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3.2
函数的基本性质
【学习要求】
1）理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性.
2）会求函数的单调区间，判断单调性(重点)．
3）理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义，会借助单调性求最值).
【思维导图】
【知识梳理】
1．增函数和减函数
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)＜f(x2)
f(x1)＞f(x2)
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．区间D称为函数f(x)的单调递增区间
那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．区间D称为函数f(x)的单调递减区间
图象特征
函数f(x)在区间D上的图象是上升的
函数f(x)在区间D上的图象是下降的
图示
【注】(1)函数f(x)在区间D上是增函数，x1，x2∈D，则x1(2)函数f(x)在区间D上是减函数，x1，x2∈D，则x1f(x2)．
2．单调性
(1)定义：如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
(2)图象特征：函数y＝f(x)在区间D上具有单调性，则函数y＝f(x)在区间D上的图象是上升的或下降的．
3.
最大值和最小值
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足；对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
称M是函数y＝f(x)的最大值
称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标
【注】函数最大值和最小值定义中两个关键词：
①“存在”：M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，
如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
②“任意”：最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
4.
函数的奇偶性
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
对于f(x)定义域内的任意一个x
结论
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
图象特点
关于y轴对称
关于原点对称
【注】(1)奇、偶函数定义域的特点．
由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．
(2)奇、偶函数的对应关系的特点．
①奇函数有f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1(f(x)≠0)；
②偶函数有f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1(f(x)≠0)．
(3)函数奇偶性的三个关注点．
①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
(4)奇、偶函数图象对称性的应用．
①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
【高频考点】
高频考点1.
函数单调性的判断及单调区间的求解
【方法点拨】1.定义法：利用函数单调性的定义讨论函数的单调性或求单调区间.
2.图象法：根据函数解析式画出函数图象，通过函数图象研究单调性.
注：①复合函数单调性的判断方法：根据复合函数的单调性满足“同增异减”，可判断复合函数的单调性；
②抽象函数单调性的判断方法：一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.
【例1】（2021·江苏省高三月考）已知函数，则该函数的单调递增区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2021·山西朔州市·应县一中高一月考）函数在（
）
A．上是增函数
B．上是减函数
C．和上是增函数
D．和上是减函数
【变式1-2】（2021·巴楚县第一中学高二期中）函数的单调区间为（
）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．在单调递增，在单调递减
D．在单调递减，在单调递增
【变式1-3】（2022·全国高三专题练习）函数的严格增区间是_____________.
【变式1-4】（2021·浙江高三专题练习）函数的单调增区间为___________.
高频考点2
.
利用函数的单调性求参数的取值范围
【方法点拨】1.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.
2.借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解.
需注意，若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.
【例2】（2021·福建省南安市侨光中学高一月考）函数，对，且恒有，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2021·上海）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是_________.
【变式2-2】（2021·全国高一专题练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2021·陕西师大附中高二开学考试）已知函数在上为增函数，则的取值范围为（
）
A．且
B．
C．
D．
【变式2-4】（2021·全国高一单元测试）已知函数，是R上的增函数，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
高频考点3
.
利用函数的单调性比较大小、解不等式
【方法点拨】1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上.
2.解关于的不等式时，可利用函数的单调性脱去“f”，转化不等式，进行求解即可.
【例3】（2021·广东肇庆外语学校）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】（2021·江苏高一期中）已知是定义在上的单调递减函数，且
，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】（2021·浙江高一期末）已知函数，且，则下列不等式中成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（2021·天津南开中学高三）已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集是___________.
【变式3-4】（2021·北京东城·）若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
高频考点4.
求函数的最值
【方法点拨】1.配方法，主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；
2.换元法，用换元法时一定要注意新元的取值范围；
3.数形结合法，对于图象较容易画出的函数的最值问题，可借助图象直观求出；
4.利用函数的单调性，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值.
【例4】（2021·云南省云天化中学高一开学考试）函数的最大值为_______．
【变式4-1】（2021·山西太原市·太原五中高三月考）若函数，则在上的最大值与最小值之和为（
）
A．
B．
C．0
D．
【变式4-2】（2021·江西高安中学高一月考）函数在区间上的最小值是（
）
A．
B．
C．1
D．-1
【变式4-3】（2021·上海高一专题练习）已知函数，则f(x)的最大值为（
）．
A．
B．
C．1
D．2
【变式4-4】（2021·南京市第五高级中学高三月考）函数在区间上的最小值为__________．
高频考点5
.
利用函数的最值求参数
【方法点拨】在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解.
