沪教版（上海）高中数学高一下册 5.1 任意角及其度量 教案1

任意角及其度量
【课时安排】
2课时
【第一课时】
【教学目标】
通过一条射线绕着它的端点旋转，了解角的形成过程，然后推广到任意角。理解角的概念，理解任意角中正角和负角的意义。理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，能够准确判断出角的终边在平面直角坐标系中的位置。
【教学重点】
理解任意角、象限角、终边相同的角等概念。
【教学难点】
判断出角的终边在平面直角坐标系中的位置。
【教学过程】
1．角的概念
角可以看作是平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。我们以前学过的角，其大小都在到之间，而在生活中还有其它的角。
我们定义，一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的，（如、）；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的，（如）；一条射线没有旋转时，形成的角叫做零角。
【问题】经过12分钟，时钟的分针转过的角是多少度？
【说明】确定一个角的大小不仅要看始边、终边的位置，更要看角形成的过程
2．象限角的概念
在平面直角坐标系中，把角的顶点置于坐标原点，角的始边与轴的正半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限。
当角的终边在坐标轴上时，认为这些角不属于任何象限。（称为轴线角）
【问题】
1．在到之间，各象限角分别是什么范围？
2．判断下列角属于第几象限？
解：这些角都属于第二象限，还可以发现这三个角的终边重合。
3．终边相同的角的概念
所有与角终边重合的角的集合：
【例1】判断下列角属于哪个象限
（1）
（2）
（3）
解：（1）第二象限
（2）第二象限
（3）第三象限
【例2】（1）写出与角终边相同的角的集合
（2）写出终边与轴正半轴重合的角的集合、终边与轴负半轴重合的角的集合
、
（3）写出终边与轴正半轴重合的角的集合、终边与轴负半轴重合的角的集合
、
（4）写出第一象限角的集合
变式：写出第二、三、四象限角的集合
；
【例3】
（1）与角终边重合的角中，最小的正角是_______，最大的负角是______；、
（2）与角终边重合的角中，绝对值最小的角是______________
思维拓展：
1．已知为第二象限角，则为第一、三象限象限角。
已知是第三象限的角，则为第二、四象限象限角。
2．（1）已知的终边关于轴对称，则的关系为
；
（2）已知的终边关于轴对称，则的关系为
；
（3）已知的终边关于原点对称，则的关系为
；
【第二课时】
【教学目标】
1．了解弧度的概念，掌握弧度与角度的换算；
2．建立起弧度度量角的感性认识。
【教学重点】
弧度制的理解与应用。
【教学难点】
弧度制的感性认识。
【教学过程】
这节课，我们研究如何度量角的大小。
1．角度制。
在平面几何中，我们把周角分成360等分，每一份叫做1度的角。这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
回忆角度制下，圆心角为的扇形的弧长公式、面积公式：，。
2．弧度制
由于的圆心角所对的弧长为，的圆心角所对的弧长为，由此得到，其中为定值，说明比值仅与角的大小有关。因此，我们可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧所对的圆心角的大小。
把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度，符号，读作：弧度。
一般地说，如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么比值就是角的弧度数的绝对值，即，的正负由它的终边的旋转方向决定；零角的弧度数为零。
3．弧度制与角度制的换算：
由上述定义，的角其弧度数为弧度，所以的角其弧度数为弧度。
即=弧度，两边同除得1弧度=，两边同乘得=弧度。
[说明]在进行角度制与弧度制互化时要抓住这个关键。
【例1】将换算成弧度、将2.3弧度换算成角度（保留两位小数）
解：弧度、
快速回答：
=________弧度
=________弧度
=________弧度
=________弧度
=________弧度
=________弧度
=________弧度
=________弧度
弧度=_____
弧度=___
=_______弧度
【例2】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，求证：
（1）
（2）
（3）
【例3】（1）在扇形中，已知半径求圆心角和扇形的面积
解：、
（2）已知弧度的圆心角所对的弧长为，求此圆心角所夹的扇形面积。
解：
【例4】（1）把所有与角终边重合的角的集合用弧度制表示
解：
（2）把每个象限角的范围用弧度制表示：
【例5】将下列各角写成
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
【例6】用弧度制表示下列各集合
（1）终边在轴上的角的集合
（2）终边在轴上的角的集合
（3）终边落在第一象限的角平分线上的角的集合
（4）终边落在第一、三象限的角平分线上的角的集合
【例7】判断下列各角分别属于哪个象限
（1）
（2）
（3）终边落在区间内
解：（1）不属于任何象限
（2）第二象限
（3）第二象限
y
x
ox
1
/
1