2021-2022学年苏科版九年级数学下册第6章图形的相似周末练习 （word版、含解析）

初三数学《图形的相似》周末练习4
一．选择题
1．若＝＝，则的值是（　　）
A．
B．﹣
C．﹣16
D．﹣
2．如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（　　）
A．1：2
B．1：4
C．1：8
D．1：16
3．如图，直线L1∥L2∥L3，直线AC分别交，L1，L2，L3于点A，B，C，直线DF分别交，L1，L2，L3于点D，E，F．若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是（　　）
A．6
B．8
C．9
D．12
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，1），B（﹣1，2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（﹣4，2）
B．（﹣2，4）
C．（﹣4，2）或（﹣2，4）
D．（﹣2，4）或（2，﹣4）
5．如图，△ABC的两条中线CD，BE交于点O，则下列结论：①△ADE∽△ABC；②△DOE∽△COB；③＝；④；⑤＝，其中正确的个数有（　　）
A．2
个
B．3
个
C．4
个
D．5
个
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG＝，则△EFC的周长为（　　）
A．11
B．10
C．9
D．8
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的点且AD＝BD，如果CD＝kAD，那么k等于（　　）
A．
B．2
C．
D．2
8．如图，AC⊥BC，AC：BC＝3：4，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若S△ADE＝，S△BCE＝，则BC＝（　　）
A．4
B．8
C．5
D．10
二、填空题
9．如图，点P是△ABC中AB边上的一点，请你添加一个条件使△ACP∽△ABC：　
　．
10．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为　
　．
11．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，D是AB上一点且AD＝2cm，点E在边AC上，当AE＝　
　cm时，使得△ADE与△ABC相似．
12．如图，在 ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝　
　．
13．如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是　
　．
14．已知如图：CD＝3BD，AF＝FD，则AE：AC＝　
　．
15．已知点A（a，b）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B、C，交坐标轴于D、E，且AC＝3CD，连接BC．现有以下四个结论：①k＝2；②在点A运动过程中，△ABC的面积始终不变；③连接DE，则BC∥DE；④不存在点A，使得△ABC∽△OED．其中正确的结论的序号是　
　．
三、解答题
16．如图所示，已知△ADE中，∠DAE＝120°，点B、C在边DE上，△ABC是正三角形．若DB＝4，CE＝9，求△ABC的周长．
17．如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E做EF⊥ED交AB于点G、交AD延长线于点F．
（1）求证：△ECD∽△DEF；
（2）若CD＝4，求AF的长．
18．如图，小超想要测量窗外的路灯PH的高度．星期天晚上，他发现灯光透过窗户照射在房间的地板上，窗户的最高点C落在地板B处、窗户的最低点落在地板A处，小超测得窗户距地面的高度QD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得AQ＝1m，AB＝2m．请根据以上测量数据，求窗外的路灯PH的高度．
19．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F．
求证：BD CF＝CD DF．
20．探究证明：
（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN＝AM；
（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．
21．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF：S△ACD＝9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
1．若＝＝，则的值是（　　）
A．
B．﹣
C．﹣16
D．﹣
【分析】直接根据题意用同一未知数表示出各数进而化简得出答案．
【解答】解：∵＝＝，
∴设a＝2x，则b＝3x，c＝4x，
故原式＝
＝
＝﹣．
故选：B．
2．如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（　　）
A．1：2
B．1：4
C．1：8
D．1：16
【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为1：4，
∴它们的周长比是：1：4．
故选：B．
3．如图，直线L1∥L2∥L3，直线AC分别交，L1，L2，L3于点A，B，C，直线DF分别交，L1，L2，L3于点D，E，F．若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是（　　）
A．6
B．8
C．9
D．12
【分析】利用平行线分线段成比例定理，列出比例式，然后把DE＝3，EF＝6，AB＝4，代入计算即可得到结论．
【解答】解：∵L1∥L2∥L3，
∴＝，即＝，
∴BC＝8，
∴AC＝AB+BC＝12，
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，1），B（﹣1，2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（﹣4，2）
B．（﹣2，4）
C．（﹣4，2）或（﹣2，4）
D．（﹣2，4）或（2，﹣4）
【分析】直接根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行解答．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大为△OA′B′，点B（﹣1，2），