若对于区间D上的任意x，a>f(x)恒成立，则a>；若对于区间D上的任意x，a则a>；若在区间D上存在x使a>f(x)成立，则a>；若在区间D上存在x使a【例5】（2021·重庆市辅仁中学校高三月考）已知函数在区间上的最小值为-2，则的值为（
）
A．-2
B．-2或
C．-2或1
D．
【变式5-1】（2021·黑龙江双鸭山一中高二期末）已知函数有最小值，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2021·上海高一专题练习）函数的最大值为3，则的取值范围为________.
【变式5-3】（2020·江苏南通市·海安高级中学）设，函数在区间上的最小值为M，在区间上的最小值为m，若，则_________．
【变式5-4】（2021·湖州市第二中学高一月考）已知函数，若的最小值为，则实数的值可以是（
）
A．1
B．
C．2
D．4
高频考点6
.
函数奇偶性的判断
【方法点拨】定义法：先求函数的定义域，再进行函数奇偶性的判断.
图象法：根据解析式画出函数图象，根据函数的对称性进行函数奇偶性的判断.
性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性判断.
【例6】（2021·全国）判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【变式6-1】（2021·甘肃高三开学考试）已知函数，，则（
）
A．为奇函数，为偶函数
B．为奇函数，为偶函数
C．为奇函数，为偶函数
D．为奇函数，为偶函数
【变式6-2】（2021·全国高一课时练习）下列判断不正确的是（
）
A．函数f（x）=是奇函数
B．函数f（x）=是偶函数
C．函数f（x）=x+是非奇非偶函数
D．函数f（x）=1既是奇函数又是偶函数
【变式6-3】（2021·安徽）设函数，则下列函数中为奇函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式6-4】（2021·福建三明一中）下列函数是偶函数的是________（填序号）．
①；②；③；④，．
高频考点7
.
函数奇偶性的应用
【方法点拨】求函数值、函数解析式：利用函数的奇偶性，进行转化求解.
求参数值：①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.
②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.
【例7】（2021·太原市第五十六中学校高二月考）函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】（2021·贵州师大附中高一开学考试）已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则（
）
A．8
B．-8
C．16
D．-16
【变式7-2】（2021·山东高考真题）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（
）
A．
B．
C．1
D．3
【变式7-3】（2021·河南高三开学考试）已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式7-4】（2021·赣州市第十四中学高三月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
高频考点8.
函数图象的识别、判断
【方法点拨】①排除法：利用特殊点的值来排除；②利用函数的奇偶性、单调性来判断.
【例8】（2021·天津高三）函数的图象大致为（
）
A．B．C．D．
【变式8-1】（2021·贵州高三月考）函数f（x）=的大致图象不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】（2021·河北张家口·）函数的图象大致为（
）
A．
B．C．
D．
【变式8-3】（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）已知是上的偶函数，是上的奇函数，它们的部分图像如图，则的图像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式8-4】（2021·全国高一专题练习）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·海淀·北京市八一中学高三开学考试）下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·陕西高二期末）函数的单调递增区间是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·全国高三专题练习）如果奇函数在上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（
）
A．增函数且最小值为
B．减函数且最小值为
C．增函数且最大值为
D．减函数且最大值为
4．（2021·云南昆明市官渡区云子中学长丰学校高二开学考试）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2022·全国高三专题练习）函数的部分图象大致为（
）
A．B．C．D．
6．（2022·全国高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·江苏高一期中）如果函数在区间I上是减函数，而函数在区间I上是増函数，那么称函数是区间I上“缓减函数”，区间I叫“缓减区间”.可以证明函数的单调増区间为，；单调减区间为，.若函数是区间I上“缓减函数”，则下列区间中为函数的“缓减函数区间”的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·全国高一课时练习）下列说法正确的是（
）
A．若定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数；
B．若定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数；
C．若定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数；
D．若定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数.
10.（2021·全国高一专题练习）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（
）
A．是奇函数
B．是奇函数
C．是偶函数
D．是偶函数
11．（2021·全国高一专题练习）已知函数（），，（），则下列结论正确的是（
）
A．，恒成立，则实数的取值范围是
B．，恒成立，则实数的取值范围是
C．，，则实数的取值范围是
D．，，
12．（2021·南京市第十三中学高一期末）定义一种运算.设（为常数），且，则使函数最大值为4的值可以是（
）
A．-2
B．6
C．4
D．-4
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·全国）若f（x）为R上的奇函数，给出下列四个说法：
①f（x）+f（-x）=0；②f（x）-f（-x）=2f（x）；③f（x）·f（-x）<0；④=-1.
