高二(2020级)九月份检测数学参考答案
1.B
2.B
3.C
4.
B
5.
D
6.C
7.B
8.A
9.ABC
10.ABC
11.AC
12.
BCD
5
2
13.
14.
2
2a
2
b2
2ab
15.
1
16.
3
7
17.
ka
b
(k
2,5k
3, k
5)，
a
3b
(1
3
2,5
3 3, 1
3 5)
(7, 4, 16)，
（1）∵
(ka
b)//(a
3b)
，
k
2
5k
3
k
5
1
∴
k
7
4
16
，解得
；3
（2）∵
(ka
b)
(a
3b)，
∴
(k
2) 7
(5k
3) ( 4)
( k
5) ( 16)
0
106
，解得
k
3
18.（1）连接DB，因为G,F分别是DC,BC的中点，所以GF
/
/BD，
所以异面直线
FG与
BB1所成角即为直线DB与BB1所成的角，
在直角 DB
DB1
3
1B中，由DB1
1,BB1
3，可得
tan DBB1
,BB1
3
所以 DBB1
30
.
（2）由（1）知GF
/
/BD，BD 平面
ABB1A1，GF
平面
ABB1A1，所以GF
/
/平面
ABB1A1，
因为
E是
AC的中点，所以
EF
/
/AB，
因为
AB
平面
ABB1A1，且
EF
平面
ABB1A1，
所以
EF
/
/平面
ABB1A1，
又因为
EF
FG
F，且
EF
,FG
平面
EFG，
所以平面
EFG
/
/平面
ABB1A1
.
19.证明：（1）连接
AF
，
设点O为
AF
的中点，连接GO，OH
，
在 ACF中，又因为点G为
AC中点，
所以OG//CF
.
同理可证得OH
//AB，
又因为
E，
F
分别为正方形
ABCD的边
AD，
BC的中点，
故
EF
//AB，所以OH
//EF
.
又因为OH
OG
O，所以平面GOH
//平面
EFCD
.
又因为GH
平面GOH
，所以GH
//平面
EFCD
.
（2）因为
ABCD为正方形，
E，
F
分别是
AD，
BC的中点，
所以四边形
EFCD为矩形，则CF
EF
.
又因为二面角C
EF
B为直二面角，平面
EFCD
平面
ABFE
EF，CF
平面
EFCD，
所以CF
平面
ABFE，
则
AF
为直线
AC在平面
ABFE内的射影，
因为 CAF
为直线
AC与平面
ABFE所成的角.
a
CF
BF
a不妨设正方形边长为
，则
，
2
2
在Rt ABF中，
AF
AB2
BF
2
a2
a
5a
，
2
2
因为CF
平面
ABFE，
AF
平面
ABFE，所以CF
AF，
2
2
在Rt△AFC中，
AC
AF2
CF2
5a
a
6a
，
2
2
2
a
sin
CAF
CF
6
2
AC
6a
6
，
2
即为直线
AC与平面
ABFE所成角的正弦值.
