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22.3 实际问题与二次函数
【基础训练】
一、单选题
1．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度与水流时间之间的解析式为，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（ ）
A． B． C． D．
2．烟花厂某种礼炮的升空高度 ( http: / / www.21cnjy.com )h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．10s
3．某市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则企业停产的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
4．向空中发射一枚炮弹，经过秒后的高度为米，且时间与高度的关系为（），若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
5．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（ ）．
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A．12 B．18 C．20 D．24
6．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G同时从点A出发，分别以每秒个单位的速度在射线AB，AC上运动，设运动时间为x秒，以点A为顶点的正方形AEFG与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．已知某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时 ( http: / / www.21cnjy.com )间t(s)的关系式是h=﹣(t﹣4)2+20．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为( )
A．3s B．4s C．5s D．6s
8．如图，点为平行四边形的边上一动点，过点作直线垂直于，且直线与平行四边形的另一边交于点．当点从匀速运动时，设点的运动时间为，的面积为，能大致反映与函数关系的图象是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
9．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为：y(x﹣25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )m．
A．12 B．25 C．13 D．14
10．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是( )
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A．2m B．4m C．m D．m
11．如图，抛物线交x轴的负半轴于点A，点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点A 恰好落在抛物线上．过点A 作x轴的平行线交抛物线于另一点C，则点A 的纵坐标为（）
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A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
12．如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点,同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒，设、同时出发秒时，的面积为.已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（ ）
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图（1） 图（2）
A． B．当是等边三角形时，秒
C．当时，秒 D．当的面积为时，的值是或秒
13．某城市2006年底已有绿化面积30 ( http: / / www.21cnjy.com )0公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，关于代数式300（1+x）2下列说法正确的是（ ）
A．2007年已有的绿化面积 B．2008年增加的绿化面积
C．2008年已有的绿化面积 D．2007、2008年共增加的绿化面积
14．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y＝6t﹣t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是（ ）s．
A．10 B．20 C．30 D．10或30
15．已知正方形ABCD的边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，沿BC，CD边以2cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），△BPQ的面积为y（cm2），则y与x之间的函数图象大致是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
16．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度（米）与旋转时间（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画. 经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（ ）
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/分 … 2. 66 3. 23 3. 46 …
/米 … 69. 16 69. 62 68. 46 …
A．8分 B．7分 C．6分 D．5分
17．二次函数图像的顶点坐标为( )
A．(0，-2) B．(-2，0) C．(0，2) D．(2，0)
18．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（ ）
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A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
19．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩 ( http: / / www.21cnjy.com )具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
20．某旅行社组团去外地旅 ( http: / / www.21cnjy.com )游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（ ）人
A．56 B．55 C．54 D．53
21．如图，在矩形中，，点E，F分别是，上的点，且满足．分别以，为边向矩形内部构造正方形和正方形，记阴影部分的面积为S，则S的最小值为（ ）
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A．9 B．10.5 C．12 D．15
22．如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（ ）
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A． B．
C． D．
23．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
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A．米 B．8米 C．10米 D．2米
24．如果矩形的周长是16，则该矩形面积的最大值为（ ）
A．8 B．15 C．16 D．64
25．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
26．某新型礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在点火升空到最高点时引爆，则从点火到引爆需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
27．从地面竖直向上抛出一小球，小 ( http: / / www.21cnjy.com )球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（ ）
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A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
28．今年由于受新型冠状病毒的 ( http: / / www.21cnjy.com )影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5000枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是（ ）
A．y＝5000（1+x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000（1+x2） D．y＝5000（1+2x）
29．加工爆米花时，爆开且不糊的粒 ( http: / / www.21cnjy.com )数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（ ）
A．3min B．3.75min C．5min D．7.5min
30．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
31．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______．
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32．某商场经营一种小商品，已知购进时单价是 ( http: / / www.21cnjy.com )20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为280件．而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，当月销售利润最大时，销售单价为___________元．
33．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行______米才能停下来．
34．某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离是_____米．
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35．如图，若被击打的小球 ( http: / / www.21cnjy.com )的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系为h＝35t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用时间为_____s．
三、解答题
36．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
（2）在（1）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
37．某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价）（元），每天的销售量为（瓶）．
（1）求每天的销售量（瓶）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
38．某商店销售一种成本价为10元/件产品，已知售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的售价不高于16元/件.根据市场调查发现，该产品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示.
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（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果商店每天获利104元，那么销售单价定为多少元？
（3）设商店每天销售这种产品可获利元，当销售价定为多少时，每天销售的利润最大？最大利润是多少？
39．2021年，科技创新工作将继续推 ( http: / / www.21cnjy.com )进“科技扶贫在线”平台的建设，让科技创新与网络销售的“新”与“快”紧密结合，使产品随时直连市场．某乡镇企业计划在一个月内（按30天计）生产一批产品，某网络销售平台以每台800元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，由于生产技术不断改
进，该产品第天的生产成本（元/台）与（天）之间的关系如图所示．
第天该产品的生产量（台）与（天）满足关系式．
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（1）求第30天该乡镇企业生产该产品的利润；
（2）问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元
40．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，规定销售价不低于成本价，且不高于35元，市场调查发现，该产品每天的销售量（件）与销售价（元/件）满足一次函数关系，如图所示．
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（1）求与之间的函数关系式；
（2）若经销商想要每天获得550元的利润，销售价应该定为多少？
（3）设每天的销售利润为（元），当销售价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
41．在“新冠”疫情期间， ( http: / / www.21cnjy.com )全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件） 12 13 14 15 16
y（件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件，试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？
42．如图，在平面直角坐标系中．抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点A的坐标为（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣3．且经过A、C两点的直线为y＝kx+4．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）若将抛物线L沿x轴翻折，得到新抛物线L′，抛物线L′上是否存在一点P使得SAOP＝SABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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43．如图，船位于船正东处．现在，两船同时出发，船以的速度朝正北方向行驶，船以的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？
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44．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为（秒）时该足球距离地面的高度（米）适用公式．
（1）经过多少时间足球能到达最大高度，最大高度是几米？
（2）若存在两个不相等的实数，能使足球距离地面的高度都为（米），求的取值范围．
45．某商店以每件30元的价格购进一批商品 ( http: / / www.21cnjy.com )，现以单价50元销售，每月可售出400件，经市场调查发现：每件商品销售单价每上涨1元，该商品平均每月的销售量就减少10件．设每件商品销售单价上涨了x元．
（1）若销售单价上涨了3元，则该商品每月销售量为______件；
（2）写出每月销售该商品的利润y（元）与每件商品销售单价上涨x（元）之间的函数关系式；
（3）当销售单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
46．某公司销售一种商品，成本为 ( http: / / www.21cnjy.com )每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元） 40 60 80
