安徽省滁州市定远民族高级中学校2022届高三上学期9月教学质量检测数学（理）试题（Word版含答案解析）

定远县民族中学2021-2022学年度上学期9月教学质量检测
理科数学
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知集合，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数，记，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
3．设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，．若在区间内关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．函数的部分图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知向量，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间（单位：天），增加总分数（单位：分）的函数模型：，为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且．现有某学生在高考前天的最后一次模考总分为分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（
）（）
A．分
B．分
C．分
D．分
7．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知复数在复平面内对应的点在直线上，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数，实数，满足，且的最小值为，由的图象向左平移个单位得到函数，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知是定义在上的奇函数，当时，，若存在实数，使在上的值域为，则的值为（
）
A．
B．
C．或
D．或
11．已知函数.若函数有四个零点，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
12．设函数和的定义域均为，对于下列四个命题：
①若对任意，都有，则存在且唯一；
②若为上单调函数，为周期函数，则在上既是单调函数又是周期函数；
③若对任意，都有，则当时，必有；
④若函数不存在反函数，则在上不是单调函数.
其中正确的命题为（　　）
A．①②
B．②④
C．①③④
D．③④
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知命题，，则为__________．
14．若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．
15．已知向量，.若向量，的夹角为，则实数_____.
16．已知，且，则__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）设集合．
（1）证明：若，则：
（2）已知集合，若的子集共有个，求的取值范围．
18．（12分）已知：函数在上单调递减，：关于的方程的两根都大于1.
（1）当时，是真命题，求的取值范围；
（2）若为真命题是为真命题的充分不必要条件，求的取值范围.
19．（12分）的内角的对边为，已知.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
20．（12分）已知函数．
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）若在定义域内有两个零点，求的取值范围．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，设向量.
（1）若|+|=||，求的值；
（2）设，且∥(+)，求的值.
22．（12分）设函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若方程有两个不相等的实数根、，求证：．
参考答案
1．A
解析：，，，故选A．
2．C
解析：函数，其定义域为，且，所以为偶函数，
当时，，即函数在上单调递增，
∵，，
∴，
即，则，选项C正确，选项ABD错误.故选：C.
3．A
解析：由可得，
所以，函数和函数在上的图象有个交点，
因为对任意的，都有，即，
所以，函数是周期为的周期函数，
因为是定义在上的偶函数，且当时，，则.
作出函数和函数在上的图象如下图所示：
要使得函数和函数在上的图象有个交点，
则，解得.
因此，实数的取值范围是.故选：A.
4．D
解析：因且，则，于是得函数定义域为，
又，即为奇函数﹐C不正确；
而，B不正确；
因时，，，则，A不正确，D符合.故选：D
5．D
解析：由，又，
∴，可得.故选：D
6．B
解析：由题意得：，；
，
该学生在高考中可能取得的总分约为分.故选：B.
7．B
解析：当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，，，为该函数图象上的两点，且，
当，或时，，故，
当时，函数在点，处的切线方程为：
；
当时，函数在点，处的切线方程为．
两直线重合的充要条件是①，②，
由①及得，由①②令，则，
且，记
导数为，且在恒成立，
则函数在为减函数，
，
∴实数的取值范围是．故选：B
8．C
解析：设，
因为复数在复平面内对应的点在直线上，
所以，
又，
所以，
解得或，
所以，故选：C
9．A
解析：由题得，函数的最大值是2，最小值是-2.
因为，所以，
因为的最小值为，所以函数的最小正周期为，
所以.所以，
由的图象向左平移个单位得到函数
，
所以
.故选：A
10．D
解析：因为为奇函数，所以，如图，
由区间概念可推知，得，
（1）当时，，从而，即，所以，由图得在上为减函数，所以，这两个关系等价于“，是方程的两个根，且”，
由方程，得，解得，，
所以，，即；
（2）当时，
，从而，即，所以，
由图得在上为减函数，所以，这两个关系等价于“，是方程的两个根，且”，
由方程，得，解得，，
解得，，即，故选：D.
11．B
解析：
函数，函数性质分段讨论如下：
当时，最小值为-1，
当时，令解得：
，
所以函数递减，函数递增,且
时，
综合以上分析，作出函数图象，如图.
由图可知，函数有两个零点，和（
），
再考察函数的零点，由（
）可知，或，即或根据题意，这两个方程共有四个根，结合函数图象，解得，.故选：B
12．D
解析：若或，都满足对任意，都有，故①错误；
不妨设函数的周期为，则，故在上不是单调函数，故②错误；
∵，∴，又∵，∴；故③正确；
∵若在上是单调函数，则函数存在反函数；
∴若函数不存在反函数，则在上不是单调函数，故④正确.
故选：D.
13．，
解析：根据题意，命题，是特称命题，
则，，
故答案为：，．
14．
解析：由得，
因为是不等式成立的充分不必要条件，
∴满足且等号不能同时取得，即，解得．故答案为：
15．
解析：由题意
两边平方化简得，解得故答案为：-1
16．-7
【解析】
（舍）．
17．（1）证明见解析；（2）．
解析：（1）设，，，
则
因为，，
所以，
所以
（2）因为的子集共有个元素，
所以恰有个元素．
因为，
所以这三个元素分别为，，，
又集合中比大的元素的最小值为，
所以的取值范围为．
18．（1）；（2）.
解析：（1）因为，所以，因为是真命题，
所以，解得.故的取值范围是.
（2）若是真命题，则，解得.关于的方程的两根分别为和.若是真命题，则，解得.因为为真命题是为真命题的充分不必要条件，所以.
19．（1）；（2）.
解析：（1）∵，∴
∵，∴
∴，∴，
∵，∴
（2），∴，
∵，
∴
∵为锐角三角形，∴，∴
∴，∴
∴，
∴
．
20．（1），；（2）.
解析：（1）当时，，，
∴在单调递减，在单调递增，
，，
∴，.
（2），则，
∴在单调递增，在单调递减，
，当时，，当时，，
作出函数和得图像，
∴由图象可得，.
21．（1）；（2）.
解析：（1），
，，
，解得：；
（2），
，，
，，
，化简为，
，，，
解得：
22．（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）证明见解析.
解析：（1）解：．
当时，，函数在上单调递增，
函数的单调增区间为；
当时，由，得；由，得．
所以函数的单调增区间为，单调减区间为
（2）证明：因为、是方程的两个不等实根，由（1）知．
不妨设，则，．
两式相减得，
即．
所以．
因为，
当时，，当时，，
故要证，只需证即可，即证明，
即证明，
即证明．设．
令，则．
因为，所以，所以在上是增函数．
所以，
所以成立．