沪教版（上海）高中数学高一下册 6.1 三角函数 复习课件(共48张PPT)

(共48张PPT)
第6章
三角函数
复习课件
知识网络
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1.任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的
，记作
，即
；
(2)x叫做α的
，记作
，即
；
(3)
叫做α的
，记作
，即
.
tan
α
正弦
sin
α
sin
α＝y
余弦
cos
α
cos
α＝x
正切
知识梳理
2.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠
kπ＋
，k∈Z}
值域
________
________
__
对称性
对称轴：x＝kπ＋
(k∈Z)；
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)
对称轴：x＝kπ(k∈Z)；
对称中心：
(k∈Z)
对称中心：
(k∈Z)，
无对称轴
奇偶性
_______
_______
_______
周期性
最小正周期：___
最小正周期：___
最小正周期：__
[－1，1]
[－1，1]
R
奇函数
偶函数
奇函数
2π
2π
π
单
调
性
在
(k∈Z)上是增加的；在
(k∈Z)上是减少的
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
上是增加的；在[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上是减少的
在开区间(kπ－
，kπ＋
)
(k∈Z)上是增加的
最值
在x＝
(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－
＋2kπ
(k∈Z)时，ymin＝－1
在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
无最值
3.反三角函数
反余弦、反正切函数同理，性质如下：
4.最简单的三角方程
例1　已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin
θ＝－
，则y＝
.
答案
解析
－8
类型一　三角函数的概念
所以θ为第四象限角，解得y＝－8.
反思与感悟
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值。
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0).则sinα＝
，cosα＝
.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便。
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论。
跟踪训练1　已知角α的终边上有一点P(24k，7k)，k≠0，求sin
α，cos
α，tan
α的值.
解答
解　当k>0时，令x＝24k，y＝7k，
当k<0时，令x＝24k，y＝7k，则有r＝－25k，
类型二　三角函数的图像与性质
解答
例2　将函数y＝f(x)的图像向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝
sin
x的图像。
(1)求f(x)的最小正周期和递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，求当x∈[0，1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值。
解　∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，
∴当x∈[0，1]时，y＝g(x)的最值即为x∈[3，4]时，y＝f(x)的最值。
解答
反思与感悟
研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决。
跟踪训练2　函数f(x)＝3sin
的部分图像如图所示：
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
解答
解答
类型三　三角函数的最值和值域
解答
命题角度1　可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k型
例3　求函数y＝－2sin(x＋
)＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值。
反思与感悟
利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响。
解答
∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.
求a，b的值。
命题角度2　可化为sin
x或cos
x的二次函数型
例4　已知|x|≤
，求函数f(x)＝cos2x＋sin
x的最小值。
解答
解　y＝f(x)＝cos2x＋sin
x＝－sin2x＋sin
x＋1.
反思与感悟
在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错。
解答
跟踪训练4　已知函数f(x)＝－sin2x－asin
x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a，b的值。
解　令t＝sin
x，则
综上所述，a＝2，b＝－2.
命题角度3　分式型函数利用有界性求值域
例5　求函数y＝
的值域。
解答
∵|cos
x|≤1，∴－3≤2cos
x－1≤1且2cos
x－1≠0，
反思与感悟
在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特征——有界性，利用三角函数的有界性可以求解三角函数的值域问题。
跟踪训练5　求函数y＝
的最大值和最小值。
解答
例6
求函数y=3x-2的反函数,并画出原函数和反函数的图像.
解
∵y=3x-2
∴函数y=3x-2(x∈R）
的反函数为
y=
∴x=
1
-2
-1
1
-1
-2
x
y
y=3x-2
x∈R
类型四　反三角函数与最简三角方程
解答
例7　
反思与感悟
由于三角函数的周期性，可以在一个给定的单点区间内研究其反函数——反三角函数。
解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用。
跟踪训练6
（3）已知
，求
解：
因此
解法二：设
因此
即点
在
图像上
即点
在
图像上
解得
解毕
类型五　数形结合思想在三角函数中的应用
解答
反思与感悟
数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图像时，常利用数形结合思想。
可作出示意图如图所示(一种情况)，
答案
解析
跟踪训练7　设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0).若f(x)在区间
上具有单调性，且
，则f(x)的最小正周期为
.
π
当堂训练
1.若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sin
α·cos
α＝
，则a的值为
答案
解析
√
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
答案
解析
√
＝－cos
α，
1
2
3
4
5
3.函数y＝|sin
x|＋sin|x|的值域为
A.[－2，2]
B.[－1，1]
C.[0，2]
D.[0，1]
答案
解析
∴0≤f(x)≤2.故选C.
√
答案
解析
1
2
3
4
5
4.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)
的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是
√
1
2
3
4
5
5.已知函数f(x)＝－sin2x＋sin
x＋a，若1≤f(x)≤
对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
解答
1
2
3
4
5
解　令t＝sin
x，则t∈[－1，1]，
当t＝－1时，f(t)min＝a－2，即f(x)min＝a－2.
故实数a的取值范围为[3，4].
1
2
3
4
5
三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图像，这样既有利于掌握函数的图像与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法。
规律与方法
谢
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