2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.6正多边形与圆培优训练（word版、含解析）

2.6正多边形与圆-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练
一、选择题
1、下列命题是假命题的是（
）
A．半径为R的圆内接正方形的边长等于
B．正六边形的每个中心角都等于60°
C．正八边形是轴对称图形
D．正七边形是中心对称图形
2、若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是(　　)
A．6
B．12
C．16
D．18
3、如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则（
）
A．
B．
C．
D．
(4)
(6)
4、如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（　　）
A．30°
B．40°
C．45°
D．50°
5、已知，正六边形的边长为2，则的长为（
）
A．
B．
C．4
D．5
6、如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示的是前个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
7、有一个边长为的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个圆形纸片的最小直径是（
）
A．
B．
C．
D．
8、如图，正六边形ABCDEF内接于，过点O作弦BC于点M，若的半径为4，
则弦心距OM的长为（　　　）
A．
B．
C．2
D．
(9)
(10)
(12)
9、如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
10、如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（
）
A．9
B．10
C．12
D．15
二、填空题
11、正多边形都是_______对称图形，一个正72边形有_______条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的_______；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是_______图形，又是_______图形．
12、如图，正六边形中，，连接，则的长为______
13、如图，正五边形内接于，点在弧上，则的度数为______
(15)
(16)
14、正六边形的半径与边心距之比为___________．
15、如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是　
　度．
16、如图，点为正八边形的中心，则的度数为______．
17、如图，已知的内接正六边形的边心距，则该圆的内接正三角形的边长为_______．．
(18)
18、如图，正六边形ABCDEF的边长为2，点P在对角线AC上，∠EDP＝75°，PQ⊥EF于点Q，则PQ的长是　
　；过点Q作QG∥ED交DP于点G，则△PQG的面积为　　．
三、解答题
19、如图，是的内接正五边形．求证：.
20、如图，在网格纸中，、都是格点，以为圆心，为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法）
（1）在圆①中画圆的一个内接正六边形；
（2）在图②中画圆的一个内接正八边形.
21、如图，已知正三角形ABC内接于⊙O，AD是的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若，求的半径．
22、如图，正方形内接于，为任意一点，连接、．
（1）求的度数．
（2）如图2，过点作交于点，连接，，，求的长度．
23、七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
（1）如图1，等边三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM＝AN，连接BN、CM，发现BN＝CM，且∠NOC＝60°，试说明：∠NOC＝60°．
（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、DM，
那么∠DON＝　
　度，并说明理由．
（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、EM，那么AN＝　
　，且∠EON＝　
　度．（正n边形内角和（n﹣2）×180°，正多边形各内角相等）
24、（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB+PC；
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
2.6正多边形与圆-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练（解析）
一、选择题
1、下列命题是假命题的是（
）
A．半径为R的圆内接正方形的边长等于
B．正六边形的每个中心角都等于60°
C．正八边形是轴对称图形
D．正七边形是中心对称图形
【答案】D
【分析】
利用正多边形的对称性、角度计算、线段长度计算，分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
A、半径为R的圆内接正方形的边长等于，正确，是真命题；
B、正六边形的每个中心角都等于60°，正确，是真命题；
C、正八边形是轴对称图形，正确，是真命题；
D、正七边形I不是中心对称图形，故错误，是假命题；
故选D．
2、若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是(　　)
A．6
B．12
C．16
D．18
【答案】B
【解析】
【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．
【详解】．
故这个正多边形的边数为12．
故选：B．
3、如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，
是正五边形，
，
故选：．
4、如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（　　）
A．30°
B．40°
C．45°
D．50°
解：连接AC、GE、EC，如图所示：
则四边形ACEG为正方形，
∴∠EAG＝45°，
故选：C．
5、已知，正六边形的边长为2，则的长为（
）
A．
B．
C．4
D．5
【答案】C
【分析】连接，交于点，先根据正六边形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据线段的和差即可得．
【详解】
解：如图，连接，交于点，
正六边形的边长为2，
，
是等边三角形，
，
同理可得：，
，
故选：C．
6、如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示的是前个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】B
【解析】解：∵多边形是正五边形，
∴正五边形的每个内角为，如下图所示：
∴∠O=360°-3×108°=36°，
∵围成一圈，O处的周角为360°，
∴共需要正五边形的个数为：360°÷36°=10个，
故还需要10-3=7个，
故选：B．
7、有一个边长为的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个圆形纸片的最小直径是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用正六边形的性质、等边三角形的判定与性质求出正六边形外接圆的直径即可得．
【详解】由题意得：这个圆形纸片的最小直径是这个正六边形外接圆的直径，
如图，圆O为正六边形ABCDEF的外接圆，，
连接OA、OB，
正六边形的每个内角都相等，且度数为，
，是等边三角形，，
则圆O的直径为，
即这个圆形纸片的最小直径是，
故选：B．
8、如图，正六边形ABCDEF内接于，过点O作弦BC于点M，若的半径为4，
则弦心距OM的长为（　　　）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】如图，连接OB、OC．首先证明△OBC是等边三角形，求出BC、BM，根据勾股定理即可求出OM．
【详解】解：如图，连接OB、OC．
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，OB=OC=4，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=4，
∵OM⊥BC，
∴BM=CM=2，
在Rt△OBM中，，
故选：A．
9、如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：
∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为：
，
∴∠AOC＝540° 90° 90° 108° 108°＝144°，
故选：A．
10、如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（
）
A．9
B．10
C．12
D．15
【答案】C
【解析】分别连接OB、OA、OC，如图所示
∵是内接正三角形的一边,∴∠BOC=
同理，可得：∠AOB=90°,∴∠AOC=∠BOC ∠AOB=30°
∵是正边形的一边,∴,∴n=12
故选：C．
二、填空题
11、正多边形都是_______对称图形，一个正72边形有_______条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的_______；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是_______图形，又是_______图形．
【答案】轴
72
中心
轴对称
中心对称
【解析】正多边形都是轴对称图形，一个正72边形有72条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的对称中心;一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形.故答案为
(1).
