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第四章
图形的相似（基础培优卷）
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．下列说法正确的是（
）
A．菱形都是相似图形
B．矩形都是相似图形
C．等边三角形都是相似圈形
D．各边对应成比例的多边形是相似多边形
4．已知△ABC∽△DEF，若周长比为4：9，则AC：DF等于（
）
A．4：9
B．16：81
C．3：5
D．2：3
5．如图，已知∠ACD＝∠B，若AC＝6，AD＝4，BC＝10，则CD长为（
）
A．
B．7
C．8
D．9
6．如图，以点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'．以下说法中错误的是（
）
A．△ABC∽△A'B'C'
B．点C，O，C'三点在同一条直线上
C．AO：AA'＝1：2
D．AB∥A'B'
7．某数学活动小组在利用太阳光线测量某棵树AB的高度时，发现树AB的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上．经测量，落在墙壁上影高CD为2米，落在地面上的影长BC为5米，同一时间测得8米高的国旗杆影长是4米，则树高为（
）
A．8米
B．10米
C．12米
D．14米
8．已知△ABC中，∠BAC＝90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．如图，△ABC中，AD＝AC，延长CD至B，使BD＝CD，ED⊥BC交AB于E，EC交AD于F，下列四个结论：①EB＝EC；
②BC＝2AD；
③△ABC∽△FCD；
④若AC＝6，则DF＝3．
其中正确的个数有（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走40步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走810步后正好看到树木，则正方形城池的边长为（
）步．
A．360
B．270
C．180
D．90
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．由4m＝7n，可得比例式：
．
12．如图，l1∥l2∥l3，如果AB＝2，BC＝3，DE＝1，那么EF＝
．
13．已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25°、55°，则另一个三角形的最大内角的度数为
．
14．如图，在△ABC与△AED中，，要使△ABC与△AED相似，还需添加一个条件，这个条件可以是
（只需填一个条件）．
15．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AB中点，连接CE，交BD于点F，若EF＝1，则CF的长是
．
16．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为
．
17．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，那么点B'的坐标是
．
18．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝
．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）已知．
（1）求．
（2）若2a+b+2c＝﹣30，求a，b，c的值．
20．（6分）如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
21．（6分）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，已知，E为AD的中点，延长BE交AC于F，求的值．
22．（6分）如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE BF＝EF BC．
23．（8分）“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．
（1）求证：△DFC∽△CBE；
（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．
25．（12分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
26．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＞AB，在BC边上取点D，使AB＝BD，构造正方形ABDE，DE交AC于点F，作EG⊥AC交AC于点G，交BC于点H．
（1）求证：EF＝DH；
（2）若AB＝6，DH＝2DF，求AC的长．
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第四章
图形的相似（基础培优卷）
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵，∴ab，则．故选：A．
2．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵DE∥AB，∴，∴的值为，故选：A．
3．下列说法正确的是（
）
A．菱形都是相似图形
B．矩形都是相似图形
C．等边三角形都是相似圈形
D．各边对应成比例的多边形是相似多边形
【答案】C
【解析】A、菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，故错误，不符合题意；
B、矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，故错误，不符合题意；
C、等边三角形的对应边成比例，对应角相等，故正确，符合题意；
D、各边对应成比例的多边形的对应角不一定相等，故错误，不符合题意，
故选：C．
4．已知△ABC∽△DEF，若周长比为4：9，则AC：DF等于（
）
A．4：9
B．16：81
C．3：5
D．2：3
【答案】A
【解析】∵△ABC∽△DEF，∴．故选：A．
5．如图，已知∠ACD＝∠B，若AC＝6，AD＝4，BC＝10，则CD长为（
）
A．
B．7
C．8
D．9
【答案】A
【解析】∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴，
∵AC＝6，AD＝4，BC＝10，∴，∴CD．故选：A．
6．如图，以点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'．以下说法中错误的是（
）
A．△ABC∽△A'B'C'
B．点C，O，C'三点在同一条直线上
C．AO：AA'＝1：2
D．AB∥A'B'
【答案】C
【解析】∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'，
∴△ABC∽△A'B'C'，OA：OA′＝1：2，AB∥A′B′，CC′经过点O．
故选：C．
7．某数学活动小组在利用太阳光线测量某棵树AB的高度时，发现树AB的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上．经测量，落在墙壁上影高CD为2米，落在地面上的影长BC为5米，同一时间测得8米高的国旗杆影长是4米，则树高为（
）
A．8米
B．10米
C．12米
D．14米
【答案】C
【解析】设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．根据题意可得：，
解得：x＝10．
∴树高是2+10＝12（米），故选：C．
8．已知△ABC中，∠BAC＝90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A、由作图可知：∠CAD＝∠B，可以推出∠C＝∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；
B、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
D、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；
故选：D．
9．如图，△ABC中，AD＝AC，延长CD至B，使BD＝CD，ED⊥BC交AB于E，EC交AD于F，下列四个结论：①EB＝EC；
②BC＝2AD；
③△ABC∽△FCD；
④若AC＝6，则DF＝3．
其中正确的个数有（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】∵BD＝CD，ED⊥BC，∴BE＝CE，BC＝2BD＝2CD，故①正确；②错误；
∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACB，∵∠B＝∠ECB，∴△ABC∽△FCD；故③正确；
∴，∵BC＝2CD，∴AD＝AC＝2FD＝6，∴DF＝3，故④正确；
故选：C．
10．我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走40步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走810步后正好看到树木，则正方形城池的边长为（