其中一定正确的为___________.（填序号）
14．（2021·鸡泽县第一中学高二月考）已知是奇函数，当时，，则时_______．
15．（2020·江苏省西亭高级中学）已知函数，且，那么的值为_________.
16．（2022·浙江高三专题练习）当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是
．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021·广西钦州·）已知函数，且．
（1）求的解析式；（2）写出的单调增区间和单调减区间．
18．（2021·江苏省平潮高级中学高一月考）已知函数.
（1）求的定义域 值域；（2）判断并证明函数在的单调性；
（3）若时函数的最大值与最小值的差为，求的值.
19．（2021·全国高一专题练习）设函数．
（1）当时，求函数的最小值的表达式；（2）求函数的最大值．
20．（2021·全国高一课时练习）已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在上的单调性.
21．（2021·江苏南京市第二十九中学）已知函数，．若对任意，存在，使，求实数的最大值．
已知偶函数在上是增函数，如果在上恒成立，求实数的取值范围．
22．（2021·上海普陀·曹杨二中）设函数（）.
（1）若在上最小值为，求的值；
（2）若对任意的负实数，存在，使得，求实数的最大值.
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精品试卷·第
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3.2
函数的基本性质
【学习要求】
1）理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性.
2）会求函数的单调区间，判断单调性(重点)．
3）理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义，会借助单调性求最值).
【思维导图】
【知识梳理】
1．增函数和减函数
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)＜f(x2)
f(x1)＞f(x2)
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．区间D称为函数f(x)的单调递增区间
那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．区间D称为函数f(x)的单调递减区间
图象特征
函数f(x)在区间D上的图象是上升的
函数f(x)在区间D上的图象是下降的
图示
【注】(1)函数f(x)在区间D上是增函数，x1，x2∈D，则x1(2)函数f(x)在区间D上是减函数，x1，x2∈D，则x1f(x2)．
2．单调性
(1)定义：如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
(2)图象特征：函数y＝f(x)在区间D上具有单调性，则函数y＝f(x)在区间D上的图象是上升的或下降的．
3.
最大值和最小值
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足；对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
称M是函数y＝f(x)的最大值
称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标
【注】函数最大值和最小值定义中两个关键词：
①“存在”：M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，
如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
②“任意”：最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
4.
函数的奇偶性
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
对于f(x)定义域内的任意一个x
结论
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
图象特点
关于y轴对称
关于原点对称
【注】(1)奇、偶函数定义域的特点．
由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．
(2)奇、偶函数的对应关系的特点．
①奇函数有f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1(f(x)≠0)；
②偶函数有f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1(f(x)≠0)．
(3)函数奇偶性的三个关注点．
①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
(4)奇、偶函数图象对称性的应用．
①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
【高频考点】
高频考点1.
函数单调性的判断及单调区间的求解
【方法点拨】1.定义法：利用函数单调性的定义讨论函数的单调性或求单调区间.
2.图象法：根据函数解析式画出函数图象，通过函数图象研究单调性.
注：①复合函数单调性的判断方法：根据复合函数的单调性满足“同增异减”，可判断复合函数的单调性；
②抽象函数单调性的判断方法：一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.
【例1】（2021·江苏省高三月考）已知函数，则该函数的单调递增区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由，解得或，所以函数的定义域为
可看作是由，复合而成的，
的单调递增区间为，在上单调递增，
由复合函数的单调性的判定知，
函数的单调递减区间为
故选：D
【变式1-1】（2021·山西朔州市·应县一中高一月考）函数在（
）
A．上是增函数
B．上是减函数
C．和上是增函数
D．和上是减函数
【答案】C
【详解】，
函数的定义域为，其图象如下：
由图象可得函数在和上是增函数.故选：C
【变式1-2】（2021·巴楚县第一中学高二期中）函数的单调区间为（
）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．在单调递增，在单调递减
D．在单调递减，在单调递增
【答案】D
【详解】的对称轴为，开口向上，
所以在在单调递减，在单调递增，故选：D
【变式1-3】（2022·全国高三专题练习）函数的严格增区间是_____________.