日销售量y（件） 80 60 40
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，设日利润为w元，求公司销售该商品获得的最大日利润；2-1-c-n-j-y
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超 ( http: / / www.21cnjy.com )过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
47．为深入贯彻落实“四不摘”政策 ( http: / / www.21cnjy.com )，切实把服务人民群众的宗旨落到实处，某县引导某易地移民搬迁安置点开办惠民生活超市，方便安置点群众生活．该超市以160元/千克的进价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售单价w（元/千克）与销售量x（千克）之间的函数关系如图所示，设利润为y（元）．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）当商店的销售量x为多少千克时，获得的利润最大？最大利润是多少元？
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48．红星公司加大技术创新，研发出一种新产品，对新产品的生产和销售进行了规划．从2021年1月开始生产并销售该种产品，该种产品的生产成本为6万元/件，设第x（，且x为整数）月份该种产品的售价为y万元/件，y与x之间的函数关系如图所示．
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（1）直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）第x月份生产并销售的产品数量为z件，（，且x为整数）．该公司在第几月份所获的月利润最大？最大月利润为多少万元？
49．今年是扶贫攻坚的决胜年，某银行特批90万元无息贷款帮助一扶贫车间生产并销售一种土特产，已知该土特产的生产加工成本为40元/袋，每月还需支付其它费用共30万元，该土特产每月的销售量y（万袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数关系为y＝﹣x+5．假设该土特产每月的产量＝销售量．
（1）求每月销售利润w（万元）与销售单价x之间的函数关系式（不要求写x的取值范围）；
（2）若该车间只用销售这种土特产的利润偿还贷款，至少需要几个月能还清？
50．某药店购进一批消毒液，进价为20元/瓶，要求利润率不低于，且不高于．该店通过分析销售情况，发现该消毒液一天的销售量y（瓶）与当天的售价x（元/瓶）满足下表所示的一次函数关系．
售价x（元/瓶） … 24 25 26 27 …
销售量y（瓶） … 32 30 28 26 …
（1）若某天这种消毒液的售价为30元/瓶，求当天该消毒液的销售量．
（2）如果某天销售这种消毒液获利192元，那么当天该消毒液的售价为多少元？
（3）若客户在购买消毒液时，会购买 ( http: / / www.21cnjy.com )相同数量（包）的口罩，且每包口罩的利润为20元，则当消毒液的售价定为多少时，可获得的日利润最大？最大日利润是多少元？
51．小明和小丽先后从地出发沿同一直道去地．设小丽出发第时，小丽、小明离地的距离分别为、．与之间的函数表达式是与之间的函数表达式是．
（1）小丽出发时，小明离地的距离为多少．
（2）小丽出发至小明到达地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
52．美丽的励志我的家，为创建文明城市美化校 ( http: / / www.21cnjy.com )园，我校生物课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
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（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x的值．
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，则垂直于墙的一边长为多少米时这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．
53．如图，某学生推铅球，铅球出手(点A处)的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线运行，量得铅球落地点C与学生的水平距离OC=．
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（1）求抛物线的解析式(注明x的取值范围)；
（2）铅球运行中，最高是多少米？此时铅球与学生水平距离是多少米？
54．如图，正方形的边长为，，分别是，边上一动点，点，同时从点出发，以每秒的速度分别向点，运动，当点与点重合时，运动停止，设运动时间为，运动过程中的面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
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55．如图，要利用一面墙（墙长为）建羊圈，用的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边长为，总面积为．
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（1）在不浪费围栏的情况下，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）请问能否围成总面积为的羊圈，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
56．足球运动员将足球沿与地面成一 ( http: / / www.21cnjy.com )定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）满足：h＝﹣5t2+20t（0≤t≤4）的关系．
（1）当t＝3时，求足球距离地面的高度；
（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t的值；
（3）若存在实数t1和t2（t1≠t2），当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都是m（米），求m的范围．
57．某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的总成本（万元）与产品数量（件）之间具有函数关系，城生产产品的每件成本为70万．当，两城生产这批产品的总成本的和最少时，求：
（1），两城各生产多少件？
（2）从城把该产品运往，两地的费用分别为万元/件和3万元/件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元/件和2万元/件，地需要90件，地需要10件，求，两城总运费之和的最小值（用含有的式子表示）．
58．如图，从某建筑物2.25米高的窗口处用向外抛出篮球，篮球的运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，离地面3米．
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（1）求抛物线的表达式．
（2）求篮球落地点离墙的距离的长度．
（3）当从处向外抛出篮球时，若存在篮球离墙的距离，当或时，篮球距离地面的高度都为（米），求的取值范围．
59．学校打算用16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边利用墙，如图所示，墙长为9m．
（1）若生物园的面积是30m2，求生物园一边AB的长；
（2）若要使围成的长方形生物园面积最大，问如何设计该生物园的长和宽？
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60．某商品的进价为每台20元，当售 ( http: / / www.21cnjy.com )价为每台30元时，每月可卖出180台，该商品每台售价x元与月销量y台的函数关系如图所示，已知该商场计划涨价销售，但每件售价不高于35元．
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（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得的利润最大？最大利润是多少？
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22.3 实际问题与二次函数
【基础训练】
一、单选题
1．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度与水流时间之间的解析式为，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出解析中h＝0时t的值即可得．
【详解】
在h＝30t 5t2中，令h＝0可得30t 5t2＝0，
解得：t＝0或t＝6，
所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6s，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确解析式中水流落到地面所对应的函数值为0．
2．烟花厂某种礼炮的升空高 ( http: / / www.21cnjy.com )度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．10s
【答案】C
【分析】
将h关于t的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论．
【详解】
解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51，
∴当t＝5时，礼炮升到最高点．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的 ( http: / / www.21cnjy.com )关键是将二次函数的关系式变形为顶点式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可．
3．某市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则企业停产的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
【答案】D
【分析】
求出时n的所有的整数值即可得．
【详解】
由题意，，且n为整数
企业停产时，利润
令得
解得或
结合得，当或时，企业利润
因n为整数
则企业停产的月份为1月、2月和12月
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，正确列出所求的式子是解题关键．
4．向空中发射一枚炮弹，经过秒后的高度为米，且时间与高度的关系为（），若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
【答案】B
【分析】
本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时的值．
【详解】
解：∵此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是：， ∴炮弹所在高度最高时： 时间是第10秒．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．
5．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．12 B．18 C．20 D．24
【答案】B
【分析】
设AC=x，BC=12-x，根据题意表示出四边形的面积，再利用二次函数的性质解答即可．
【详解】
解：设AC=x，BC=12-x，
则四边形ABCD的面积的面积为：
．
所以，当x=6时，四边形ABCD的面积最大，为18．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图象，根据题意用含x的代数式表示出四边形ABCD的面积是解此题的基础，掌握二次函数的图象是解此题的关键．
6．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G同时从点A出发，分别以每秒个单位的速度在射线AB，AC上运动，设运动时间为x秒，以点A为顶点的正方形AEFG与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
分0＜x≤4、4＜x≤8、x＞8三个时间段求出函数解析式即可确定其图象.
【详解】
解：①当0＜x≤4时，y=x2，
②当4＜x≤8时，y=×4×4-2××（4-x）2=x2+4x-8，
③当x＞8时，y=8，
故选：B．
【点睛】
本题考查了动点问题中有关图形面积的函数图象，灵活的表示出图形的面积与动点运动时间的函数关系是解题的关键.
7．已知某种礼炮的升空高度h(m)与飞行 ( http: / / www.21cnjy.com )时间t(s)的关系式是h=﹣(t﹣4)2+20．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为( )
A．3s B．4s C．5s D．6s
【答案】B
【分析】
根据顶点式就可以直接求出结论；
【详解】
解：∵﹣1＜0，
∴当t=4s时，函数有最大值．
即礼炮从升空到引爆需要的时间为4s，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键.
8．如图，点为平行四边形的边上一动点，过点作直线垂直于，且直线与平行四边形的另一边交于点．当点从匀速运动时，设点的运动时间为，的面积为，能大致反映与函数关系的图象是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【解析】
【分析】
当点N在AD上时，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N在DC上时，MN长度不变，可得后半段函数图象为一条线段．
【详解】
设∠A＝，点M运动的速度为a，则AM＝at，
当点N在AD上时，MN＝tan×AM＝tan at，
此时S＝×at×tan at＝tan×a2t2，
∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，
当点N在DC上时，MN长度不变，
此时S＝×at×MN＝a×MN×t，
∴后半段函数图象为一条线段，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图象，用图 ( http: / / www.21cnjy.com )象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
9．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为：y(x﹣25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )m．
A．12 B．25 C．13 D．14
【答案】A
【分析】
直接根据二次函数的图象及性质即可得出答案．
【详解】
解：∵y(x﹣25)2+12，
顶点坐标为(25，12)，
∵0，
∴当x＝25时，y有最大值，最大值为12．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2m B．4m C．m D．m
【答案】D
【分析】
根据长方形的长OA是12m，宽OC是4m，可得顶点的横坐标和点C的坐标，即可求出抛物线解析式，再把y＝8代入解析式即可得结论．
【详解】
根据题意，得
OA=12，OC=4．
所以抛物线的顶点横坐标为6，
即﹣==6，∴b=2．
∵C（0，4），∴c=4，
所以抛物线解析式为：
y=﹣x2+2x+4
=﹣（x﹣6）2+10
当y=8时，
8=﹣（x﹣6）2+10，
解得：x1=6+2，x2=6﹣2．
则x1﹣x2=4．
所以两排灯的水平距离最小是4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．
11．如图，抛物线交x轴的负半轴于点A，点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点A 恰好落在抛物线上．过点A 作x轴的平行线交抛物线于另一点C，则点A 的纵坐标为（）
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A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【分析】
先求出点A坐标，利用对称可得点横坐标，代入可得纵坐标.
【详解】
解：令得，即
解得
点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点A 恰好落在抛物线上
点的横坐标为1
当时，
所以点A 的纵坐标为2.
故选：B
【点睛】
本题考查了二次函数的图像，熟练利用函数解析式求点的坐标是解题的关键.
