福清西山学校高中部2021-2022学年9月份月考高二数学试卷
考试分数：120；考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知平面向量与之间的夹角为，，，则与之间夹角的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（
）条
A．
B．
C．
D．
3．给出下列命题
①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量；
③若满足，且同向，则；
④零向量没有方向；⑤对于任意向量，必有．
其中正确命题的序号为（
）
A．①②③
B．⑤
C．④⑤
D．①⑤
4．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知二面角的平面角为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．设分别是的三边上的点，且，则与（
）
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
7．已知、两点，直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
8．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（
）
A．1
B．
C．
D．2
二、多选题
9．已知，是两个相互垂直的单位向量，，，则下列说法正确的是（
）
A．若，则
B．当时，，夹角的余弦值为
C．存在使得与同时成立
D．不论为何值，总有成立
10．已知在空间四面体O-ABC中，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．定义点到直线:的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是.以下命题不正确的是（
）
A．若，则直线与直线平行
B．若，，则直线与直线垂直
C．若，则直线与直线垂直
D．若，则直线与直线相交
12．已知正方体的棱长为，为棱上的动点，下列说法正确的是（
）
A．
B．二面角的大小为
C．三棱锥的体积为定值
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．若面的法向量，面的法向量，两面夹角的正弦值为，则________.
14．若直线被直线与截得的线段长为，则直线的倾斜角的值为________.
15．已知，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围为_____．
16．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=CC1=1，∠AD1B=，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为____.
四、解答题
17．已知的顶点.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求的面积.
18．如图，在长方体中，已知，，，、分别是线段、上的点，且.
（1）求二面角的正弦值；
（2）求直线与所成角的余弦值.
19．已知直线，直线，点在直线上.求：
（1）求的值；
（2）求直线和直线的交点坐标；
（3）求直线和直线的夹角的余弦值.
20．如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于，平面，为的中点，点在上，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
21．如图,在四棱锥中,面,,且,点在上.
（Ⅰ）求证:；
（Ⅱ）若二面角的大小为,求的值.
22．如图1所示，在凸四边形中，，点为的中点，为线段上的一点，且.沿着将折起来，使得平面平面，如图2所示.
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
答案第1页，总2页
答案第1页，总2页参考答案
1．B
【分析】
由已知得，，，进而根据向量夹角公式求解即可得答案.
【详解】
因为向量与之间的夹角为，，，
所以，有，，
又因为，
向量与之间夹角的余弦值为，
因为，所以．
故选：B
2．B
【分析】
设直线的方程为，求出直线与两坐标轴的交点坐标，由已知条件可得出关于的方程，判断出方程根的个数，即可得解.
【详解】
由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，直线交轴于点，交轴于点.
由题意可得，即.
①当时，可得，即，；
②当时，可得，即，.
综上所述，符合条件的直线有条.
故选：B.
【点睛】
本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.
3．B
【分析】
根据向量相等的条件否定①；根据相反向量的定义否定②；根据向量不能比较大小否定③；根据零向量的定义和规定否定④；根据向量的加法的几何意义结合向量的模的概念判定⑤正确.
【详解】
对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误；
对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误；
对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误；
对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，故④错误；
对于⑤，为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确．
综上，正确的命题只有⑤，
故选：.
4．D
【分析】
设所求直线方程为：，根据该直线与和的距离相等，建立方程求解可得选项.
【详解】
设所求直线l方程为：，
因为直线l与；距离相等，所以，解得，
所以所求直线方程为：，
故选：D.
5．D
【分析】
根据二面角与两个半平面法向量夹角的关系即可逐项判断.
【详解】
解：二面角的平面角为，
或，
对A，当时，，故A错误；
对B，当时，，故B错误；
对C，当时，，
当时，，故C错误；
对D，当时，，
当时，，故D正确.
故选：D.
6．A
【分析】
首先根据平面向量基本定理表示，，，然后三式相加得到答案.
【详解】
同理：，，
所以
,
所以与反向平行.
故选：A
【点睛】
本题主要考查向量共线定理和平面向量基本定理，重点考查向量的表示，属于基础题型.
7．C
【分析】
作出图形，求出当直线分别经过点、时，直线的斜率的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】
直线恒过点，
则直线的斜率为，直线的斜率为，
由图可知直线的斜率的取值范围是，
故选：C.
【点睛】
在求直线斜率时，要注意对直线的倾斜角是锐角、钝角或直角进行分类讨论，必要时可结合正切函数图象来理解.
8．B
【分析】
运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可得选项.
【详解】
因为，
所以，所以，所以
，
解得，所以，
故选：B.
9．ACD
【分析】
求得的坐标，根据向量共线、向量夹角、向量垂直、向量的模等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
由于，是两个相互垂直的单位向量，
故可设.
对于A选项，，则，A正确.
对于B选项，，B错误.
对于C选项，.当时，，C正确.
对于D选项，，D选项正确.
故选：ACD
10．BC
【分析】
利用空间向量的基本定理求解判断.
【详解】
因为点N为BC中点，
所以，
，
，
；
；
，
故选：BC
11．BCD
【分析】
要理解题目中有向距离的概念，点在直线上方时为正，下方时为负，绝对值代表点到直线的距离，根据各选项判断即可
【详解】
设,
,
选项A,
若,
则,
则点在直线的同一侧，且到直线距离相等，所以直线与直线平行,
所以正确;
选项B,
点在直线的两侧且到直线的距离相等,
直线不一定与垂直,
所以错误;
选项C,
若,
满足,
即,
则点都在直线上,
所以此时直线与直线重合,
所以错误;
选项D,
若,
即,
所以点分别位于直线的两侧或在直线上,
所以直线与直线相交或重合,
所以错误.
