥DH，
∴，
∴当m＝1时，的最大值为．
（3）符合条件的点P坐标为（）或（）．
∵l∥BC，
∴直线l的解析式为：y＝-x，
设P（n，-n），
∵A（-，0），B（2，0），C（0，1），
∴AC2＝，BC2＝5，AB2＝．
∵AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°．
∵△BPQ∽△CAB，
∴，
分两种情况说明：
①如图3，过点P作PN⊥x轴于N，过点Q作QM⊥x轴于M．
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∵∠PNB＝∠BMQ＝90°，
∠NBP+∠MBQ＝90°，
∠MQB+∠MBQ＝90°，
∴∠NBP＝∠MQB．
∴△NBP∽△MQB，
∴，
∵，
∴，
∴BN＝2﹣n，
∴BM＝2PN＝n，QM＝2BN＝4﹣2n，
∴OM＝OB+BM＝2+n，
∴Q（2+n，2n﹣4），
将Q的坐标代入抛物线的解析式得：
，
2n2+9n﹣8＝0，
解得：
∴P()．
②如图4，过点P作PN⊥x轴于N，过点Q作QM⊥x轴于M．
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∵△PNB∽△BMQ，
又∵△BPQ∽△CAB，
∴，
∵，
∴Q（2﹣n，4﹣2n），
将Q的坐标代入抛物线的解析式得：
，
化简得：2n2﹣9n+8＝0，
解得：，
∴P()．
【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式，平行 ( http: / / www.21cnjy.com )线分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，平行线分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题关键．
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22.2 二次函数与一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．如图，抛物线顶点坐标为，对于下列结论：①；②；③；④若方程没有实数根，则．其中正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴为
C．抛物线与轴有两个交点 D．与时函数值一样大
3．如图，抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值错误的是（ ）
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A． B． C． D．
4．如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1；
④若点，，均在二次函数图象上，则；
⑤（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）
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A．或 B．或 C． D．
6．已知二次函数图像上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是（ ）
x … 0 50 200 …
y … 1 1 …
A． B． C． D．
7．二次函数的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ）．
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A． B．
C． D．关于的方程无实数根
8．已知二次函数（，）的图象经过点，，与x轴交于点，点（点A在点B的左侧）．若，则有下列结论：①，，②，③．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．若抛物线与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
11．二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴没有交点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．若、（）是关于的一元二次方程的两个根，、（）是关于的方程的两根，则、、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
14．根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（ ）
x 0 1 2 3 4
ax2+bx+c -14.5 -11.5 -6.5 0.5 9.5
A． B． C． D．
15．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
16．已知函数，当时，函数值随增大而增大，且对任意的和，、相应的函数值、总满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．若抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于A、B两点，若的长是6，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．对于一个函数，当自变量x取a时，其 ( http: / / www.21cnjy.com )函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（ ）
A．c＜ B．0＜c＜ C．﹣1＜c＜ D．﹣1＜c＜0
19．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点为；④．其中，正确的结论是（ ）
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A．①② B．①③ C．②④ D．①④
20．已知二次函数，，令，（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
21．二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表：
x 0 1 3
y 3 5 3
下列结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程的一个根；④当时，．其中正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
22．对于一个函数自变量取时，函数值为0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，，关于的方程有两个不相等的非零实数根和，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
23．如图，经过原点的二次函数的图象，对称轴是直线x= 2．关于下列结论：①；②；③方程的两个根为=0，= 4；④ 若A（x1，1），B（x2，2）是抛物线上两点，则x1＞x2 ．其中正确的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
24．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，过点作交轴于，若点从点出发，沿着直线上方抛物线运动到点，则点经过的路径长为（ ）
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A． B．
C．3 D．
25．利用函数知识对关于代数式的以下说法作出判断，则正确的有（ ）
①如果存在两个实数，使得，则
②存在三个实数，使得
③如果，则一定存在两个实数，使
④如果，则一定存在两个实数，使
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．如图是抛物线，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤关于x的方程的另一个解在和之间，
其中正确结论的个数是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．如图，函数图象C1与 ( http: / / www.21cnjy.com )C2都经过x轴上的点B并关于垂直于x轴的直线l对称，已知C1是抛物线y＝﹣2x2＋8x﹣6在x轴上方的部分，若直线y＝x＋m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
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A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣
28．已知抛物线与x轴有两个交点，现有如下结论：①此抛物线过定点；②若抛物线开口向下，则m的取值范围是；③若时，有，，则m的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）21*cnjy*com
A．0 B．1 C．2 D．3
29．如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（ ）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5
30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象过点（﹣2，0）和（4，0），现有下四个结论：
①8a+c＝0；
②5a+2b+c＞0；
③若抛地物线与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），则﹣＜a＜﹣；
④已知m＞0，关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣4）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则x1＜﹣2＜4＜x2，