）步．
A．360
B．270
C．180
D．90
【答案】A
【解析】如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CEx，
∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，
∴，即，∴x＝360，即正方形城池的边长为360步．故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．由4m＝7n，可得比例式：
．
【答案】
【解析】∵4m＝7n，∴等式两边都除以4n得：，故答案为：．
12．如图，l1∥l2∥l3，如果AB＝2，BC＝3，DE＝1，那么EF＝
．
【答案】
【解析】∵l1∥l2∥l3，∴，即，∴EF．故答案为：．
13．已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25°、55°，则另一个三角形的最大内角的度数为
．
【答案】100°
【解析】∵一个三角形的两个角分别为25°、55°，
∴第三个角，即最大角为180°﹣（25°+55°）＝100°，
∵两个三角形相似，∴另一个三角形的最大内角度数为100°，故答案为：100°．
14．如图，在△ABC与△AED中，，要使△ABC与△AED相似，还需添加一个条件，这个条件可以是
（只需填一个条件）．
【答案】∠B＝∠E（答案不唯一）
【解析】添加条件：∠B＝∠E；
∵，∠B＝∠E，∴△ABC∽△AED，故答案为：∠B＝∠E（答案不唯一）．
15．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AB中点，连接CE，交BD于点F，若EF＝1，则CF的长是
．
【答案】2
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，
∵点E是AB中点，∴BEABCD，
∵BE∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴，∴CF＝2EF＝2．故答案为2．
16．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为
．
【答案】100cm2
【解析】设AF＝x，则AC＝3x，
∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，∴，∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝2，
∴AC＝6，BC＝12，
∴剩余部分的面积12644100（cm2），故答案为：100cm2．
17．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，那么点B'的坐标是
．
【答案】（﹣2，3）或（2，﹣3）
【解析】∵矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA'B'C'∽矩形OABC，
∵矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，
∴矩形OA'B'C'与矩形OABC的相似比为，
∵点B的坐标为（﹣4，6），
∴点B'的坐标为（﹣4，6）或（4，﹣6），即（﹣2，3）或（2，﹣3），
故答案为：（﹣2，3）或（2，﹣3）．
18．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝
．
【答案】4或6
【解析】如图1，当MN∥BC时，则△AMN∽△ABC，
故，则，解得：MN＝4，
如图2所示：当∠ANM＝∠B时，
又∵∠A＝∠A，∴△ANM∽△ABC，∴，即，解得：MN＝6，
故答案为：4或6．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）已知．
（1）求．
（2）若2a+b+2c＝﹣30，求a，b，c的值．
【解析】（1）设k，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
所以3；
（2）∵由（1）得：2×2k+3k+2×4k＝﹣30，
解得：k＝﹣2，
∴a＝﹣4，b＝﹣6，c＝﹣8．
20．（6分）如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
【解析】当（100+3）：100＝（80+2x）：80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
解得x＝1.2
答：当x为1.2m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
21．（6分）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，已知，E为AD的中点，延长BE交AC于F，求的值．
【解析】过D作DG∥AC交BF于G，
∵E是AD的中点，
∴△AEF≌△DEG，
∴DG＝AF，
∵DG∥AC，BD：DC＝5：3，
∴DG：CF＝5：8，
∴AF：CF＝5：8，
∴AF：AC＝5：13．
22．（6分）如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．
（l）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE BF＝EF BC．
【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEF＝∠CDF＝90°，且∠EFB＝∠DFC，
∴△BEF∽△CDF；
（2）如图，连接DE，
∵∠BEF＝∠CDF＝90°，
∴点B，点C，点D，点E四点共圆，
∴∠DEF＝∠DBC，∠BFC＝∠DFE，
∴△DEF∽△CBF，
∴，
∴DE BF＝EF BC
23．（8分）“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
【解析】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．
由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，
∴△CND∽△ANB，
∴．
同理，△EMF∽△AMB，
∴．
∵EF＝CD，
∴，即．
解得x＝6.6，
∵，
∴．
解得AB＝9.6．
答：大树AB的高度为9.6米．
24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．
（1）求证：△DFC∽△CBE；
（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，
∵∠DFE＝∠A，
∴∠DFE+∠B＝180°，
而∠DFE+∠DFC＝180°，
∴∠DFC＝∠B，
而∠DCF＝∠CEB，
∴△DFC∽△CBE；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，BC＝AD＝4，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥DC，
∴∠EDC＝90°，
在Rt△DEC中，CE3，
∵△DFC∽△CBE，
∴DF：BC＝DC：CE，即DF：4＝6：3，
∴DF．
25．（12分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【解析】（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴，
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴；
∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴
解得：；
26．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＞AB，在BC边上取点D，使AB＝BD，构造正方形ABDE，DE交AC于点F，作EG⊥AC交AC于点G，交BC于点H．
（1）求证：EF＝DH；
（2）若AB＝6，DH＝2DF，求AC的长．
【解析】（1）证明：在正方形ABDE中，AE＝ED，∠AEF＝∠EDH＝90°
∴∠DHE+∠GEF＝90°
∵EG⊥AC
∴∠GEF+∠GFE＝90°
∴∠GFE＝∠DHE
在△AFE和△EHD中，90°
∴△AFE≌△EHD（AAS）
∴EF＝DH；
（2）∵DH＝2DF，EF＝DH
∴设DF＝x，则EF＝DH＝2x
∵AB＝6
∴AE＝DE＝6
∴x+2x＝6
∴x＝2
∴DF＝2，EF＝4
∵在正方形ABDE中，AE∥BD
∴△AEF∽△CDF
∴
∴
∴DC＝3
∴BC＝BD+DC＝6+3＝9
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC3
∴AC的长为3．
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