【答案】
【详解】因为，定义域为R，
所以，即在R上为奇函数，
根据奇函数的性质可得，在y轴两侧单调性相同，
当x=0时，，当时，，不妨令x>0，设，
根据对勾函数的性质可得，当上单调递减，证明如下：
在上任取，且，则=，
因为，所以，
所以，即，所以在上为减函数，
所以在上为增函数，当时，，，，
又，所以在为增函数
根据奇函数的性质，可得在也为增函数，所以在
上为严格增函数，
故答案为：
【变式1-4】（2021·浙江高三专题练习）函数的单调增区间为___________.
【答案】
【详解】由得，函数的定义域是
R，
设，则在上是减函数，在
上是增函数，
∵在定义域上减函数，∴函数的单调增区间是
故答案为：
高频考点2
.
利用函数的单调性求参数的取值范围
【方法点拨】1.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.
2.借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解.
需注意，若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.
【例2】（2021·福建省南安市侨光中学高一月考）函数，对，且恒有，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意，对，且恒有，则函数在单调递减，
1、当，符合题意；
2、当
，二次函数，其对称轴为x，
若在（﹣∞,4）上为减函数，必有，解可得：．综上故选：B．
【变式2-1】（2021·上海）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【详解】函数在是减函数，在是增函数，
若函数在区间是增函数，则.故答案为：
【变式2-2】（2021·全国高一专题练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】，依题意有，即，
所以实数的取值范围是．故选：B.
【变式2-3】（2021·陕西师大附中高二开学考试）已知函数在上为增函数，则的取值范围为（
）
A．且
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当时，，
如果去绝对值是，则是常函数，不是增函数，
因为函数在单调递增，所以去绝对值后，
即当时，，即.故选：C
【变式2-4】（2021·全国高一单元测试）已知函数，是R上的增函数，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：若是上的增函数，
则应满足，解得，即.故选：C
高频考点3
.
利用函数的单调性比较大小、解不等式
【方法点拨】1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上.
2.解关于的不等式时，可利用函数的单调性脱去“f”，转化不等式，进行求解即可.
【例3】（2021·广东肇庆外语学校）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】∵在上是增函数，且，所以.故选：D.
【变式3-1】（2021·江苏高一期中）已知是定义在上的单调递减函数，且
，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】∵是定义在上的单调递减函数，且，
则，解得故选：D..
【变式3-2】（2021·浙江高一期末）已知函数，且，则下列不等式中成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由得图象的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，故选：C.
【变式3-3】（2021·天津南开中学高三）已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集是___________.
【答案】
【详解】由题意得解得：，即或.故答案为：.
【变式3-4】（2021·北京东城·）若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数是上的减函数，，
A选项，，当时，，所以；当时，，所以，即B不一定成立；B选项，当时，，所以；当时，，所以，即B不一定成立；C选项，时，，则，所以C不成立；D选项，，则；所以，即D一定成立.故选：D.
高频考点4.
求函数的最值
【方法点拨】1.配方法，主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；
2.换元法，用换元法时一定要注意新元的取值范围；
3.数形结合法，对于图象较容易画出的函数的最值问题，可借助图象直观求出；
4.利用函数的单调性，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值.
【例4】（2021·云南省云天化中学高一开学考试）函数的最大值为_______．
【答案】2
【详解】设，则，所以原函数可化为：，
由二次函数性质，当时，函数取最大值2.故答案为：2.
【变式4-1】（2021·山西太原市·太原五中高三月考）若函数，则在上的最大值与最小值之和为（
）
A．
B．
C．0
D．
【答案】A
【详解】令，则，所以，
所以，开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，
，，
所以在上的最大值与最小值之和为，故选：A.
【变式4-2】（2021·江西高安中学高一月考）函数在区间上的最小值是（
）
A．
B．
C．1
D．-1
【答案】A
【详解】∵函数在上为减函数，∴.故选：A.
【变式4-3】（2021·上海高一专题练习）已知函数，则f(x)的最大值为（
）．
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【详解】因为在上单减，所以在上单减，
即在上单减，所以f(x)的最大值为.故选：D
【变式4-4】（2021·南京市第五高级中学高三月考）函数在区间上的最小值为__________．
【答案】
【详解】∵函数∴函数在区间上为单调增函数
∴当时，函数取得最小值，为.故答案为：.
高频考点5
.
利用函数的最值求参数
【方法点拨】在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解.