12．如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点,同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒，设、同时出发秒时，的面积为.已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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图（1） 图（2）
A． B．当是等边三角形时，秒
C．当时，秒 D．当的面积为时，的值是或秒
【答案】D
【分析】
先根据图象信息求出AB、BE、BE、AE、ED，
A、直接求出比，
B、先判断出∠EBC≠60° ( http: / / www.21cnjy.com )，从而得出点P可能在ED上时，△PBQ是等边三角形，但必须是AD的中点，而AE＞ED，所以点P不可能到AD中点的位置，故△PBQ不可能是等边三角形；
C、利用相似三角形性质列出方程解决，分两种情况讨论计算即可，
D、分点P在BE上和点P在CD上两种情况计算即可．
【详解】
由图象可知，AD＝BC＝BE＝5，CD＝AB＝4，AE＝3，DE＝2，
A、∴AB：AD＝5：4，故A错误，
B、∵tan∠ABE＝，
∴∠ABE≠30°
∴∠PBQ≠60°，
∴点P在ED时，有可能△PBQ是等边三角形，
∵BE＝BC，
∴点P到点E时，点Q到点C，
∴点P在线段AD中点时，有可能△PBQ是等边三角形，
∵AE＞DE，
∴点P不可能到AD的中点，
∴△PBQ不可能是等边三角形，故B错误，
C、∵△ABE∽△QBP，
∴点E只有在CD上，且满足，
∴，
∴CP＝．
∴t＝（BE＋ED＋DQ）÷1＝5＋2＋（4 ）＝．
故C错误，
D、①如图（1）
( http: / / www.21cnjy.com / )
在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝5
sin∠AEB＝，
∴sin∠CBE＝
∵BP＝t，
∴PG＝BPsin∠CBE＝t，
∴S△BPQ＝BQ×PG＝×t×t＝t2＝4，
∴t＝ （舍）或t＝，
②当点P在CD上时，
S△BPQ＝×BC×PC＝×5×（5＋2＋4 t）＝×（11 t）＝4，
∴t＝，
∴当△BPQ的面积为4cm2时，t的值是或秒，故D正确，
故选：D．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查动 ( http: / / www.21cnjy.com )点问题的函数图象、矩形的性质、三角形的面积公式等知识．解题的关键是读懂图象信息求出相应的线段，学会转化的思想，把问题转化为方程的思想解决，属于中考常考题型．．21世纪教育网版权所有
13．某城市2006年底已有绿化面积300 ( http: / / www.21cnjy.com )公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，关于代数式300（1+x）2下列说法正确的是（ ）
A．2007年已有的绿化面积 B．2008年增加的绿化面积
C．2008年已有的绿化面积 D．2007、2008年共增加的绿化面积
【答案】C
【分析】
利用“增长后的量=增长前的量（1+增长率）”，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，写出代数式的实际意义即可.
【详解】
2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，代数式表示增长两年后的绿化面积，即：2008年已有的绿化面积
故选：C.
【点睛】
本题考查了代数式的意义问题，根据题意正确列出代数式是解题关键.
14．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y＝6t﹣t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是（ ）s．
A．10 B．20 C．30 D．10或30
【答案】A
【分析】
由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围，然后解方程即可得到结论．
【详解】
解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当y＝600﹣150＝450时，
即60t﹣t2＝450，
解得：t＝10，t＝30（不合题意舍去），
∴滑行最后的150m所用的时间是20﹣10＝10，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数与一元二次方程综合运用,关键在于解一元二次方程.
15．已知正方形ABCD的边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，沿BC，CD边以2cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），△BPQ的面积为y（cm2），则y与x之间的函数图象大致是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
根据题意，Q点分别在BC、CD上运动时，形成不同的三角形，分别用x表示即可.
【详解】
（1）当0≤x≤2时，
BQ＝2x
( http: / / www.21cnjy.com / )
当2≤x≤4时，如下图
( http: / / www.21cnjy.com / )
由上可知
故选：B.
【点睛】
本题是双动点问题，解答时要注意讨论动点在临界两侧时形成的不同图形，并要根据图形列出函数关系式.
16．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度（米）与旋转时间（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画. 经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
/分 … 2. 66 3. 23 3. 46 …
/米 … 69. 16 69. 62 68. 46 …
A．8分 B．7分 C．6分 D．5分
【答案】C
【分析】
利用二次函数的性质，由题意可得最值在自变量大于2.66小于3.23之间，由此即可找到答案．
【详解】
解：由题意得，最值在自变量大于2.66小于3.23之间，
所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．
故选：C．21·世纪*教育网
【点睛】
本题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．
17．二次函数图像的顶点坐标为( )
A．(0，-2) B．(-2，0) C．(0，2) D．(2，0)
【答案】A
【分析】
根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标即对称轴．
【详解】
解：抛物线y=x2-2是顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
顶点坐标为（0，-2），
故选A．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为，对称轴为x=h．
18．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【分析】
由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项．
【详解】
解：由题意得：
，整理得：，
，
∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；
故选A．
【点睛】
本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键．
19．为了减少空气污染，国家 ( http: / / www.21cnjy.com )要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
【答案】D
【分析】
根据题意可知没有盈利时，利润为0和小于0的月份都不合适，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵y=-n2+14n-24=-（n-2）（n-12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y=0时，n=2或n=12，
当y＜0时，n=1，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
20．某旅行社组团去外地旅游，3 ( http: / / www.21cnjy.com )0人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（ ）人
A．56 B．55 C．54 D．53
【答案】B
【分析】
设旅行团人数为人，此时的营业额为元，根据优惠规定可建立与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质即可得．
【详解】
解：设旅行团人数为人，此时的营业额为元，则，
由题意得：，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，
即若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为55人，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．
21．如图，在矩形中，，点E，F分别是，上的点，且满足．分别以，为边向矩形内部构造正方形和正方形，记阴影部分的面积为S，则S的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．9 B．10.5 C．12 D．15
【答案】A
【分析】
设AE=CF=x，根据题意表示出阴影部分的面积，再利用二次函数的性质求出最值．
【详解】
解：设AE=CF=x，
∵四边形AEMH和四边形CFNG是正方形，
∴BE=DG=5-x，BF=DH=7-x，NP=MQ=2x-5，NQ=2x-7，
则阴影部分的面积S=
=
∵0＜x≤5，
∴当x=4时，S最小，且为9．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是得出图形中的线段长度，表示出阴影部分的面积
22．如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先求得点M的坐标，然后根据点M在矩形内部或其边上列出不等式求解即可．
【详解】
解：抛物线的顶点坐标M为（m，-m＋1），
∵，，
∴，
∴-1≤m≤0，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数与实际问题，解题的关键是熟知抛物线的性质．
23．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．米 B．8米 C．10米 D．2米
【答案】B
【分析】
小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线，与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可．
【详解】
解：当y＝0时，即＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
24．如果矩形的周长是16，则该矩形面积的最大值为（ ）
A．8 B．15 C．16 D．64
【答案】C
【分析】
首先根据矩形周长为16，设一条边长x，矩形面积为y，可表示出另一边长为8-x，再根据矩形面积=长×宽列出函数解析式并配方即可得结论．
【详解】
解：∵矩形周长为16，
∴设一条边长x，矩形面积为y，则另一边长为8-x，
∴y=（8-x）x=-x2+8x=-（x-4）2+16，
∴当x=4时，y有最大值是16．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是掌握矩形的面积公式=长×宽．
25．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
【答案】B
【分析】
先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值，即可得出结论．
【详解】
解：∵此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：，
∴则在四个选项所列的时间中，炮弹所在高度最高的是第10秒．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是解题的关键．
26．某新型礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在点火升空到最高点时引爆，则从点火到引爆需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
函数最高处引爆，则该点为抛物线的顶点，即可求解．
【详解】
解：．
函数的对称轴为：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，主要考查函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