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
31．如图是抛物线的部分图象，其顶点为，且与轴的一个交点在点和之间下列结论：①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的序号是______．
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32．已知抛物线的顶点坐标为，试求：
（1）______；
（2）若关于的一元二次方程在或的范围内有实数根，则的取值范围是______．
33．如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是________（只填写序号）．
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34．二次函数y＝ax2+bx ( http: / / www.21cnjy.com )+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a）．下列结论：①abc＜0；②5a﹣b+c＝0；③若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2， 则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有_______．
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35．如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．
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三、解答题
36．已知关于的一元二次方程，其中为常数．
（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根．
（2）己知函数的图象不经过第三象限，求的取值范围．
37．已知二次函数．
（1）若图像经过点．
①的值为______；
②无论为何值，图像一定经过另一个定点______．
（2）若图像与轴只有1个公共点，求与的数量关系．
（3）若该函数图像经过，写出函数图像与坐标轴的公共点个数及对应的的取值范围．
38．已知二次函数．
（1）当时，求出该二次函数的图象与轴的交点坐标；
（2）若时，该二次函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
39．某公司决定投资燃油汽车与新能源汽车，该公司信息部的市场调研结果如下：
方案：若单独投资燃油汽车时，则所获利润（千万元）与投资金额（千万元）之间存在正比例函数关系例，并且当投资2千万元时，可获利润0.8千万元；
方案：若单独投资新能源汽车时，则所获利润（千万元）与投资金额（千万元）之间存在二次函数关系：，并且当投资1千万元时，可获利润1.4千万元；当投资3千万元时，可获利润3千万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）如果该公司对燃油汽车与新能源汽车这两种产品投资金额相同，且获得总利润为5千万元，求此时该公司对这两种汽车的投资金额各是多少千万元？
（3）如果公司对燃油汽车投资千万元，对新能源汽车的投资金额是燃油汽车的两倍，投资所获总利润的利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4千万元，直接写出的取值范围．
40．已知二次函数的图象与轴有且只有一个公共点．
①求的顶点坐标；
②将向下平移若干个单位后，得抛物线，如果与轴的一个交点为，求的函数关系式，并求与轴的另一个交点坐标；
（2）若，是上的两点，且，求实数的取值范围．
41．已知关于的一元二次方程．
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（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．
42．已知抛物线（其中为常数）
（1）求证：不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点；
（2）若，两点在抛物线上，试比较与0的大小；
（3）若该抛物线在的部分与直线有两个公共点，试求出的取值范围．
43．在平面直角坐标系中，抛物线经过，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线与抛物线关于x轴对称，在抛物线是否存在一点P，使得与的面积比，若存在，求出点P的坐标，若不村在，请说明理由．
44．已知二次函数．
（1）直接写出该函数图象的对称轴和与轴的交点坐标．
（2）若该函数图象开口向上，且图象上的一点在轴的下方，求证：．
（3）已知点，，，在该函数图象上，若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，试求的取值范围．
45．在平面直角坐标系xOy中，点，为抛物线上的两点．
（1）当h=1时，求抛物线的对称轴；
（2）若对于，，都有，求h的取值范围．
46．如图，抛物线交轴于，两点，点在点左侧，点的坐标为，，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点．
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（1）若点的坐标为，求的长．
（2）当时，求的值．
47．如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是，与轴交于两点，与轴交于，点的坐标是．
（1）求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线的函数关系式．
（2）作一条平行于轴的直线交二次函数的图象于点，与直线于点．若点的横坐标分别为，且，求的取值范围．
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48．已知二次函数（是常数）．
（1）若该函数图像与轴有两个不同的公共点，求的取值范围；
（2）求证：不论为何值，该函数图像的顶点都在函数的图像上；
（3），是该二次函数图像上的点，当时，都有，则的取值范围是___________．
49．已知抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝4．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
50．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 ；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）当x为值时，y＜0；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．
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51．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：
①abc＜0；
②4a+2b+c＞0；
③5a﹣b+c＝0；
④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，
其中正确的结论有__．
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52．定义：对于二次函数，其相依函数为一次函数，例如：二次函数的相依函数为：
（1）求二次函数的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数与其相依函数的图象分别交于点、，过该抛物线的顶点作直线平行于轴，已知点到直线的距离为8．21教育名师原创作品
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①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上；
②点为抛物线段上的一个动点，求面积的最大值．
53．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点
（1）求证：∠ACB=90°
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标．
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54．已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．
（1）求的值（用含的代数式表示）；
（2）若二次函数在时，的最大值为1，求的值；
（3）将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围．
55．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，1）．
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（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第一象限内抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求的最大值；
（3）如图2，连接AC， ( http: / / www.21cnjy.com )BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第四象限内是否存在这样的点P，使△BPQ∽△CAB．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
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