若对于区间D上的任意x，a>f(x)恒成立，则a>；若对于区间D上的任意x，a则a>；若在区间D上存在x使a>f(x)成立，则a>；若在区间D上存在x使a【例5】（2021·重庆市辅仁中学校高三月考）已知函数在区间上的最小值为-2，则的值为（
）
A．-2
B．-2或
C．-2或1
D．
【答案】D
【详解】函数，
当时，函数在区间上单调递增，函数的最小值，成立，
当时，函数在区间上的最小值，解得：（舍）或，所以，
当时，函数在区间上单调递减，函数的最小值，解得：，不成立，
综上可知：.故选：D
【变式5-1】（2021·黑龙江双鸭山一中高二期末）已知函数有最小值，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当时，
，此时，
而当时，①a=1时，为常函数，此时在R上满足函数有最小值为-1，
②a≠1时，函数f（x）此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值，
只需
解得，综上，满足题意的实数a的取值范围为：
，故选：A．
【变式5-2】（2021·上海高一专题练习）函数的最大值为3，则的取值范围为________.
【答案】
【详解】当时，；当时，；
当时，；所以函数式可化为
函数图象如图所示：
因为
时最大值为3，又当时，，当时，；由图知，
故答案为：
【变式5-3】（2020·江苏南通市·海安高级中学）设，函数在区间上的最小值为M，在区间上的最小值为m，若，则_________．
【答案】1或4
【详解】解：函数在区间上单调减，在上单调增．
函数在区间，上的最小值为，在区间，上的最小值为，
若，不合题意；
若，则，；若，则，．
最小值一个是，一个是，
可得，解得或4．故答案为：1或4．
【变式5-4】（2021·湖州市第二中学高一月考）已知函数，若的最小值为，则实数的值可以是（
）
A．1
B．
C．2
D．4
【答案】BCD
【详解】由题意可得二次函数的对称轴，且在上恒成立，所以在上恒成立，
因为，当且仅当时，等号成立，即在上的最小值为，
所以，解得.故选：BCD
高频考点6
.
函数奇偶性的判断
【方法点拨】定义法：先求函数的定义域，再进行函数奇偶性的判断.
图象法：根据解析式画出函数图象，根据函数的对称性进行函数奇偶性的判断.
性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性判断.
【例6】（2021·全国）判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数.
【详解】解：（1）函数的定义域为，
，所以函数为偶函数；
（2）函数的定义域为，
，则且，所以函数为非奇非偶函数；
（3）定义域为R，，为偶函数；
（4）定义域为R，，为奇函数.
【变式6-1】（2021·甘肃高三开学考试）已知函数，，则（
）
A．为奇函数，为偶函数
B．为奇函数，为偶函数
C．为奇函数，为偶函数
D．为奇函数，为偶函数
【答案】D
【详解】，，定义域为，定义域不关于原点对称，故既不是奇函数又不是偶函数；
，定义域为，定义域关于原点对称，令，且，所以为奇函数；，既不是奇函数又不是偶函数；为偶函数.故选：D.
【变式6-2】（2021·全国高一课时练习）下列判断不正确的是（
）
A．函数f（x）=是奇函数
B．函数f（x）=是偶函数
C．函数f（x）=x+是非奇非偶函数
D．函数f（x）=1既是奇函数又是偶函数
【答案】ABD
【详解】A中函数的定义域为{x|x≠2}，不关于原点对称，故f（x）不是奇函数，故A错误；
B中函数的定义域为{x|x≠-1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数，故B错误；
C中函数的定义域为{x|x≤-1，或x≥1}，f（-x）=-x+≠f（x），f（-x）=-x+≠-f（x），
故f（x）是非奇非偶函数，故C正确；
D中函数是偶函数，但不是奇函数，故D错误.故选：ABD.
【变式6-3】（2021·安徽）设函数，则下列函数中为奇函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对A，不是奇函数；
对B，（）为奇函数；
对C，不是奇函数，对D，不是奇函数，故选：B．
【变式6-4】（2021·福建三明一中）下列函数是偶函数的是________（填序号）．
①；②；③；④，．
【答案】②
【详解】对于①，令，其定义域为，而有，①不是偶函数；
对于②，令，其定义域为，而有，②是偶函数；
对于③，函数的定义域为，当时，，③不是偶函数；
对于④，，，显然，④不是偶函数.故答案为：②
高频考点7
.
函数奇偶性的应用
【方法点拨】求函数值、函数解析式：利用函数的奇偶性，进行转化求解.
求参数值：①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.
②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.
【例7】（2021·太原市第五十六中学校高二月考）函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设，则，，所以．故选：B．
【变式7-1】（2021·贵州师大附中高一开学考试）已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则（
）
A．8
B．-8
C．16
D．-16
【答案】C
【详解】由题意，，
∴，即，
∴.故选：C
【变式7-2】（2021·山东高考真题）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（
）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】A
【详解】函数是奇函数，当时，，.故选：A.