27．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高 ( http: / / www.21cnjy.com )度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
【答案】A
【分析】
由图象可知，点（0，0），（6 ( http: / / www.21cnjy.com )，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可．
【详解】
解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），
设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，
将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，
解得：a＝，
∴h＝（t﹣3）2+40．
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；
③令h＝20，则20＝（t﹣3）2+40，
解得t＝3±，故③错误；
④令t＝2，则h＝（2﹣3）2+40＝m，故④错误．
综上，正确的有①②．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
28．今年由于受新型冠状病毒的 ( http: / / www.21cnjy.com )影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5000枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是（ ）
A．y＝5000（1+x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000（1+x2） D．y＝5000（1+2x）
【答案】B
【分析】
月平均增长率为x，可求三月份销售量5000（1+x）2，该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是：y＝5000（1+x）2．
【详解】
解：月平均增长率为x，
二月份销售量＝5000+5000x=5000(1+x),
三月份销售量5000(1+x)+ 5000(1+x)x=5000（1+x）2，
该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是：y＝5000（1+x）2．
故选择：B．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，掌握增长率问题中增加量=平均增长率×原销售量，抓住公式列函数式是解题关键．
29．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比 ( http: / / www.21cnjy.com )称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（ ）21教育名师原创作品
A．3min B．3.75min C．5min D．7.5min
【答案】B
【分析】
根据二次函数的性质即可求解．
【详解】
解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x＝﹣ ＝3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求最值问题是解题的关键．
30．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据增长率问题，一般“增长后的量增长前的量（1+增长率）”找出等量关系列方程即可
【详解】
第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，
第三个月的增长率为
第一个月投放辆单车，
第二个月投放辆
第三个月投放量
故选：A．
【点睛】
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题关键是熟练掌握增长率问题的求解，即“增长后的量增长前的量（1+增长率）”．
二、填空题
31．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】3
【分析】
把二次函数化为顶点式，进而即可求解．
【详解】
解：∵，
∴当x=1时，，
故答案是：3．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键．
32．某商场经营一种小商品，已知购进时单价 ( http: / / www.21cnjy.com )是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为280件．而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，当月销售利润最大时，销售单价为___________元．
【答案】39
【分析】
设销售单价为x元时，销售 ( http: / / www.21cnjy.com )利润最大，单价利润为x-20元，销售数量为280-（x-30） 10，根据公式利润=（售价-进价）×销售数量．通过配方可求利润最大值．
【详解】
解：设销售单价为x元时，销售利润最大，
单价利润为（x-20）元，
销售数量为280-（x-30） 10，
∴利润总额为y=（x-20） [280-（x-30） 10]，
化简得：y=-10x2+780x-11600，
配方得：y=-10(x-39)2+3610，
当单价为39元时，有最大利润3610元，
故答案为：39．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解本题的关键首先求列出函数关系式，再将方程配方，即可求最大值．
33．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行______米才能停下来．
【答案】600
【分析】
由题意可把函数解析式是化为顶点式，然后问题可求解．
【详解】
解：由函数解析式是可化为，
∴当t=20时，滑行距离s最大，最大距离为600，
∴飞机着陆后滑行600米才能停下来；
故答案为600．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
34．某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离是_____米．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】3
【分析】
以地面，墙面所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令，即可解答．
【详解】
解：地面，墙面所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设抛物线解析式：，
把点代入抛物线解析式得：
，
抛物线解析式：．
当时，（舍去），．
m．
故答案为3．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，在平面直角坐标系中求抛物线解析式，解决实际问题．
35．如图，若被击打的小球的飞行高度h（ ( http: / / www.21cnjy.com )单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系为h＝35t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用时间为_____s．
【答案】7
【分析】
根据关系式，令h＝0，求得t的值可得飞行的时间．
【详解】
解：依题意，令h＝0得0＝35t﹣5t2，即t（35﹣5t）＝0，
解得：t＝0（舍去）或t＝7，
即小球从飞出到落地所用的时间为7s．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．
三、解答题
36．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
（2）在（1）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】（1）要使商场每月销售 ( http: / / www.21cnjy.com )这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元；（2）每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．
【详解】
【分析】（1）设每件商品应降价x元，由每件利润×销售数量＝每天获得的利润列出关于x的方程，解之可得答案；
（2）设每件商品应降价y元，获得 ( http: / / www.21cnjy.com )利润为w，根据每件利润×销售数量＝每天获得的利润列出w关于y的函数解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设每天要想获得510元的利润，则每件商品应降价x元，
由题意，得（40﹣30﹣x）（4×+48）＝510，
解得：x1＝1.5，x2＝2.5，
∵要有利于减少库存，
∴x＝2.5，
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元；
（2）设每件商品应降价y元，获得利润为w元，
由题意得，
w＝（40﹣30﹣y）（4×+48）
＝﹣8y2+32y+480
＝﹣8（y﹣2）2+512，
当y＝2时，w有最大值512，此时售价为40﹣2＝38，
答：每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．
37．某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价）（元），每天的销售量为（瓶）．
（1）求每天的销售量（瓶）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）（）；（2）当销售单价为19元时，每天的销售利润最大为360元
【分析】
（1）根据题意即可直接列出关于x、y的等式，整理即可得出每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）设每天的销售利润为元，根据利润=销量×（售价-成本）即可列出关于w与x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可解答．
【详解】
解：（1）由题意得：，
∴．
（2）设每天的销售利润为元，则有
，
∵，
∴二次函数图象开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为360元．
故当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元．
【点睛】
本题考查一次函数与二次函数的实际应用．根据题意找出等量关系列出等式是解答本题的关键．
38．某商店销售一种成本价为10元/件产品，已知售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的售价不高于16元/件.根据市场调查发现，该产品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果商店每天获利104元，那么销售单价定为多少元？
（3）设商店每天销售这种产品可获利元，当销售价定为多少时，每天销售的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）（）；（2）销售单价定为14元；（3）销售价定为16元时，每天销售的利润最大，最大利润是144元
【分析】
（1）根据待定系数法即可求出解析式；
（2）根据题意列出一元二次方程，故可求解；
（3）根据题意得，根据二次函数的图象与性质即可求出最大利润．
【详解】
解：（1）依图象可知是的一次函数，可设
依题意得，解得：
∴（）
（2）依题意得
整理得：，解得：，
∵∴不合题意，舍去，取
答：销售单价定为14元.
（3）
∵，∴有最大值当时，随的增大而增大
∵∴当时，最大
（元）
答：销售价定为16元时，每天销售的利润最大，最大利润是144元．
【点睛】
此题主要考查方程与函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图象与性质，根据题意找到数量关系列出方程与函数求解．
39．2021年，科技创 ( http: / / www.21cnjy.com )新工作将继续推进“科技扶贫在线”平台的建设，让科技创新与网络销售的“新”与“快”紧密结合，使产品随时直连市场．某乡镇企业计划在一个月内（按30天计）生产一批产品，某网络销售平台以每台800元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，由于生产技术不断改
进，该产品第天的生产成本（元/台）与（天）之间的关系如图所示．
第天该产品的生产量（台）与（天）满足关系式．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求第30天该乡镇企业生产该产品的利润；