轴
(2).72
(3).
中心
(4).
轴对称
(5).
中心对称.
12、如图，正六边形中，，连接，则的长为______
【答案】2
【分析】如图，连接AC，根据正六边形的性质可得∠ABC=∠BCD=120°，∠ADC=60°，AB=BC=CD，根据等腰三角形的性质可得∠BCA=30°，即可求出∠ACD=90°，可得∠CAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可得答案．
【详解】如图，连接AC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC=∠BCD=120°，∠ADC=60°，AB=BC=CD，
∴∠BCA=∠BAC=30°，∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=90°，∴∠CAD=30°，
∵AB=CD=1，∴AD=2CD=2，
故答案为：2
13、如图，正五边形内接于，点在弧上，则的度数为______
【答案】72°
【分析】连接圆心和点B点E，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得∠BFE的度数即可．
【详解】
如图，连接OE、OB，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠BOE=×2=144°，
∴∠BFE=∠BOE=72°，
故答案为：72°．
14、正六边形的半径与边心距之比为___________．
【答案】2：
【分析】可设正六边形的半径为R，欲求半径、边心距之比，我们画出图形，通过构造直角三角形，解直角三角形即可得出．
【详解】
解：如图所示，设正六边形的半径为R，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，OG
AB，
∴∠GOB＝30°
则OG＝R，
∴半径、边心距之比为R：R＝2：
故答案为：2：
15、如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是　
　度．
解：连接OA、OB、OC，∠AOB＝＝72°，
∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBC，
在△AOM和△BON中，∴△AOM≌△BON，
∴∠BON＝∠AOM，∴∠MON＝∠AOB＝72°，
故答案为：72．
16、如图，点为正八边形的中心，则的度数为______．
【解析】
解：作正八边形的外接圆，连接OA、OB，如图：
∴，F、O、B共线，
由圆周角定理得：
；
故答案为：．
17、如图，已知的内接正六边形的边心距，则该圆的内接正三角形的边长为_______．．
【答案】
【分析】连接OB，交AC于点N，证明△OMB≌△CNB，则有CN=OM，从而即可求得结果．
【详解】如图，连接OB，交AC于点N
则OB⊥AC，且AC=2CN
由题意得：OB=BC，∠BOM=∠BCA=30゜
∵OM⊥BC，∴∠OBM=∠CNB=90°,
∴△OMB≌△CNB
∴CN=OM=2cm,
∴AC=2CN=4cm
故答案为：4
18、如图，正六边形ABCDEF的边长为2，点P在对角线AC上，∠EDP＝75°，PQ⊥EF于点Q，则PQ的长是　
　；过点Q作QG∥ED交DP于点G，则△PQG的面积为　　．
【思路引导】如图1中，过点E作EJ⊥AC于J，过点D作DK⊥EJ于K，过点Q作QM⊥EJ于M，过点P作PN⊥QM于N，则四边形PNMJ是矩形，四边形DKJC是矩形，设PQ＝m．用两种方法求出EJ，构建方程求出m，即可解决问题．
【完整解答】解：如图1中，过点E作EJ⊥AC于J，过点D作DK⊥EJ于K，过点Q作QM⊥EJ于M，过点P作PN⊥QM于N，则四边形PNMJ是矩形，四边形DKJC是矩形，设PQ＝m．
∵∠DEF＝∠EDC＝120°，∠EDP＝75°，∴∠PDC＝45°，
∵∠DCP＝90°，∴∠CDP＝∠CPD＝45°，∴CP＝CD＝2，
∵PQ⊥EF，∴∠PQE＝90°，
∴∠DPQ＝360°﹣75°﹣120°﹣90°＝75°，
∵∠DPN＝45°，∴∠QPN＝30°，∴NQ＝m，PN＝MJ＝m，
在Rt△DEM中，∠EDM＝30°，DE＝2，∴EK＝1，
∵EM+PN＝3，∴PN＝m，
∵DK＝CJ＝，∴MN＝PJ＝2﹣，∴QM＝m+2﹣，
∵∠EQM＝30°，∴EM＝QM＝（m+2﹣），
∴3＝（m+2﹣）+m，∴m＝2﹣1，∴PQ＝2﹣1，
如图2中，过点G作GH⊥PQ于H．
∵QG∥DE，∴∠QGP＝∠EDP＝75°，
∵∠QPG＝75°，∴∠QGP＝∠QPG，∴GQ＝QP，∠GQP＝30°，
∴GH＝QG＝，
∴S△PQG＝ PQ GH＝×（2﹣1）×＝．
故答案为：2﹣1，．
三、解答题
19、如图，是的内接正五边形．求证：.