∴B′点的坐标为（﹣2，4）或（2，﹣4）．
故选：D．
5．如图，△ABC的两条中线CD，BE交于点O，则下列结论：①△ADE∽△ABC；②△DOE∽△COB；③＝；④；⑤＝，其中正确的个数有（　　）
A．2
个
B．3
个
C．4
个
D．5
个
【分析】BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，即DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，△ODE∽△OCB，△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可判断．
【解答】解：∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，即，
DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，△ADE∽△ABC，
故①②③正确；
∵△ADE∽△ABC，
∴＝，
故④不正确；
∵△DOE∽△COB，
∴，
∴故⑤正确；
故本题正确的是①②③⑤，共4个．
故选：C．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG＝，则△EFC的周长为（　　）
A．11
B．10
C．9
D．8
【分析】判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．
【解答】解：∵在 ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB∥DF，AD∥BC，
∴∠BAF＝∠F＝∠DAF，∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝6，AD＝DF＝9，
∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且CF＝CE，
∴EC＝FC＝DF﹣DC＝9﹣6＝3，＝，
在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4，
∴AG＝＝2，
∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的点且AD＝BD，如果CD＝kAD，那么k等于（　　）
A．
B．2
C．
D．2
【分析】过点C作CE⊥AB于E，由已知数据和勾股定理即可求出k的值．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴AE＝BE，
∵AD＝BD，
∴可设AD＝1，BD＝3，
∴AB＝4，
∴AE＝CE＝2，
∴DE＝1，
∴在Rt△CED中，CD＝＝，
∴CD＝AD，
∴k＝，
故选：C．
8．如图，AC⊥BC，AC：BC＝3：4，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若S△ADE＝，S△BCE＝，则BC＝（　　）
A．4
B．8
C．5
D．10
【分析】过点E作BC，AC的垂线，垂足分别为F，G，设BC＝4x，则AC＝3x，根据角平分线的性质得到EF＝EG，根据三角形的面积得到CD＝2x，根据正方形的性质得到EF＝FC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过点E作BC，AC的垂线，垂足分别为F，G，
设BC＝4x，则AC＝3x，
∵CE是∠ACB的平分线，EF⊥BC，EG⊥AC，
∴EF＝EG，
又S△BCE＝，S△ADE＝，
∴AD＝BC＝x，
∴CD＝2x，
∵四边形EFCG是正方形，
∴EF＝FC，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BDC，
∴＝，即＝，
解得，EF＝x，
则×4x×x＝，
解得，x＝2，
则BC＝4x＝8，
故选：B．
9．如图，点P是△ABC中AB边上的一点，请你添加一个条件使△ACP∽△ABC：　∠ACP＝∠B（或＝）　．
【分析】由于△ACP与△ABC有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
【解答】解：∵∠PAC＝∠CAB，
∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC；
当＝时，△ACP∽△ABC．
故答案为：∠ACP＝∠B（或＝）．
10．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为　135°　．
【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°．
故答案是：135°．
11．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，D是AB上一点且AD＝2cm，点E在边AC上，当AE＝　或1.5　cm时，使得△ADE与△ABC相似．
【分析】分两种情形利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：有两种情形：
如图，当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝（cm），
当∠ADE′＝∠C时，∵∠A＝∠A，
∴△ADE′∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AE′＝1.5（cm），
故答案为或1.5．
12．如图，在 ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝　2：3　．
【分析】由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，利用两直线平行得到两对内错角相等，进而得到三角形DEF与三角形ABF相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方求出相似比，即可求出所求之比．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴∠EDF＝∠FBA，∠DEF＝∠FAB，
∴△DEF∽△BAF，
∴S△DEF：S△ABF＝（DE）2：（AB）2＝4：25，
即DE：AB＝2：5，
∴DE：DC＝2：5，
则DE：EC＝2：3，
故答案为：2：3
13．如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是　　．