（2）问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元
【答案】（1）第30天该乡镇企业生产该产品的利润为6000元；（2）第15天的利润最大，最大利润为12500元
【详解】
解：（1）由图象可知，第30天时的成本为500元，
此时的产量为（台），
则第30天的利润为：（元）．
答：第30天该乡镇企业生产该产品的利润为6000元．．．．2分
（2）设线段的式为，
把，代入得，
，解得．
线段的解析式为．
设第天该网络销售平台的利润为元．
①当时，
．
，开口向下，对称轴为直线，
当时，．
②当时，
．
，
随的增大而减小．
当时，．
．
．
答：第15天的利润最大，最大利润为12500元．
40．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，规定销售价不低于成本价，且不高于35元，市场调查发现，该产品每天的销售量（件）与销售价（元/件）满足一次函数关系，如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若经销商想要每天获得550元的利润，销售价应该定为多少？
（3）设每天的销售利润为（元），当销售价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）15元/件；（3）销售价为35元/件时，每天获得的利润最大，最大利润1750元
【分析】
（1）由图可知，一次函数的图象经过（20，100）和（30，80）两点，利用待定系数法可求得k、b的值；
（2）利用“（售价-进价）×销售数量=销售利润”可以解决售价问题；
（3）探究W与x之间的函数关系，利用函数解决W的最值问题即可．
【详解】
解：（1）设．
∵图象经过（20，100）和（30，80）两点，
∴，解得，．
∴．
（2）由题意得，．
解得，．
∵，
∴（不合题意，舍去）．
∴若想要每天获得550元的利润，销售价应该定为15元/件．
（3）．
∴W是关于x的二次函数．
∵，抛物线开口向下，
∴当x<40时，y随x的增大而增大．
又∵，
∴当时，=1750．
∴当销售价为35元/件时，每天获得的利润最大，最大利润1750元．
【点睛】
本题考查用待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质和应用等知识点．熟知待定系数法的流程是基础，掌握二次函数的性质是求最值的关键．
41．在“新冠”疫情期间，全国人民“ ( http: / / www.21cnjy.com )众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件） 12 13 14 15 16
y（件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件，试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？
【答案】（1）y＝﹣100x+2400；（2）当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大．
【分析】
（1）设y＝kx+b（k≠0），然后由表格可进行求解；
（2）设线上和线下月利润总和为W元，则由题意易得W＝﹣100（x﹣19）2+7300，进而问题可求解．
【详解】
解：（1）∵y与x满足一次函数的关系，
∴设y＝kx+b（k≠0），
将x＝12，y＝1200；x＝13，y＝1100代入得：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400；
（2）设线上和线下月利润总和为W元，
则W＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）
＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∴当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
42．如图，在平面直角坐标系中．抛物线L：y ( http: / / www.21cnjy.com )＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点A的坐标为（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣3．且经过A、C两点的直线为y＝kx+4．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）若将抛物线L沿x轴翻折，得到新抛物线L′，抛物线L′上是否存在一点P使得SAOP＝SABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）y＝x2+3x+4；（2）存在，点P的坐标为（﹣3，）或（﹣3，﹣）或（﹣3﹣，﹣）
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据将抛物线L沿x轴翻折，得到新抛物线L'，得到抛物线L'的表达式y＝﹣x2﹣3x﹣4，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣3x﹣4），由S△AOP＝×AO×|﹣x2﹣3x﹣4|＝×4×|﹣x2﹣3x﹣4|＝S△ABC，即可求解．
【详解】
解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝﹣4k+4，解得k＝1，
故一次函数的表达式为y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4，故点C的坐标为（0，4），
∵点A的坐标为（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，则点B的坐标为（﹣2，0），
设抛物线L的表达式为y＝a（x+2）（x+4）＝a（x2+6x+8）＝ax2+6ax+8a，
故8a＝4，解得a＝，
故抛物线的表达式为y＝x2+3x+4；
（2）存在，理由：
将抛物线L沿x轴翻折，得到新抛物线L'，则该抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣3x﹣4；
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣3x﹣4），
由点AB的坐标知，AB＝2，
则S△ABC＝×AB CO＝×2×4＝4，
则S△AOP＝×AO×|﹣x2﹣3x﹣4|＝×4×|﹣x2﹣3x﹣4|＝S△ABC＝1，
解得：x＝﹣3或﹣3+或﹣3﹣，
故点P的坐标为（﹣3，）或（﹣3，﹣）或（﹣3﹣，﹣）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算、图形的翻折等，有一定的综合性，难度适中．
43．如图，船位于船正东处．现在，两船同时出发，船以的速度朝正北方向行驶，船以的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】出发3小时后相距最近，最近距离是40km
【分析】
利用勾股定理表示出两船的距离，然后利用配方法求出两车的距离最小值即可．
【详解】
解：设时两船相距为km，则km，，
由题意可知
，
故当时，即时两船相距最近，
km，
答：两船出发3小时后相距最近，最近距离是40km．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了二次函数的应用、勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出两船之间的距离表达式，注意掌握配方法求二次函数最值得应用，难度中等．
44．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为（秒）时该足球距离地面的高度（米）适用公式．
（1）经过多少时间足球能到达最大高度，最大高度是几米？
（2）若存在两个不相等的实数，能使足球距离地面的高度都为（米），求的取值范围．
【答案】（1）2秒，20米；（2）0≤m＜20
【分析】
（1）根据抛物线的顶点式即可得；
（2）根据h的最大值即可得．
【详解】
解：（1）∵h=20t-5t2=-5（t-2）2+20，
∴t=2时，h最大，最大值为20m，
答：经过2s足球能到达最大高度，最大高度是20米；
（2）由（1）知足球的最大高度为20米，
∴0≤m＜20．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
45．某商店以每件30元的价格购进一 ( http: / / www.21cnjy.com )批商品，现以单价50元销售，每月可售出400件，经市场调查发现：每件商品销售单价每上涨1元，该商品平均每月的销售量就减少10件．设每件商品销售单价上涨了x元．
（1）若销售单价上涨了3元，则该商品每月销售量为______件；
（2）写出每月销售该商品的利润y（元）与每件商品销售单价上涨x（元）之间的函数关系式；
（3）当销售单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）370；（2）；（3）当销售单价定为60元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为9000．
【分析】
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由题意易得销售量为件，然后根据“销售利润=单个利润×销售量”可进行求解；
（3）由（2）及根据二次函数的性质可直接进行求解．
【详解】
解：（1）由题意得：
当销售单价上涨了3元，则该商品每月销售量为400-10×3=370（件）；
故答案为370；
（2）设每件商品销售单价上涨了x元，由题意得：
，
∴每月销售该商品的利润y（元）与每件商品销售单价上涨x（元）之间的函数关系式为；
（3）由（2）可得：y与x的函数关系式为，配成顶点式为：，
∴，开口向下，
∴当x=10时，y有最大值，即为，
∴销售单价定为50+10=60元；
答：当销售单价定为60元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为9000．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
46．某公司销售一种商品，成本为每件20 ( http: / / www.21cnjy.com )元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元） 40 60 80
日销售量y（件） 80 60 40
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，设日利润为w元，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过 ( http: / / www.21cnjy.com )a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【答案】（1）y＝－x＋120；（2）1600元；（3）a=70．
【分析】
（1）设函数的表达式为y＝kx＋b，利用待定系数法解题；
（2）设公司销售该商品获得的最大日利润为w元，利用总利润=单利销售量列函数关系式，化为顶点解析式，根据二次函数的增减性解题即可；
（3）当w最大＝1500时，解得x的值，再由x的取值范围分两种情况讨论①a＜80或②a≥80时，根据二次函数的增减性解题即可．
【详解】
（1）设函数的表达式为y＝kx＋b，
将（40，80）、（60，60）代入上式得：，解得
，
故y与x的关系式为y＝－x＋120；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，
则w＝（x－20）y＝（x－20）（－x＋120）＝－（x－70）2＋2500，
∵x－20≥0，－x＋120≥0，x－20≤20×100%，
∴20≤x≤40，
∵－1＜0，故抛物线开口向下，故当x＜70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40（元）时，w的最大值为1600（元），
故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；
（3）
当w最大＝1500时，＝1500，解得x1＝70，x2＝90，
∵x－2×20≥0，∴x≥40，又∵x≤a，∴40≤x≤a．
∴有两种情况，①a＜80时，即40≤x≤a，
在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，
②a≥80时，即40≤x≤a，
在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，
∴这种情况不成立，
综上所述，a＝70．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，涉及一次函数的应用、待定系数法解一次函数的解析式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