【答案】证明见解析
【分析】根据正五边形的性质求出，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD的度数，进而可得出∠ABD的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．
【详解】证明：∵是正五边形，
∴.
又∵，∴，
∴，
∴，
∴.
20、如图，在网格纸中，、都是格点，以为圆心，为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法）
（1）在圆①中画圆的一个内接正六边形；
（2）在图②中画圆的一个内接正八边形.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）设AO的延长线与圆交于点D，
根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即OB=AB，故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F；同理：在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，如图①，正六边形即为所求．
（2）圆的内接八边形的中心角为360°÷8=45°，而正方形的对角线与边的夹角也为45°
∴在如②图所示的正方形OMNP中，连接对角线ON并延长，交圆于点B，此时∠AON=45°；∵∠NOP=45°，
∴OP的延长线与圆的交点即为点C
同理，即可确定点D、E、F、G、H的位置，顺次连接，
如图②，正八边形即为所求．
21、如图，已知正三角形ABC内接于⊙O，AD是的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若，求的半径．
【解析】
解：如图所示，连接OA、OD、OC，
等边内接于，AD为内接正十二边形的一边，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即的半径为6cm．
22、如图，正方形内接于，为任意一点，连接、．
（1）求的度数．
（2）如图2，过点作交于点，连接，，，求的长度．
【答案】（1）45°；（2）
【解析】（1）如图1中，连接、．
四边形是正方形，，．
（2）如图2中，连接，，，，作于．
，，
，，，
，，
，，，，
，
，，，设，
在中，，，解得或（舍弃），
.
23、七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
（1）如图1，等边三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM＝AN，连接BN、CM，发现BN＝CM，且∠NOC＝60°，试说明：∠NOC＝60°．
（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、DM，
那么∠DON＝　
　度，并说明理由．
（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、EM，那么AN＝　
　，且∠EON＝　
　度．（正n边形内角和（n﹣2）×180°，正多边形各内角相等）
【思路引导】（1）利用△ABC是正三角形，可得∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，又因BM＝AN，所以△ABN≌△BCM，∠ABN＝∠BCM，所以∠NOC＝∠BCM+∠OBC＝∠ABN+∠OBC＝60°；
（2）同（1）利用三角形全等，可知在正方形中，AN＝DM，∠DON＝90°；
（3）同（1），利用三角形全等可知在正五边形中，AN＝EM，∠EON＝108°．
【完整解答】（1）证明：∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，
在△ABN和△BCM中，，
∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠ABN＝∠BCM，
又∵∠ABN+∠OBC＝60°，
∴∠BCM+∠OBC＝60°，∴∠NOC＝60°；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAM＝∠ABN＝90°，AD＝AB，
又∵AM＝BN，
∴△ABN≌△DAM（SAS），∴AN＝DM，∠ADM＝∠BAN，
又∵∠ADM+∠AMD＝90°，∴∠BAN+∠AMD＝90°
∴∠AOM＝90°；即∠DON＝90°；
（3）解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠A＝∠B，AB＝AE，
又∵AM＝BN，
∴△ABN≌△EAM（SAS），∴AN＝ME，∴∠AEM＝∠BAN，
∴∠NOE＝∠NAE+∠AEM＝∠NAE+∠BAN＝∠BAE＝108°．
故答案为：90°，EM，108°．
24、（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB+PC；
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，
连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，∴∠BAC＝∠CPE＝60°，PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE＝PC，AC＝BC，
∴△BEC≌△APC（SAS），∴PA＝BE＝PB+PC．
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°∴∠1＝∠3，∴∠APB＝45°，∴BP＝BE，∴；
又∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC＝AE．
∴．
（3）答：；
证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ＝PC，
连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，
∴△ABQ≌△CBP，∴BQ＝BP．∴MP＝QM，
又∵∠APB＝30°，∴PM＝PB，
∴,
∴