2021-2022学年苏科版九年级数学上册培优训练2.7弧长及扇形的面积（word版、含解析）

2.7弧长及扇形的面积-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练
一、选择题
1、若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（
）
A．
B．
C．
D．
2、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝3，则扇形BOD的面积是(　　)
A．
B．2π
C．π
D．
(4)
(6)
(7)
3、已知圆O的半径OA＝6，扇形OAB的面积等于，则弧AB所对的圆心角的度数是（
）
A．120°
B．90°
C．150°
D．130°
4、如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，OA∥BC，∠OAB=70°，则弧AC的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
5、已知圆心角为60°的扇形面积为，则扇形的弧长为（
）
A．4
B．2
C．
D．
6、如图，半径为1的圆O于正五边形相切于点A、C，劣弧的长度为（　　　）
A．
B．
C．
D．
7、如图，是的直径，且，是上一点，将沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（
）．
A．
B．
C．
D．
8、如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，连接AE，CE，若⊙O的半径为2，
则图中阴影部分的面积为（　）
A．
B．
C．
D．
(9)
(10)
(12)
9、已知正方形的边长为10，则阴影部分的面积为(
)
A．25π
-50
B．50π
-50
C．25π
-25
D．50π
-25
10、如图，在中，，，分别以点和点为圆心，以的长为半径画弧交于，两点，则阴影部分的面积是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11、圆心角是120°的扇形，弧长为，则这个扇形的面积为__________．
12、如图，内接于半径为2的，、的平分线交于点，，
则劣弧的长为______．
13、如图，A是半径为1的外一点，，是的切线，B是切点，弦平行于，联结，则阴影部分面积为________．
14、如图，AB是⊙O的弦，点C是劣弧的中点，若∠BAC＝30°，劣弧的长为π，
则⊙O的半径为____．
15、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，以AB为直径的⊙O，交AC于E点，交BC于D点．若劣弧DE的长为，则∠BAC＝_____．
16、如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交线段CD延长线于点E，连接EB，则图中阴影部分的面积为___________（结果保留π）
17、如图，圆心角为的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB，若，
则阴影部分的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
18、如图，在扇形中，，平分交弧于点，点为半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为___________．
三、解答题
19、已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB1C1，写出B1，C1的坐标；
（2）在（1）的条件下，求点C旋转到点C1所经过的路线长（结果保留π）
20、如图，半圆O的直径，将半圆O绕点B顺针旋转得到半圆，与AB交于点P．
求AP的长；
求图中阴影部分的面积结果保留．
21、已知：如图，为圆的直径，点、在圆上，且，，.
（1）求的长；
（2）求图中阴影部分（弦和其所对劣弧围成的图形）的面积.
22、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相交于点D，
且∠A＝2∠DCB，连接CD．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若BE＝OE＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．
23、如图，BD是⊙O的直径，过A点作CD的垂线交CD的延长线于点E，且DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC＝30°，DE＝2cm，求的长．
24、如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD，
AC与围成阴影部分的面积．
2.7弧长及扇形的面积-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练（解析）
一、选择题
1、若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据弧长公式计算即可．
【详解】解：该扇形的弧长＝.
故选C．
2、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝3，则扇形BOD的面积是(　　)
A．
B．2π
C．π
D．
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理求出∠BOD，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：由圆周角定理得，∠BOD＝2∠BCD＝60°，
则扇形BOD的面积＝，
故选：D．
3、已知圆O的半径OA＝6，扇形OAB的面积等于，则弧AB所对的圆心角的度数是（
）
A．120°
B．90°
C．150°
D．130°
【答案】A
【解析】解:已知圆的半径及扇形面积S=12π
,即=12π
,所以圆心角n是120°.
故选：A
4、如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，OA∥BC，∠OAB=70°，则弧AC的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBA=∠OAB=70°，根据平行线的性质得到∠OBC=∠AOB=40°，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】
解：连接OB，
∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=70°，∴∠AOB=40°，
∵OA∥BC，∴∠OBC=∠AOB=40°，
∵OB=OC，∴∠C=∠OBC=40°，∴∠BOC=100°，
∴∠AOC=100°+40°=140°，∴弧AC的长=，
故选C．
5、已知圆心角为60°的扇形面积为，则扇形的弧长为（
）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】解：由题意得：，即，解得：，
∴该扇形的弧长为；故选D．
6、如图，半径为1的圆O于正五边形相切于点A、C，劣弧的长度为（　　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求得正五边形的内角的度数，然后根据弧长公式即可求得．
【详解】解：因为正五边形ABCDE的内角和是（5-2）×180=540°，
则正五边形ABCDE的一个内角==108°，
连接OA、OB、OC，
∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，
∴∠OAE=∠OCD=90°，
∴∠AOC=540°-∠E-∠D-∠OAE-∠OCD=144°，
所以劣弧AC的长度为，
故选：B.