20．（1）证明：因为四边形
ABCD是菱形，所以
AC
BD．
又因为
PD
平面
ABCD，
AC
平面
ABCD，所以
PD
AC．
又
PD
BD
D，所以
AC
平面
PBD．
因为
AC
平面
PAC，所以平面PAC
平面
PBD；
（2） PD
平面
ABCD，BD 平面
ABCD，故
PD
BD，
因为 PBD
60 ，PB 4
3，所以PD
4
3
sin
60
6，
BD
4
3
cos
60
2
3，
2
2
cos
BAD
AB
AD
BD
2
5
由余弦定理可得
，则 BAD为锐角，
2AB
AD
8
所以，
sin BAD
1
39
cos2
BAD
，
8
所以菱形
ABCD的面积
S
AB
AD
sin BAD
42
39
2
39
，
8
1
2
39
所以四棱锥
P
ABCD的体积V
S
PD
6
4
39．
3
3
21.证明：（1）因为
ADEF为正方形，所以
AF⊥AD．
又因为平面
ADEF⊥平面
ABCD，且平面
ADEF∩平面
ABCD＝AD，
所以
AF⊥平面
ABCD，
所以
AF⊥BD．
（2）取
BC的三等分点
H，使得
BH＝2CH，连接
FH，
由
AD
FE，
AD
CH，可得EF∥CH，且
EF＝CH，
则四边形
EFHC为平行四边形，
所以EC∥FH，又CE
平面
AFH，FH
平面
AFH，
所以
EC
平面
AFH，
连接
AH交
BD于
N，则CE
平面
AFN，
BN
BH
此时
2，
BD
AD
所以线段
BD上存在点
N，使得直线CE
平面
AFN，且
BN
2
．
BD
3
22.(1)延长
AN,CD,两直线相交于点
E，OE.为平面
AMN与
平面
OCD的交线；
(2)延长
AN,CD,两直线相交于点
E,
1
由已知
NC
AD，
NC
AD，
2
∴
N为
AE的中点，又
M为
AO的中点，
∴
MN∥OE，
又OE
平面
OCD，MN 平面
OCD，
∴
MN∥平面
OCD；
(3)∵
AB∥CD，
∴
异面直线
AB与
MD所成角为 CMD或其补角，
∵
底面
ABCD是边长为
1的菱形，∠ABC＝
，
4
∴
AC
2
2
，CD
1,
又
OA⊥平面
ABCD，OA＝2，M为
OA的中点，
∴
MD
2
,MC
3
2
，
cos
CMD
1
2 3
2
1∴
，
2 1
2
2
∴
CMD=
，
3
∴
异面直线
AB与
MD所成角的大小为
.
3高二(2020级)九月份检测数学试题
一、单项选择题（本题共
8小题，每小题
5分，共
40分）
1．已知向量
a
( 1,0,1)，b
(1,1, 1)，且
a
kb与b互相垂直，则
k
（
）
A．1
B
2．
C． 1
D
2． 3
3
2．如图，正方形O A B C 的边长为
1，它是水平放置的一个平面图形的直观
图，则原图形的周长是（
）
A．
2
3
2
B．8
C．6
D．
2
2
3
3．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学
中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面
的三棱柱称为堑堵.
4 已知一个堑堵的底面积为
6，体积为
的球与其各面均相
3
切，则该堑堵的体积为（
）
A．18
B．24
C．12
D．36
→
→
→
→
4．对于空间一点
O和不共线的三点
A，B，C且有
6OP＝OA＋2OB＋3OC，
则(
)
A．O，A，B，C四点共面
B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面
D．O，P，A，B，C五点共面
5．在长方体
ABCD
A1B1C1D1中，底面
ABCD是边长为
1的正方形，异面直线
AB
与
A1C
π
所成角的大小为
3，则该长方体的表面积与体积的比值是（
）
A
4
2
B
4
2
4
2．
．
C．
D．
4
2
4
3
2
6．平面
过正方体
ABCD
A1B1C1D1的顶点
A，
//平面CB1D1，
平面
ABCD
m，
平面
ABB1A1
n，则
m，n所成角的余弦值为（
）
A
3
2
1
1．
B．
C．
D．
2
2
2
3
7．在棱长为
a的正方体
ABCD
A1B1C1D1中，E为
AA1的中点，则过
B、C1、E三
点的平面截正方体
ABCD
A1B1C1D1所得的截面面积为（
）
A
3
10
2
B
9a
3
2
10．
．
a2
C．
a28
D．
a
2
8
4
2
试卷第
1页，共
4页
8.如图，二面角
l
的大小是60 ，线段
AB
，B
l，
AB与
l所成的角
为30°.则
AB与平面
所成的角的正弦值是（
）
A
3．
B
2．
4
4
C
3
D
2．
．
3
3
二、多项选择题（本题共
4小题，每小题
5分，共
20分.全部选对得
5
分，部分选对
得
2分，有选错的得
0分）
9．已知长方体
ABCD-A1B1C1D1，则下列向量的数量积可以为
0的是（
）
A．
AD1
·B1C
B．
BD1
·
AC
C．
AB
·
AD1
D．
BD1
·
BC
10．在四面体
A
BCD中，M
,N
,P,Q,E分别为
AB,BC,CD,
AD,
AC的中点，则下
列说法中正确的是（
）
A．M
,N
,P,Q四点共面
B． QME
CBD
C． BCD∽ MEQ
D．四边形MNPQ为梯形
11．如图，在棱长为
1的正方体
ABCD
A1B1C1D1中，P为
线段
BC，上的动点，下列说法正确的是（
）
A．对任意点
P，DP
/
/平面
AB1D1
B
1．三棱锥P
ADD1的体积为
3
C
6．线段
DP长度的最小值为
2
D
P
DP
ADD
A
π．存在点
，使得
与平面
1
1所成角的大小为
3
12．已知圆台上、下底面的圆心分别为O1，O2，半径为2，
4，圆台的母线
与下底面所成角的正切值为3，
P为O1O2上一点，则（
）
A．圆台的母线长为6
B．当圆锥
PO1和圆锥
PO2的体积相等时，PO1
4PO2
C．圆台的体积为56π
D．当圆台上、下底面的圆周都在同一球面上时，该球的表面积为80π
三、填空题（本题共
4小题，每小题
5分，共
20分）
13．在正方体
ABCD
A1B1C1D1中，点
O是
B1C1的中点，且DO
xDA
yDC
zDD1，
试卷第
2页，共
4页
则
x
y
z的值为________.