47．为深入贯彻落实“四 ( http: / / www.21cnjy.com )不摘”政策，切实把服务人民群众的宗旨落到实处，某县引导某易地移民搬迁安置点开办惠民生活超市，方便安置点群众生活．该超市以160元/千克的进价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售单价w（元/千克）与销售量x（千克）之间的函数关系如图所示，设利润为y（元）．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）当商店的销售量x为多少千克时，获得的利润最大？最大利润是多少元？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）w＝﹣2x+240；（2）80千克时，最大利润是3200元．
【分析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”列出函数解析式，配方成顶点式即可得函数取得最大值时x的值，此时对应的y值即为最大利润．
【详解】
解：（1）设w＝kx+b，由图象可将点（40，160）、（120，0）代入得：
，
解得：，
∴w＝﹣2x+240；
（2）由题意得：
y＝（x﹣40）（﹣2x+240）
＝﹣2（x﹣80）2+3200，
∴当x＝80时，利润达到最大，ymax＝3200．
答：当商店的销售量x为80千克时，获得的利润最大，最大利润是3200元．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
48．红星公司加大技术创新，研发出一种新产品，对新产品的生产和销售进行了规划．从2021年1月开始生产并销售该种产品，该种产品的生产成本为6万元/件，设第x（，且x为整数）月份该种产品的售价为y万元/件，y与x之间的函数关系如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）第x月份生产并销售的产品数量为z件，（，且x为整数）．该公司在第几月份所获的月利润最大？最大月利润为多少万元？
【答案】（1）（其中为整数）；（2）该企业在第10月份所获的月利润最大，最大月利润为98万元
【分析】
依题意：（1）通过图像可知：当时，为平行于x轴的线；当时，满足一次函数形式，即可；
（2）设第x月的月利润为w万元，分两种情况：当和当，分别求解进行比较，即可；
【详解】
由题知：（1）当时，为平行于x轴的线，∴；
当时，满足一次函数形式，设为：；
将点和代入，可得，得：，；
∴y与x的函数解析式为：；
（2）设第x月的月利润为w万元，分两种情况：
①当时，．
∵w随x的增大而增大，∴当时，（万元）．
②当时，
当时，（万元）．
综上所述，该企业在第10月份所获的月利润最大，最大月利润为98万元．
【点睛】
本题考查一次函数、二次函数的性质，关键在理解限定范围内求二次函数最大值；
49．今年是扶贫攻坚的决胜年，某银行特批90万元无息贷款帮助一扶贫车间生产并销售一种土特产，已知该土特产的生产加工成本为40元/袋，每月还需支付其它费用共30万元，该土特产每月的销售量y（万袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数关系为y＝﹣x+5．假设该土特产每月的产量＝销售量．
（1）求每月销售利润w（万元）与销售单价x之间的函数关系式（不要求写x的取值范围）；
（2）若该车间只用销售这种土特产的利润偿还贷款，至少需要几个月能还清？
【答案】（1）；（2）6个月．
【分析】
（1）根据利润=（单价-成本）销售量-其他费用写出关系式即可；
（2）根据二次函数的性质，算出每月最大利润再计算即可．
【详解】
解：（1）由题：，
；
（2）由（1），
当时，有最大值，
（万元），即每月最多还15万元，
则至少要个月才能还清．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用；理清题意，建立正确的关系式是解决本题的关键．
50．某药店购进一批消毒液，进价为20元/瓶，要求利润率不低于，且不高于．该店通过分析销售情况，发现该消毒液一天的销售量y（瓶）与当天的售价x（元/瓶）满足下表所示的一次函数关系．
售价x（元/瓶） … 24 25 26 27 …
销售量y（瓶） … 32 30 28 26 …
（1）若某天这种消毒液的售价为30元/瓶，求当天该消毒液的销售量．
（2）如果某天销售这种消毒液获利192元，那么当天该消毒液的售价为多少元？
（3）若客户在购买消毒液 ( http: / / www.21cnjy.com )时，会购买相同数量（包）的口罩，且每包口罩的利润为20元，则当消毒液的售价定为多少时，可获得的日利润最大？最大日利润是多少元？
【答案】（1）；（2）28元或32元；（3）24，768．
【分析】
（1）分别解得当利润不低于时的售价范围，当利润不超过时的售价范围，再设销售量y（瓶）与当天的售价x（元/瓶）的一次函数关系，利用待定系数法解得解析式，计算当时的函数值即可解题；
（2）设利润为元，根据利润=单利销售量，结合因式分解法解一元二次方程即可解题；
（3）将（2）中的总利润配方成顶点式解析式，再结合二次函数自变量的取值范围解题即可．
【详解】
解：（1）设消毒液售价为元/瓶，进价为元/瓶，当利润不低于时，售价不低于
（元/瓶），
当利润不超过时，售价不高于，
（元/瓶），
的取值范围为：
设一次函数表达式：
分别把和代入可得，
解得
当时，
当天该消毒液的销售量瓶．
（2）设利润为元，根据题意得，
整理得
或
答：当天该消毒液的售价为28元或32元．
（3）总利润
时，函数值最大，此时
（元）
答：当消毒液的售价定为24元时，可获得的日利润最大，最大日利润是768元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
51．小明和小丽先后从地出发沿同一直道去地．设小丽出发第时，小丽、小明离地的距离分别为、．与之间的函数表达式是与之间的函数表达式是．
（1）小丽出发时，小明离地的距离为多少．
（2）小丽出发至小明到达地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
【答案】（1）小明离A地的距离为250m；（2）小丽出发4分钟时，两人相距最近，最近距离为90m．
【分析】
（1）由题意可令，然后分别代入、的解析式进行求解即可；
（2）设两人相距sm，则根据题意可得，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】
解：（1）∵，，
∴当时，，，
∴A、B两地的距离为2250m，
∴2250-2000=250m，
答：小丽出发时，小明离A地的距离为250m
（2）设小丽出发第时，两人相距sm，由题意得：
，
∵，开口向上，
∴当时，s有最小值为90，
答：小丽出发4分钟时，两人相距最近，最近距离为90m．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
52．美丽的励志我的家，为创建文明城市美化 ( http: / / www.21cnjy.com )校园，我校生物课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x的值．
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，则垂直于墙的一边长为多少米时这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）x＝12；（2）垂直于墙的一边长为7.5米时这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5平方米；（3）．
【分析】
（1）由题意得（30﹣2x）x＝72，然后进行求解即可；
（2）设苗圃面积为ycm2，由题意可得y＝（30﹣2x）x，然后根据二次函数的最值问题可进行求解；
（3）由题意得这个苗圃园的面积不小于100平方米，即﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥100，然后由（1）可知6≤x＜15，可进行求解．
【详解】
解：（1）由题意得（30﹣2x）x＝72，
解得：x1＝3，x2＝12，
∵30﹣2x≤18，
∴x≥6，
∴x＝12；
（2）设苗圃面积为ycm2，
∴y＝（30﹣2x）x
＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
由题意得30﹣2x≥8，解得x≤11，
又30﹣2x≤18，解得x≥6；
∴6≤x≤11，
∴当x＝7.5时，y最大＝112.5；
（3）∵这个苗圃园的面积不小于100平方米，
即﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥100，
∴5≤x≤10，
由（1）可知6≤x＜15，
∴x的取值范围为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及应用是解题的关键．
53．如图，某学生推铅球，铅球出手(点A处)的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线运行，量得铅球落地点C与学生的水平距离OC=．www.21-cn-jy.com
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（1）求抛物线的解析式(注明x的取值范围)；
（2）铅球运行中，最高是多少米？此时铅球与学生水平距离是多少米？
【答案】（1）；（2）铅球运行中，最高是3米，此时铅球与学生水平距离4米
【分析】
（1）把A(0，)，C(10，0)代入待定解析式，然后进行求解即可；
（2）由（1）及二次函数的最值问题可求解．
【详解】
解：(1)把A(0，)，C(10，0)代入待定解析式，得：
，
解得：，
∴；
(2)当=4时，=3；
答：铅球运行中，最高是3米，此时铅球与学生水平距离4米．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
54．如图，正方形的边长为，，分别是，边上一动点，点，同时从点出发，以每秒的速度分别向点，运动，当点与点重合时，运动停止，设运动时间为，运动过程中的面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
△AEF的面积=正方形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )的面积-△ABE的面积-△ADF的面积-△ECF的面积，分别表示正方形ABCD的面积、△ABE的面积、△ADF的面积、△ECF的面积代入即可．
【详解】
解：设运动时间为，
点，同时从点出发，以每秒的速度分别向点，运动，
，，，，
的面积正方形的面积的面积的面积的面积，
即：
【点睛】
此题考查了函数关系式，解题关键是正确表示正方形ABCD的面积、△ABE的面积、△ADF的面积、△ECF的面积．
55．如图，要利用一面墙（墙长为）建羊圈，用的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边长为，总面积为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）在不浪费围栏的情况下，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）请问能否围成总面积为的羊圈，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）y=-3x2+30x，10＜x≤15；（2）不能，理由见解析
【分析】
（1）根据长方形的面积公式可得关系式，再根据墙长15米得到不等式，得到x的范围；
（2）根据题意列出方程，根据方程的解判断结果．
【详解】
解：（1）由题意可得：
y=x（30-3x）=-3x2+30x，
又0＜30-3x≤15，
解得：5≤x＜10；
（2）当y=81时，-3x2+30x=81，
则3x2-30x+81=0，
△=302-4×3×81=-72＜0，
则方程无解，
∴不能围成总面积为81m2的羊圈．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用能力及一元二次方程的应用的知识，根据题意找到长方形的长BC是解题的关键．
56．足球运动员将足球沿与地面成一定角 ( http: / / www.21cnjy.com )度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）满足：h＝﹣5t2+20t（0≤t≤4）的关系．2·1·c·n·j·y
（1）当t＝3时，求足球距离地面的高度；
（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t的值；
（3）若存在实数t1和t2（t1≠t2），当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都是m（米），求m的范围．
【答案】（1）当t＝3时，足球距离地面的高度为15米；（2）2+或2﹣；（3）0≤m＜20．
【分析】
（1）将代入解析式计算即可；
（2）根据可得关于t的一元二次方程，解方程即可；
（3）由题意可以方程的两个不相等的实数根，由根的判别式即可求得m的取值范围.
【详解】
解：（1）当时，（米）,
∴当时，足球距离地面的高度为15米；
（2）∵，
∴，即，
解得：或 ，
故经过或时，足球距离地面的高度为10米；
（3）∵，由题意得t1，t2是方程 的两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故m的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式，根据题意得到相应的方程将实际问题转化为方程问题是解题的关键.