【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得，可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝12，
∵PC＝8，
∴BP＝4，
∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，
∴∠BAP＝∠CPQ，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴，
∴QC＝，
故答案为：．
14．已知如图：CD＝3BD，AF＝FD，则AE：AC＝　1：5　．
【分析】作DH∥BE，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到AE＝EH，CH＝3EH，得到答案．
【解答】解：过点D作DH∥BE交AC于H，
∵DH∥BE，
∴＝＝1，＝＝3，
∴AE＝EH，CH＝3EH，
∴AE：AC＝1：5，
故答案为：1：5．
15．已知点A（a，b）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B、C，交坐标轴于D、E，且AC＝3CD，连接BC．现有以下四个结论：①k＝2；②在点A运动过程中，△ABC的面积始终不变；③连接DE，则BC∥DE；④不存在点A，使得△ABC∽△OED．其中正确的结论的序号是　①②③　．
【分析】①正确．由反比例函数图象上点的坐标特征用函数a的代数式表示出来b，并找出点C坐标，根据AC＝3CD，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．
②正确．根据（1）得出A、C的坐标，由AB∥x轴找出B点的坐标，由此即可得出AB、AC的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论．
③正确，证明＝即可．
④错误，假设△ABC∽△OED，根据相似三角形的性质，构建方程求出a即可判断．
【解答】解：∵A（a，b），且A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴b＝，
∵AC∥y轴，且C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴C（a，）．
又∵AC＝3CD，
∴AD＝4CD，即＝4 ，
∴k＝2，故①正确．
∵A（a，），C（a，）．
∵AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为，
∵点B在反比例函数y＝的函数图象上，
∴＝，解得：x＝，
∴点B（，），
∴AB＝a﹣＝，AC＝﹣＝，
∴S＝AB AC＝ ＝，
∴在点A运动过程中，△ABC面积不变，始终等于，故②正确，
连接DE，如图所示．
∵由已知可知：∠BAC＝∠DOE＝90°，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∴BC∥DE，故③正确，
若△ABC∽△OED．
则有＝，
∴＝，
∴a＝2，
∴在点A的运动过程中，当a＝2时，△ABC∽△OED，故④错误，
故答案为①②③．
16．如图所示，已知△ADE中，∠DAE＝120°，点B、C在边DE上，△ABC是正三角形．若DB＝4，CE＝9，求△ABC的周长．
【分析】由△ABC是等边三角形得到AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°，由此得到∠ACE＝∠ABD＝120°，而∠DAE＝120°，由此再证明∠D＝∠CAE即可可以证得△ADE∽△CAE，根据相似三角形的性质AB AC＝BD CE，可求得AB，即可求得结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∵∠DAE＝120°，
∴∠DAB+∠CAE＝60°，
∵∠DAB+∠D＝∠ABC＝60°，
∴∠D＝∠CAE，
∵∠DBA＝∠ACE＝120°，
∴△ABD∽△ECA，
∴＝，
即AB AC＝BD CE，
∵BD CE＝36，
∴AB AC＝36，
∵AB＝AC，
∴AB2＝36，
∴AB＝6，
∴△ABC的周长为18．
17．如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E做EF⊥ED交AB于点G、交AD延长线于点F．
（1）求证：△ECD∽△DEF；
（2）若CD＝4，求AF的长．
【分析】（1）根据正方形的性质得出∠FED＝∠C＝90°，BC∥AD，根据平行线的性质得出∠CED＝∠FDE，再根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据正方形的性质得出∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝4，求出CE，根据勾股定理求出DE，根据相似得出比例式，代入求出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥ED，
∴∠FED＝∠C＝90°，BC∥AD，
∴∠CED＝∠FDE，
∴△ECD∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝4，
∵E为BC的中点，
∴CE＝BC＝2，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：DE＝＝＝2，
∵△ECD∽△DEF，
∴＝，
∴＝，
解得：DF＝10，
∵AD＝4，
∴AF＝DF﹣AD＝10﹣4＝6．
18．如图，小超想要测量窗外的路灯PH的高度．星期天晚上，他发现灯光透过窗户照射在房间的地板上，窗户的最高点C落在地板B处、窗户的最低点落在地板A处，小超测得窗户距地面的高度QD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得AQ＝1m，AB＝2m．请根据以上测量数据，求窗外的路灯PH的高度．
【分析】首先根据QD＝QE＝1m，可得∠QAD＝45°，然后证明PH＝PA，再证明△PBH∽△QBC，可得，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．
【解答】解：∵DQ⊥BP，
∴∠CQB＝90°，
∵QD＝1m，QA＝1m，
∴∠QAD＝45°，
∵PH⊥PB，
∴∠HAP＝45°，
∴PH＝PA，
设PH＝PA＝xm，
∵PH⊥PB，CQ⊥PB，
∴PH∥CQ，
∴△PBH∽△QBC，
∴
解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解．