14．已知平行六面体
ABCD-A1B1C1D1中，ABCD是边长为
a的正方形，AA1
＝b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则
A1C的长为________．
15.已知
m，n，l是三条不重合直线，
，
是两个不重合平面，下列命题中：
①若
l垂直于
内两条直线，则
l
：②若
l平行于
，则
内可有无数条直
线与
l平行；
③若m
，
l
，且
l
m，则
；④若m
n，n
l，则m//l；
⑤若m
，
l
，且
//
，则m//l；
正确的命题个数为______．
16
2．已知圆锥
SO的底面半径是
3，母线长是2，则将它侧面沿一条母线SA展
开而成的扇形的中心角等于________，若M
是SA的中点，从M
处拉一条绳
子绕圆锥侧面转到点
A，则绳子长度的最小值等于__________.
四、解答题（本题共
6小题，第
17题
10分，第
18~22题各
12分，共
70分）
r
17．若
a
1,5, 1 ，b
2,3,5 ．
（1）若
(ka
b)//(a
3b)
，求
k；
（2）若
(ka
b)
(a
3b)，求
k．
18．如图，在三棱柱
ABC
A1B1C1中，底面 ABC是正三
角形，AA1
平面
ABC，已知
AB
2，侧棱长为
3，D是
A1B1的中点，E、
F、G分别是
AC，
BC，CD的中点.
（1）求
FG与BB1所成角的大小；
（2）求证：平面
EFG
/
/平面
ABB1A1
19．已知点E，F分别是正方形
ABCD的边
AD，BC的中点.现将四边形
EFCD
沿EF折起，使二面角C
EF
B为直二面角，如
图所示.
（1）若点G，H分别是
AC，BF的中点，求证：
GH
/
/平面
EFCD；
（2）求直线
AC与平面
ABFE所成角的正弦值.
试卷第
3页，共
4页
20．如图，四棱锥P
ABCD的底面是边长为4的菱形，
PD
平面
ABCD．
（1）证明：平面PAC
平面
PBD；
（2）若PB 4
3， PBD
60 ，求四棱锥P
ABCD的体积．
21．如图，在多面体
ABCDEF中，平面
ADEF⊥平面
ABCD．四边形
ADEF
为正方形，四边形
ABCD为梯形，且
AD
/
/BC
，△ABD是边长为
1的等边三角
形，BC＝3．
（1）求证：
AF
BD；
（2
BD
BN）线段
上是否存在点
N，使得直线CE
平面
AFN？若存在，求
BD
的
值；若不存在，请说明理由．
22．如图，在四棱锥
O－ABCD中，底面
ABCD是边长为
1的菱形，∠ABC
＝
，OA⊥平面
ABCD，OA＝2，M为
OA的
4
中点，N为
BC的中点．
（1）画出平面
AMN与平面
OCD的交线（保
留作图痕迹，不需写出作法）；
（2）证明：直线
MN//平面
OCD；
（3）求异面直线
AB与
MD所成角的大小．
试卷第
4页，共
4页
