南充市白塔中学高2022届高三(上)第一次月考
数学（理)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.
1已知集合，,若，则为（
）
A．
B．
C．
D．
2.复数的共轭复数为（
）
A．
B．
C．
D．
3．设等差数列的前项和为.若，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知是空间中两条不同的直线，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5函数的单调递增区间为（
)
A．
B．
C.
D．
6.某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧,每天一部,受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演,《茶馆》不能在周一和周三上演,《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是(
）
A．《雷雨》只能在周二上演
B．《茶馆》可能在周二或周四上演
C.
周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》
D．四部话剧都有可能在周二上演
7．在平面直角坐标系中,经过点且离心率为的双曲线的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
8.定义在R的偶函数满足，且当时，,函数，则在上的零点个数为（
）
A．11
B．10
C．
9
D．8
9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件可以是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知数列满足：当且时，有.则数列的前项的和为（
）
A．
B．
C．
D．
11.点在同一个球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积最大值为（
）
A．
B．
C.
D．2
12．椭圆（)的一个焦点为,若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C.
D．
二、填空题（每题5分，满分20分.）
13.设实数满足，则目标函数的最小值为
．
14．已知，，则
.
15．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为
.
16．已知函数，则不等式的解集为
.
三、解答题
（本大题共6小题，共70分。）
17.（12分）
在中，内角的对边分别为，若.
（1）求证:成等比数列；
（2）若，求的面积.
18．（12分）
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
19.（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．
(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小．(2)当AB=3，AD=2时，求二面角E-AG-C的大小．
20．（12分）已知椭圆：的左右焦点分别为，左顶点为，离心率为，上顶点，的面积为
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线：与椭圆相交于不同的两点，是线段的中点.若经过点的直线与直线垂直于点，求的取值范围.
21（12分）
设，.
(1)令，求的单调区间；
（2）若任意且，都有恒成立,求实数的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.（10分）选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数，）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.
（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；
(2)若曲线上的所有点均在直线的右下方，求实数的取值范围.
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的最小值为.若均为正实数，且，求的最小值.南充市白塔中学高2019级高三上第一次月考
数学答案（理科）
1-12
DCDCDC
BBDACD
13
2
14
15
16.
17.证明：∵
∴
由正弦正定可得：,
∴成等比数列.
（2）∵，，则
∴，
∴,
∴
18（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．
所以，随机变量的分布列为
0
1
2
3
随机变量的数学期望．
（Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且．由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（Ⅰ）知
．
19.（本小题满分12分）
【答案】(1)解：∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP 平面ABP，AB∩AP=A，
∴BE⊥平面ABP，
又BP 平面ABP，
∴BE⊥BP，
又∠EBC=120°，
因此∠CBP=30°．
(2)解：取的中点H，连接EH，GH，CH，
∵∠EBC=120°，
∴四边形BECH为菱形，
∴，
取AG中点M，连接EM，CM，EC，
则EM⊥AG，CM⊥AG，
∴∠EMC为所求二面角的平面角．
又AM=1，
∴．
在△BEC中，由于∠EBC=120°，
由余弦定理得：EC2=22+22-2×2×2×cos120°=12，
∴，因此△EMC为等边三角形，
故所求的角为60°．
解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），
故，，．
设为平面AEG的一个法向量，
由，得，取z1=2，得；
设为平面ACG的一个法向量，
由，可得，取z2=﹣2，得．
∴cos＜＞=．
∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．
20．（本小题满分12分）
【答案】（I）；（Ⅱ）
【解析】
考点：1、椭圆的标准方程及其性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、基本不等式.
21解
（1）的定义域为，∴
则,
令，则，
由得,,得，
则在上单调递增，在上单调递减,
即在上单调递增,在上单调递减，
∴,
∴的定义域为上单调递减。
（2）据题意，当时，恒成立,
∴当时，恒成立,
令，即
则在上是增函数，
∴在上恒成立，
∴（），
令（），
∴，
∴在上为减函数,
∴，
∴
22解：
（1）由
化成直角坐标方程为，
即直线的方程为，
依题意，设,
则点到直线的距离
∴当，时，
。
(2）∵曲线上的所有点均在直线的右下方,
∴对任意，有恒成立,
即（其中）恒成立,
∴，又,解得
故实数的取值范围为.
23【答案】（I）；（Ⅱ）
【解析】
考点：1、绝对值不等式解法；2、柯西不等式.