57．某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的总成本（万元）与产品数量（件）之间具有函数关系，城生产产品的每件成本为70万．当，两城生产这批产品的总成本的和最少时，求：
（1），两城各生产多少件？
（2）从城把该产品运往，两地的费用分别为万元/件和3万元/件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元/件和2万元/件，地需要90件，地需要10件，求，两城总运费之和的最小值（用含有的式子表示）．
【答案】（1）城生产20件，城生产80件；（2）当时，，两城总运费之和的最小值为万元；当时，，两城总运费的和的最小值为万元．
【分析】
（1）设，两城生产这批产品的总成本的和为，则根据题意得，然后由二次函数的性质可求解W的最小值，进而问题可求解；
（2）设从城运往地的产品数量为件，，两城总运费的和为，则从城运往地的产品数量为件，从城运往地的产品数量为件，从城运往地的产品数量为件，由题意得，然后可得，进而根据一次函数的性质分①当时，在内，②当时，在内，最后分类求解即可．
【详解】
解：（1）设，两城生产这批产品的总成本的和为，
则，
由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为6600万元，
此时，
答：城生产20件，城生产80件．
（2）设从城运往地的产品数量为件，，两城总运费的和为，则从城运往地的产品数量为件，从城运往地的产品数量为件，从城运往地的产品数量为件，
由题意得：，解得，
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当时，在内，随的增大而减小，则时，取得最小值，最小值为；
②当时，在内，随的增大而增大，则时，取得最小值，最小值为；
答：当时，，两城总运费之和的最小值为万元；当时，，两城总运费的和的最小值为万元．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
58．如图，从某建筑物2.25米高的窗口处用向外抛出篮球，篮球的运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，离地面3米．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求抛物线的表达式．
（2）求篮球落地点离墙的距离的长度．
（3）当从处向外抛出篮球时，若存在篮球离墙的距离，当或时，篮球距离地面的高度都为（米），求的取值范围．
【答案】（1）；（2）OB=3米；（3）
【分析】
（1）由题意易得点，顶点，然后可设抛物线解析式为，然后代入点A求解即可；
（2）由（1）可当y=0时进行求解即可；
（3）根据二次函数的对称性可得点A的对称点坐标为，要使当或时，篮球距离地面的高度都为（米），那么是对称点，故问题可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：点，顶点，则设抛物线解析式为，
把点A代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）由（1）得：抛物线解析式为，
∴当y=0时，则有，
解得：（不符合题意，舍去）
∴OB=3米；
（3）由（1）可得抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点A关于对称轴对称的点的坐标为，
∵当或时，篮球距离地面的高度都为米，
∴，即这两个点关于对称轴对称，
∵，
∴m的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
59．学校打算用16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边利用墙，如图所示，墙长为9m．
（1）若生物园的面积是30m2，求生物园一边AB的长；
（2）若要使围成的长方形生物园面积最大，问如何设计该生物园的长和宽？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）5m；（2）当生物园的面积为最大时，该生物园的长为8m，宽为4m．
【分析】
（1）设AD=xm，则有，由题意得，然后结合墙长为9m可求解问题；
（2）设生物园的面积为，AD=xm，则有，由（1）可得：，即，进而可得，然后根据二次函数的性质可求解．
【详解】
解：（1）设AD=xm，则有，由题意可得：
，
解得：，
∵墙长为9m，
∴AB的长不超过9m，
∴，
∴AB=5m；
答：生物园一边AB的长为5m．
（2）设生物园的面积为，AD=xm，则有，由（1）可得：
，即，
∴，对称轴为直线，
∵墙长为9m，
∴且，
∴，
∴当时，S取最大值，
∴AD=4m，AB=8m，
答：当生物园的面积为最大时，该生物园的长为8m，宽为4m．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
60．某商品的进价为每台 ( http: / / www.21cnjy.com )20元，当售价为每台30元时，每月可卖出180台，该商品每台售价x元与月销量y台的函数关系如图所示，已知该商场计划涨价销售，但每件售价不高于35元．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）销售单价定为34 元时，该商场每天的销售利润最大，最大利润为1960元．
【分析】
（1）设y与x之间的函数关系式为：y=kx+b，根据函数的图像，用待定系数法可以求得一次函数的解析式，
（2）商场每天的销售利润为W，则W=每件商品的利润×月销售量，列出W与x的二次函数解析式式，可得二次函数的最值．
【详解】
解：（1）设y与x之间的函数关系式为：，由图象可得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：；
（2）设该商场每天的销售利润为W，则
，
∴当时，W的值最大，（元）.
答：销售单价定为34 元时，该商场每天的销售利润最大，最大利润为1960元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，得到月销售量是解决本题的突破点，注意结合自变量的取值求得相应的售价.
2.5 直线与圆的位置关系
【基础训练】
一、单选题
1．如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【分析】
根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵切于点
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质，结合图形认真推导即可得解．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．90°的圆周角所对的弦是直径
D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弦相等．
【答案】C
【分析】
根据切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系判断即可．
【详解】
A、经过半径的外端并且垂直于这条半径 ( http: / / www.21cnjy.com )的直线是圆的切线，故不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意；
C、90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径，故符合题意；
D、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，正确的命 ( http: / / www.21cnjy.com )题叫真命题，错误的命题叫做假命题．用到的知识点有切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切
【答案】B
【分析】
利用圆心到直线的距离和半径之间的关系即可解决．
【详解】
∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6， ，
∴直线l与⊙O相离，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．
4．如图，点E是△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为（ ）
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A．128° B．126° C．122° D．120°
【答案】C
【分析】
根据圆周角定理推论可求∠CAD=32°， ( http: / / www.21cnjy.com )再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
【详解】
在⊙O中，
∵∠CBD=32°，
∵∠CAD= ( http: / / www.21cnjy.com )32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=（180°-64°）÷2=58°，
∴∠BEC=180°-58°=122°．
故选：C．
【点睛】
考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理推论，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．
5．如图， PA，PB，D ( http: / / www.21cnjy.com )E分别切⊙O于点A，B，C，过C的切线分别交PA，PB于点E，D，若△PDE的周长为8，OP=5，则⊙O的半径为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．3 C．4 D．不能确定
【答案】B
【分析】
根据切线长定理得BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，由△PDE的周长为8得到AP=BP=4，连接AO，利用勾股定理即可求出AO，即可求解．
【详解】
连接OA．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，
∴BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，OA⊥AP．
∴△PDE的周长为2AP＝8
∴AP＝4
在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AO＝=3，
∴⊙O的半径为3．
故选B．
【点睛】
本题考查了切线长定理和勾股定理，是基础知识比较简单．
6．如图，在中，是弦，切于点，交射线于点，若，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接CO，根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得到，即可求出的度数．
【详解】
连接CO，∵
∴
∵切于点，
∴
故=
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角定理与切线的性质．
7．已知圆的半径是5cm，如果圆心到直线的距离是4cm，那么直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．内含
【答案】B
【分析】
先确定圆的半径为5cm，而圆心 ( http: / / www.21cnjy.com )到直线的距离为4cm，即圆心O到直线的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点．
【详解】
∵圆的半径为5cm，
∵圆心到直线的距离为4cm，
∴圆心到直线的距离＜圆的半径，
∴直线与圆相交，
故选：B．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的 ( http: / / www.21cnjy.com )半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d=r；当直线l和⊙O相离 d＞r．
8．如图，已知正方形ABCD的边 ( http: / / www.21cnjy.com )长是8，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD＋PG转化为D′G找到最小值．
【详解】
取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．
由以上作图可知，BG⊥EC于G．
PD＋PG＝PD′＋PG＝D′G
由两点之间线段最短可知，此时PD＋PG最小．
∵D′C′＝8，OC′＝12
∴D′O＝
∴D′G＝
∴PD＋PG的最小值为
故选B．
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【点睛】
本题考查与圆有关的线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短．
9．如图，在⊙O中，CD为⊙O的切线，切点为C，已知∠B＝25°，那么∠D为（ ）
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A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】
连接OC，根据圆周角定理和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】
解：连接OC，
∵∠B＝25°，
∴∠COD＝2∠B＝50°，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠DCO＝90°，
∴∠D＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
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【点睛】
本题考查的知识点是圆周角定理以及三角形的内角和定理，属于基础题目，易于掌握．
10．如图，在中，是直径，点是上一点，点是弧的中点，于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交，于点．连接，关于下列结论：① ；②；③点是的外心，其中正确结论是（ ）21*cnjy*com
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A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【分析】
由于与不一定相等，根据圆周角定理可知①错误；连接OD，利用切线的性质，可得出∠GPD＝∠GDP，利用等角对等边可得出GP＝GD，可知②正确；先由垂径定理得到A为的中点，再由C为的中点，得到，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP＝∠ACP，利用等角对等边可得出AP＝CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ＝∠PQC，得出CP＝PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，可知③正确；
【详解】
∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，
∴＝≠，
∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；
连接OD，
则OD⊥GD，∠OAD＝∠ODA，
∵∠ODA＋∠GDP＝90，∠EPA＋∠EAP＝∠EAP＋∠GPD＝90，
∴∠GPD＝∠GDP；
∴GP＝GD，故②正确；
∵弦CF⊥AB于点E，
∴A为的中点，即，
又∵C为的中点，
∴，
∴，
∴∠CAP＝∠ACP，
∴AP＝CP．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACQ＝90，
∴∠PCQ＝∠PQC，
∴PC＝PQ，
∴AP＝PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
故选C．
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【点睛】
此题是圆的综合题，其中涉及到切 ( http: / / www.21cnjy.com )线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．
11．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连AC、BC，若∠P＝80°，则的∠ACB度数为（ ）
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A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】B
【分析】
先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【详解】
解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°．
故选：B．
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【点睛】
本题考查圆的切线,关键在于牢记圆切线常用辅助线:连接切点与圆心.
12．下列关于三角形的内心说法正确的是（ ）
A．内心是三角形三条角平分线的交点
B．内心是三角形三边中垂线的交点
C．内心到三角形三个顶点的距离相等
D．钝角三角形的内心在三角形外
【答案】A
【分析】
根据三角形内心定义即可得到答案.
【详解】
∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，
∴A正确，B、C、D均错误，
故选：A.
【点睛】
此题考查三角形的内心，熟记定义是解题的关键.
13．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】
设内切圆的半径为r，根据公式：，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径．
【详解】
解：设内切圆的半径为r
解得：r=1
故选D．
【点睛】
此题考查的是根据三角形的周长和面积，求内切圆的半径，掌握公式：是解决此题的关键．
14．已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线和圆的位置关系的判定方法，即圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离进行判断.