7、如图，是的直径，且，是上一点，将沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作于E，交于点D、于点F，求得，因为垂直平分，求得，即而进行求解．
【详解】作于E，交于点D、于点F，如图所示：
由翻折可知DE=EO，
∵，∴，∴，
∵在中，，，∴，∴，
∵直径，∴弧AD=弧CD,
∴，
∴，
由对称性可知阴影部分面积等于扇形COB的面积，
∴．
8、如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，连接AE，CE，若⊙O的半径为2，
则图中阴影部分的面积为（　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接OC，由正八边形的性质得出OC⊥AE，得出∠AOC=∠EOC=90°，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出答案．
【详解】
解：连接OC，如图所示：
则OC⊥AE，
∴∠AOC=∠EOC=90°，
∴图中阴影部分的面积=×2×2=π+2；
故选：B．
9、已知正方形的边长为10，则阴影部分的面积为(
)
A．25π
-50
B．50π
-50
C．25π
-25
D．50π
-25
【答案】A
【解析】
【分析】阴影部分的面积可分部分来计算
【详解】S阴影=
=25π-25π+4×（）
=25π-50，
故选：A
解法ニ：链接BD,AD,CD,S阴影=S扇形ABC
-
=25π-50，
10、如图，在中，，，分别以点和点为圆心，以的长为半径画弧交于，两点，则阴影部分的面积是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知求出∠A、∠B的度数，根据扇形和三角形的面积即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，AC=BC=
，∠ACB=90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，
∴阴影部分的面积S=S△ACB-（S扇形CAD+S扇形CBE-S△ACB）
=2×[×
×
-]=2-
.
故选：C．
二、填空题
11、圆心角是120°的扇形，弧长为，则这个扇形的面积为__________．
【答案】
【分析】
利用弧长公式可求得扇形的半径，那么扇形的面积弧长半径．
【详解】解：，
，
扇形的面积．
故答案为：．
12、如图，内接于半径为2的，、的平分线交于点，，
则劣弧的长为______．
【答案】
【解析】连接、，
∵、的平分线交于点，，∴，
∴，∴，∴，
∴的长为．
13、如图，A是半径为1的外一点，，是的切线，B是切点，弦平行于，联结，则阴影部分面积为________．
【答案】
【分析】
连接OB、OC，过O作OD⊥BC于点D，则可知S△BOC=S△ABC，可知阴影部分面积=扇形OBC的面积，再计算扇形OBC的面积即可．
【详解】解：连接OB、OC，过O作OD⊥BC于点D，
∵BC∥OA，∴点A到BC的距离等于点O到BC的距离，∴S△BOC=S△ABC，
∴阴影部分面积=扇形OBC的面积，
∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，
∵OA=2，OB=OC=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=60°，
又BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，∴△BOC为等边三角形，∴BC=OA，
∴扇形OBC的面积=，∴阴影部分面积为，
故答案为：．
14、如图，AB是⊙O的弦，点C是劣弧的中点，若∠BAC＝30°，劣弧的长为π，
则⊙O的半径为____．
【答案】1
【解析】解：如图，连接，
∵点C是劣弧的中点，劣弧的长为，∴劣弧的长为，
∵，∴，
根据弧长的计算公式得，∴．故答案为：1
15、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，以AB为直径的⊙O，交AC于E点，交BC于D点．若劣弧DE的长为，则∠BAC＝_____．
【答案】30°
【解析】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC，
∵AB＝AC＝2，∴∠CAD＝∠BAD，
连接OE，OD，设∠DOE＝α，
∵劣弧DE的长为，∴＝，∴α＝30°，∴∠CAD＝15°，
∴∠BAC＝2∠CAD＝30°，
故答案为：30°．
16、如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交线段CD延长线于点E，连接EB，则图中阴影部分的面积为___________（结果保留π）
【答案】
【分析】利用阴影部分的面积=圆周的面积+矩形的面积-三角形BCE的面积即可得出答案；
【详解】解：∵长方形ABCD，AB=5，AD=3，∴AD=BC=3，AB=CD=5，
∴阴影部分的面积=圆的面积+矩形的面积-三角形BCE的面积
∴阴影部分的面积=
故答案为：
17、如图，圆心角为的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB，若，
则阴影部分的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据BC为直径可知∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
【详解】如图：以BC为直径的半圆，交弦AB于点D，连接CD
解：在Rt△ACB中，
∵AC=BC=2，∴，
∵BC是半圆的直径，∴∠CDB=90°，
在等腰Rt△ACB中，
∵CD垂直平分AB，CD=BD=，∴D为半圆的中点，
S阴影部分=S扇形ACB-S△ADC==．
故选：A．
18、如图，在扇形中，，平分交弧于点，点为半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为___________．
【答案】
【解析】解：如图，作点C关于AB的对称点，
连接交OB于点，连接、，
此时最小，即，
由题意得，，∴，
∴，的长，
∴阴影部分周长的最小值为，故答案为：．
三、解答题
19、已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB1C1，写出B1，C1的坐标；