故选：BCD
12．AC
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD各选项的正误，利用锥体的体积公式可判断C选项的正误.
【详解】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系.
则、、、、、、、，设点，其中.
对于A选项，，，则，
所以，，A选项正确；
对于B选项，设平面的法向量为，，，
由，取，可得，则，
设平面的法向量为，，
由，取，则，所以，，
，所以，二面角的大小不是，B选项错误；
对于C选项，，平面，平面，平面，
到平面的距离等于点到平面的距离，
而点到平面的距离为，即三棱锥的高为，
因此，，C选项正确；
对于D选项，平面，则为平面的一个法向量，且，
又，，
所以，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】
方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
13．
【分析】
设平面的夹角为，利用空间向量夹角公式得：，由已知，知，建立关于的方程，解方程即可得到答案.
【详解】
设平面的夹角为，又面的法向量，面的法向量，
则利用空间向量夹角公式得：
由已知得，故
故，即，解得：
故答案为：
【点睛】
结论点睛：本题考查利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两直线所成的角为(),；
②直线与平面所成的角为(),；
③二面角的大小为(),
14．或
【分析】
易知直线与平行，且它们之间的距离为：，然后根据直线被直线与截得的线段长为，求得直线与与的夹角即可
【详解】
因为直线与平行，
则与之间的距离为：
设直线与与的夹角为，
因为直线被直线与截得的线段长为，
则，解得，
因为两直线的斜率为1，故倾斜角为，
所以直线的倾斜角的值为或
故答案为：或
【点睛】
本题主要考查两平行间的距离两直线的夹角，直线的倾斜角的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15．
【分析】
利用去掉反向的情形即得．
【详解】
由，，
所以，解得
若与反向，则
则，所以
所以与的夹角为钝角则且
综上的范围是．
故答案为：
【点睛】
思路点睛：本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，根据向量夹角求参数时，可由是两个非零向量，则夹角是锐角时，，夹角是钝角时，，反之要注意可能同向也可能反向．属于中档题.
16．
【分析】
设AB=a，根据条件求出·和||，||，由∠AD1B=求出a，进而求出·和||，||，最后求出结果.
【详解】
设AB=a，=+=++，
则·=·+·+·+·+·+·=0+1+0+0+0+1=2，
易得：||=，||=.
因为∠AD1B=，所以=，得a=(负值舍去)，
∵=+=+，∴=·+·++=1+0+0+0=1，又||=，||=，
∴cos<>===.
故答案为：.
17．（1）；（2）14.
【分析】
（1）先求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程；
（2）先求得点到直线的距离和，代入三角形面积公式求解.
【详解】
（1）直线的斜率为，
直线的方程为：，
即.
（2）点到直线的距离，
，
故的面积为.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量法计算出二面角的余弦值，进而求得正弦值.
（2）利用向量法计算出直线与所成角的余弦值.
【详解】
（1）以为原点，、、分别为轴、轴、轴的正向建立空间直角坐标系，则、，，，，
，，，
设为平面的一个法向量，
则有，∴，∴，
∵与平面垂直，
∴与所成的角为二面角的平面角或其补角.
∴，∴，
∴二面角的正弦值为.
（2）设直线与所成的角为，则，
∴直线与所成角余弦值为.
19．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）将点的坐标代入直线的方程可求得实数的值；
（2）联立两直线的方程，可求得两直线的交点坐标；
（3）记直线和直线的交点为，在直线上取点，在直线上取点，计算出，即可得解.
【详解】
（1）将点的坐标代入直线的方程可得，解得；
（2）由（1）可知，直线的方程为，
联立两直线方程，解得，
所以，直线和直线的交点坐标为；
（3）记直线和直线的交点为，
在直线上取点，在直线上取点，则，，
因为，
因此，直线和直线的夹角的余弦值为.
20．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）设交于，然后得出，进而得到∥，最后根据线面平行的判定定理得到答案；
（2）以为原点，OA，OB，OP分别为，，轴，建立空间直角坐标系，进而利用空间向量夹角公式求出二面角的余弦值.
【详解】
（1）设交于，连结，因为，分别是，的中点，则G为的重心，所以，易知O为AC的中点
，所以．又因为，所以，所以∥，又因为平面，平面，所以∥平面．
（2）如图，以为原点，OA，OB，OP分别为，，轴，建立空间直角坐标系．
设．在菱形中，因为，所以是等边三角形，故．
又因为，平面，所以．
所以，，，，
所以，，，
设平面（即平面）的一个法向量为，由，取，则.
设平面PAB（即平面FAB）的一个法向量为，由，
取a=1，则.
所以．
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
21．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）在几何体中证明线线垂直的问题，要考虑证明线面垂直，这里只要找到
平面
.（Ⅱ）建立平面直角坐标系，找到平面和平面的法向量，,易得，设平面的一个法向量为,则
，得到，又平面的一个法向量为，,解得
试题解析：解：(Ⅰ)如图,设为的中点,连结,
则,所以四边形为平行四边形,
故,又,
所以,故,
又因为平面,所以,
且,所以平面,故有
(Ⅱ)如图,以为原点,分别以射线为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.
则,
设,易得,
设平面的一个法向量为,则,
令得,即.
又平面的一个法向量为,
由题知,解得,
考点：空间立体几何.
22．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由平面平面，可得面，由线面垂直的性质可得；
（2）以为原点，所在直线分别为轴建立如图的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可
【详解】
（1）在图2中，平面平面，平面平面，
面且，
面.
又面，
所以得证.
（2）根据题意，以为原点，所在直线分别为轴建立如图的空间直角坐标系.
在图1中，，
.
设面的法向量，
，令，得，
设面的法向量，
，令，
得，
.
设面与面所成锐二面角为，
面与面所成锐二面角的余弦值为.
答案第1页，总2页