【详解】
解：∵圆心O到直线l的距离d=6，⊙O的半径R=4，
∴d>R，
∴直线和圆相离．
故选：A．
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系的判定．掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系是解答此题的关键.．
15．如图，是圆的直径，直线与圆相切于点，交圆于点，连接.若，则的度数是（ ）【出处：21教育名师】
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据切线的性质可得: ∠BAP=90°,然后根据三角形的内角和定理即可求出∠AOC,最后根据圆周角定理即可求出．2-1-c-n-j-y
【详解】
解:∵直线与圆相切
∴∠BAP=90°
∵
∴∠AOC=180°－∠BAP－∠P=48°
∴
故选B．
【点睛】
此题考查的是切线的性质和圆周角定理,掌握切线的性质和同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决此题的关键．
16．若直线与半径为5的相离，则圆心与直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直线与圆相离等价于圆心到直线的距离大于半径，据此解答即可.
【详解】
解：∵直线与半径为5的相离，
∴圆心与直线的距离满足：.
故选：B.
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关 ( http: / / www.21cnjy.com )系，属于应知应会题型，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d17．已知⊙O的半径是3，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，那么( )
A．0＜OP＜3 B．OP＝3 C．OP＞3 D．OP≥3
【答案】D
【分析】
由相切的性质可知，圆心到直线的距离d=r，而p可能是切点，也可能是其他点，因此OP≥3
【详解】
解：切点到圆心的距离等于半径，出切点外直线上任一点到圆心的距离都大于半径即大于3，所以OP≥3
故选 D
【点睛】
此题主要考查了切线的性质，熟练掌握基本性质是解题的关键.
18．如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为（ ）
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A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
【答案】C
【分析】
过O作OD⊥OA于D，求出CD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可．
【详解】
解：过O作OD⊥OA于D，
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∵∠AOB＝30°，OC＝6，
∴OD＝OC＝3＜4，
∴以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为2个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的公共点个数，会判断直线与圆的位置关系是解题的关键.
19．如图，交于点，切于点，点在上. 若，则为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据切线的性质得到∠ODA=90，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠ODA=90，
∵∠A=40，
∴∠DOA=90-40=50，
由圆周角定理得，∠BCD=∠DOA=25°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
20．如图，，点在射线上，的半径为2，当与相切时，的长度为（ ）
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A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】
设与的切点为点Q，连接OQ，根据圆的切线性质可得，，则是直角三角形，且有一角等于，根据直角三角形的性质即可得.
【详解】
设与的切点为点Q，连接OQ，OQ为半径
是直角三角形，且有一锐角
.
故答案为：B.
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【点睛】
本题考查了圆的切线性质（圆的切线垂直于过切点的半径）、直角三角形的性质（直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半），熟练运用这些性质是解题关键.
21．如图，AB是⊙O的切线，A为切点 ( http: / / www.21cnjy.com )，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接CD，AD，若∠ADC＝27°，则∠B的度数等于（ ）
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A．28° B．36° C．44° D．56°
【答案】B
【分析】
连接OA，根据切线的性质得到∠OAB=90°，再根据圆周角定理得出∠AOB＝54°，然后根据直角三角形的性质求出∠B．
【详解】
解：连接OA，
∵∠ADC＝27°，
∴∠AOB=2∠ADC=54°，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OAB=90°，
∴∠B=90°-∠AOB=36°，
故选：B
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【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握相关的知识是解题的关键．
22．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AB交⊙ O于点D，若∠ABC＝65°，则∠COD的度数是 （ ）
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A．65° B．55° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】
根据切线的性质得出AC⊥B ( http: / / www.21cnjy.com )C，求出∠ACB=90°，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠A=∠ADO=25°，根据三角形的外角性质求出即可．
【详解】
解：∵BC切⊙O于C，
∴AC⊥BC，即∠ACB=90°，
∵∠ABC=65°，
∴∠A=90°-∠ABC=25°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A=25°，
∴∠COD=∠A+∠ADO=50°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，注意：①圆的切线垂直于过切点的半径，②直角三角形的两锐角互余．
23．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙О相切，切点为B，如果∠A＝40°，那么∠C等于（ ）
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A．50° B．40° C．25° D．20°
【答案】C
【分析】
连接，如图，利用切线的性质得，再利用互余得到，然后根据圆周角定理计算 的度数．
【详解】
解：如图示，连接，
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边与相切，切点为，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
24．如图，点，，在O上，，过点作的切线交的延长线于点，则（ ）
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A．30° B．56° C．28° D．34°
【答案】D
【分析】
分别求出∠AOC和∠OCD，利用三角形内角和为180°，即可求出∠D．
【详解】
解：因为CD是的切线，
∠OCD=90°，
∵∠ABC=28°，
∴∠AOC=56°，
∴∠D=180°∠AOC∠OCD=34°，
故选D．
【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形内角和定义等内容，要求学生掌握利用圆的切线垂直于过切点的半径和一条弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半分别求出∠OCD和∠AOC，再利用三角形的内角和公式求出∠D的方法，本题较基础，思路也很明显，因此着重对学生基本功的考查．
25．如图，AD，CD为⊙O的两条弦，过点C的切线交OA延长线于点B，若∠D＝29°，则∠B的度数为（ ）
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A．22° B．26° C．29° D．32°
【答案】D
【分析】
连接OC，根据切线的性质得到△OCB为直角三角形，再根据圆周角定理，推出∠AOC=2∠D，从而求解∠B即可．
【详解】
如图所示，连接OC，
∵BC为⊙O的切线，
∴∠OCB=90°，△OCB为直角三角形，
根据圆周角定理，∠AOC=2∠D=58°，
∴∠B=90°-∠AOC=90°-58°=32°，
故选：D．
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【点睛】
本题考查切线的性质以及圆周角定理，熟记圆中的基本性质和定理是解题关键．
26．如图，已知与相切于点，的延长线交于点，连接，的半径为3，，则的长为（ ）
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A．6 B．9 C． D．
【答案】B
【分析】
由切线的性质定理，以及30°角所对的直角边等于斜边的一半可求OC，在加上OA即可．
【详解】
解：如图所示，连接OB，
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∵BC与⊙O相切于点B
∴OB⊥BC
∵⊙O的半径为3，∠C＝30°
∴OC＝6，OA＝3
∴AC＝9
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等内容，解题关键是熟知性质定理，熟练运用性质定理．
27．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
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A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【答案】D
【分析】
根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
28．如图，⊙O的弦AB＝8，M是弦AB上的动点，若OM的最小值是3，则⊙O的半径是（ ）
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A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝4，利用垂线段最短得到OH＝3，然后利用勾股定理计算出OA即可．
【详解】
解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，
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∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝×8＝4，
∵OM的最小值是3，
∴OH＝3，
在Rt△OAH中，OA＝＝＝5，
即⊙O的半径是5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
29．如图，的半径为4，切于点是直径．若于点且，则的长度为（ ）
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A． B．4 C．6 D．
【答案】D
【分析】
根据切线的性质求出∠ODE=30°，可知OF=2，勾股定理可求ED．
【详解】
解：∵切于点D，
∴∠ODC=90°，
∵，
∴∠ODE=30°
∵，OD=4，
∴EF=DF，OF=OD=2，
EF=，
,
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的性质、垂径定理、直角三角形的性质，解题关键是根据切线的性质求出30°角，再用勾股定理解决问题．
30．如图，P为O外一点，P ( http: / / www.21cnjy.com )A、PB分别切O于点A、B，CD切O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA=4，则△PCD的周长为( )
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A．5 B．7 C．8 D．10
【答案】C
【分析】
根据切线长定理求解即可
【详解】
解：∵PA、PB分别切O于点A、B，CD切O于点E，PA=4，
∴PA=PB=4，AC=CE，BD=DE，
∴△PCD的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，
故选：C．
【点睛】
本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．
二、填空题
31．如图，分别切于点D，E，F，若的周长为36，则的长是___________．
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【答案】18
【分析】
根据切线长定理得，，，即可得到，就可以求出AD的长．
【详解】
解：∵AD、AE是的切线，
∴，
同理：，，
∵，
∴．
故答案是：18．
【点睛】
本题考查切线长定理，解题的关键是熟练运用切线长定理．
32．如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为____cm．
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【答案】1.5
【分析】
根据题意可得圆与地面墙面相切，然后由切线定理可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：圆与地面墙面都相切，
由切线定理及图形可得圆的半径为1.5cm；
故答案为1.5．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，切线的性质定理，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
33．如图，与相切，切点为，交于点，点是优弧上一点，若，则的度数为_____________．
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【答案】34°
【分析】
连接OA，根据切线性质可得∠PAO=90°，根据圆周角和圆心角的关系可得∠O，继而利用互余即可求解．
【详解】
解：连接OA，如图所示：
∵PA 与 ⊙O 相切
∴∠PAO=90°，
∵∠O=2∠ABC=56°，
∴∠P=90°－56°=34°．
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故答案为：34°．
【点睛】
本题考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理．
34．圆的直径是，如果圆心与直线的距离是，那么该直线和圆的位置关系是_____．
【答案】相离
【