（2）在（1）的条件下，求点C旋转到点C1所经过的路线长（结果保留π）
【答案】（1）如图所示，△AB1C1即为所求见解析；（2）点C旋转到C'所经过的路线长为π．
【解析】
【分析】（1）根据旋转中心为点A、旋转方向是逆时针、旋转角度为90°可找到各点的对应点，顺次连接即可，结合直角坐标系可直接写出点B1，C1的坐标；
（2）点C旋转到点C1所经过的路线是以点A为圆心，以AC为半径的圆．
【详解】（1）如图所示，△AB1C1即为所求：
由图可得，B1（1，5），C1（3，7）；
（2）∵点C旋转到点C1所经过的路线是以点A为圆心，以AC为半径的圆，
AC＝＝2，
∴点C旋转到C'所经过的路线长为：πAC=π．
20、如图，半圆O的直径，将半圆O绕点B顺针旋转得到半圆，与AB交于点P．
求AP的长；
求图中阴影部分的面积结果保留．
【答案】（1）；（2）
【分析】先根据题意判断出是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP的长；
根据直接进行计算即可．
【详解】解：，，是等腰直角三角形，
，；
阴影部分面积为：
．
21、已知：如图，为圆的直径，点、在圆上，且，，.
（1）求的长；
（2）求图中阴影部分（弦和其所对劣弧围成的图形）的面积.
【答案】（1）5cm．（2）cm2．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据S阴影=S扇形-S△OBD即可得到结论．
【详解】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm．∴OB=5cm．
连OD，
∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABD=45°．∴∠BOD=90°．
∴BD==5cm．
（2）S阴影=S扇形-S△OBD=-=cm2．
22、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相交于点D，
且∠A＝2∠DCB，连接CD．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若BE＝OE＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．
【答案】（1）见解析；（2）阴影部分的面积=2.
【分析】（1）连接OD，由OD＝OC，可得∠BCD=∠ODC，∠DOB=∠BCD
+∠ODC=2∠BCD，又∠A=2∠BCD，可知∠DOB=∠A，由于∠A+∠B=90°，可得OD⊥AB，即可得出AB是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理求出BD，分别求出△ODB和扇形DOE的度数，即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵OD=OC，∴∠BCD=∠ODC，∴∠DOB=∠BCD
+∠ODC=2∠BCD，
而∠A=2∠BCD，∴∠DOB=∠A，
∵∠A+∠B=90°，∴∠DOB+∠B=90°，
∴OD⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ACB=90°，BE＝OE=OA＝2,
∴cos∠DOB=，∴∠DOB=60°，
在Rt△DOB中，OD=2，∴BD=OD=2，
∴阴影部分的面积=S△BOD﹣S扇形DOE=×2×2﹣=2
23、如图，BD是⊙O的直径，过A点作CD的垂线交CD的延长线于点E，且DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC＝30°，DE＝2cm，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）的长＝π．
【分析】
（1）连接OA，利用平行线的性质，等腰三角形的性质，证明OA⊥AE；
（2）依托直径的性质，证明△OAD为等边三角形，求得弧对的圆心角即可.
【详解】
（1）证明：连接OA，如图：
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．
∵DA平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA．∴∠OAD＝∠EDA，∴EC∥OA．
∵AE⊥CD，∴OA⊥AE．
∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵BD为⊙O的直径，∴∠C＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝90°﹣30°＝60°，∴∠ODA＝∠EDA＝60°，
在Rt△ADE中，∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝2DE＝4（cm），
∵∠ODA＝60°，OA＝OD，∴△OAD为等边三角形，
∴OD＝AD＝4cm，∠AOD＝60°，∴的长＝＝π．
24、如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD，
AC与围成阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCO是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC=，
∵∠EBC+∠ABC=，∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，∴∠ACD=，∴∠D+∠CAD=，
∵CE⊥AB，∴∠ECB+∠EBC=，∴∠CAD=∠ECB；
（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，∴∠OCE=∠E=，
∴∠OCE+∠E=18，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAD，∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC
=60°，∴BC∥AO，∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，∴CD=AD=2，AC=2，
过点C作CF⊥AD于点F，
∴CF=，∴，
∵OC∥AE，∴∠DOC=∠BAO=60°，
∴，∴阴影部分的面积为．