答：窗外的路灯PH的高度是10m．
19．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F．
求证：BD CF＝CD DF．
【分析】根据要证明的结论分析得，需要证明△FDB∽△FCD，∵∠F＝∠F，再求得一个角相等即可，又CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，∴DE＝AE．通过外角及对顶角的性质即可求得∠FBD＝∠FDC，由如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似即可证得相似，根据相似三角形的对应边成比例求得．
【解答】证明：∵CD⊥AB，E为斜边AC的中点，
∴DE＝CE＝AE＝AC，
∴∠EDA＝∠A．
∵∠EDA＝∠FDB，
∴∠A＝∠FDB．
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠A＝∠FCD，
∴∠FDB＝∠FCD．
∵△FDB∽△FCD，
∴BD：CD＝DF：CF．
∴BD CF＝CD DF．
20．探究证明：
（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN＝AM；
（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．
【分析】（1）根据同角的余角相等判断出∠NBC＝∠MAB，进而判断出△BCN≌△ABM，即可得出结论；
（2）结论：＝．如图2中，过点B作BG∥EF交CD于G，首先证明四边形BEFG是平行四边形，推出BG＝EF，由△GBC∽△MAB，得＝，由此即可证明．
（3）如图3中，过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形．由（2）中结论可得：＝，想办法求出BS即可解决问题．
【解答】解：（1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°
∴∠NBA+∠NBC＝90°，
∵AM⊥BN，
∴∠MAB+∠NBA＝90°，
∴∠NBC＝∠MAB，
在△NBC和△MAB中，
，
∴△BCN≌△ABM，
∴BN＝AM；
（2）结论：＝．
理由：如图2中，过点B作BG∥EF交CD于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴BG＝EF，
∵EF⊥AM，
∴BG⊥AM，
∴∠GBA+∠MAB＝90°，
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠GBC+∠GBA＝90°，
∴∠MAB＝∠GBC，
∴△GBC∽△MAB，
∴＝，
∴＝．
（3）如图3中，过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABSR是矩形，
∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS，
∵AM⊥DN，
∴由（2）中结论可得：＝，
∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，
∴△ACD≌△ACB（SSS），
∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠SDC+∠RDA＝90°，
∵∠RAD+∠RDA＝90°，
∴∠RAD＝∠SDC，
∴△RAD∽△SDC，
∴＝，
设SC＝x，
∴＝，
∴RD＝2x，DS＝10﹣2x，
在Rt△CSD中，CD2＝DS2+SC2，
∴52＝（10﹣2x）2+x2，
∴x＝3或x＝5（舍弃），
∴BS＝5+x＝8，
∴＝＝＝．
21．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF：S△ACD＝9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC＝10，①当AP＝PO＝t，如图1，过P作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP＝t＝，②当AP＝AO＝t＝5，于是得到结论；
（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，已知BE＝PD，则可求△BOE的面积；可证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，从而可求五边形OECQF的面积．
（3）根据题意列方程得到t＝，t＝0，（不合题意，舍去），于是得到结论；
（4）由角平分线的性质得到DM＝DN＝，根据勾股定理得到ON＝OM＝＝，由三角形的面积公式得到OP＝5﹣t，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝10，
①当AP＝PO＝t，如图1，
过P作PM⊥AO于点M，
∴AM＝AO＝，
∵∠PMA＝∠ADC＝90°，∠PAM＝∠CAD，
∴△APM∽△ACD，
∴，
∴AP＝t＝，
②当AP＝AO＝t＝5，
∴当t为或5时，△AOP是等腰三角形；
（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH＝CD＝AB＝3cm．
由矩形的性质可知∠PDO＝∠EBO，DO＝BO，又得∠DOP＝∠BOE，
∴△DOP≌BOE（ASA），
∴BE＝PD＝8﹣t，
则S△BOE＝BE OH＝×3（8﹣t）＝12﹣t．
∵FQ∥AC，
∴△DFQ∽△DOC，相似比为＝，
∴＝
∵S△DOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝12cm2，
∴S△DFQ＝12×＝
∴S五边形OECQF＝S△DBC﹣S△BOE﹣S△DFQ＝×6×8﹣（12﹣t）﹣＝﹣t2+t+12；
∴S与t的函数关系式为S＝﹣t2+t+12；
（3）存在，
∵S△ACD＝×6×8＝24，
∴S五边形OECQF：S△ACD＝（﹣t2+t+12）：24＝9：16，
解得t＝3，或t＝，
∴t＝3或时，S五边形OECQF：S△ACD＝9：16；
（4）如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，
∵∠POD＝∠COD，
∴DM＝DN＝，
∴ON＝OM＝＝，
∵OP DM＝3PD，
∴OP＝5﹣t，
∴PM＝﹣t，
∵PD2＝PM2+DM2，
∴（8﹣t）2＝（﹣t）2+（）2，
解得：t＝16（不合题意，舍去），t＝，
∴当t＝时，OD平分∠COP．