【变式7-3】（2021·河南高三开学考试）已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为是定义在上的偶函数，则有，则，
同时，即，则有，必有.
所以，其定义域为，则的最大值为，故选：D
【变式7-4】（2021·赣州市第十四中学高三月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：函数是定义在上的奇函数，，当时，，
当，即时，.故选：D.
高频考点8.
函数图象的识别、判断
【方法点拨】①排除法：利用特殊点的值来排除；②利用函数的奇偶性、单调性来判断.
【例8】（2021·天津高三）函数的图象大致为（
）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为偶函数，其图象关于坐标轴对称，选项AB错误；当时，，选项C错误.故选：D.
【变式8-1】（2021·贵州高三月考）函数f（x）=的大致图象不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当时，是偶函数，且函数的最大值为1，当时，为减函数，此时对应图可能是D，
当时，为非奇非偶函数，，由，得，且时，，此时对应图像可能是A，
当时，为非奇非偶函数，，由，得，且时，，此时对应图像可能是B，故选：C
【变式8-2】（2021·河北张家口·）函数的图象大致为（
）
A．
B．C．
D．
【答案】D
【详解】函数的定义域为且，关于原点对称，
因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项A，B，
当时，，由在上单调递增，在上单调递减，
可得在上单调递增，排除选项C，故选：D.
【变式8-3】（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）已知是上的偶函数，是上的奇函数，它们的部分图像如图，则的图像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】又是上的偶函数，是上的奇函数，
∴
，，∴
∴
函数为奇函数，其图象关于原点对称，A,B错，
由图可得当时，，，∴
，D错，故选：C.
【变式8-4】（2021·全国高一专题练习）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A选项，，，解得，该函数的定义域为，
，该函数为奇函数，当时，，与图象不符；
对于B选项，函数的定义域为，与图象不符；
对于C选项，，，解得，该函数的定义域为，
，该函数为奇函数，当时，，与图象相符；
对于D选项，，，解得，该函数的定义域为，
，该函数为偶函数，与图象不符.故选：C.
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·海淀·北京市八一中学高三开学考试）下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对于A，定义域为，因为，所以函数是奇函数，任取，且，则，因为，且，所以，即，所以在上为增函数，所以A正确，
对于B，因为定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以B错误，
对于C，因为定义域为，因为，所以为偶函数，所以C错误，
对于D，因为定义域为，因为，所以函数为非奇非偶函数，所以D错误，故选：A
2．（2021·陕西高二期末）函数的单调递增区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：设，则，由，解得，
由于在，递增，在，递减，
又在定义域上递增，可得的单调递增区间为，．故选：D．
3．（2021·全国高三专题练习）如果奇函数在上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（
）
A．增函数且最小值为
B．减函数且最小值为
C．增函数且最大值为
D．减函数且最大值为
【答案】C
【详解】因为奇函数在上是增函数且最小值为5，而奇函数的图像关于原点对称，
所以在区间上增函数且最大值为，故选：C.
4．（2021·云南昆明市官渡区云子中学长丰学校高二开学考试）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为是偶函数，所以，所以等价于，
因为在区间上单调递增，所以，即，解得：，
所以原不等式的解集为，故选：A.
5．（2022·全国高三专题练习）函数的部分图象大致为（
）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意，，其定义域为，
由，即函数为奇函数，排除D，
由，排除A，当时，，排除C，故选：B.
6．（2022·全国高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可知，在上为减函数，则，
函数在上为减函数，且有，
所以，，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.
7．（2020·江苏高一期中）如果函数在区间I上是减函数，而函数在区间I上是増函数，那么称函数是区间I上“缓减函数”，区间I叫“缓减区间”.可以证明函数的单调増区间为，；单调减区间为，.若函数是区间I上“缓减函数”，则下列区间中为函数的“缓减函数区间”的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于，减区间是；
对于，增区间是和为增函数，
的“缓减函数区间”或，
只有中的，其它都不包含在上述区间中的任一个之内，故选：C.
8．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对任意，恒成立，即恒成立，即知．
设，，则，．
∵，∴，∴，
∴，故的取值范围是．故选：A.
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·全国高一课时练习）下列说法正确的是（
）
A．若定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数；
B．若定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数；
C．若定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数；
D．若定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数.
【答案】BC
【详解】A：若函数在R上为增函数,则对于任意的且,则定成立,若成立,不具有一般性，比如不一定成立,所以函数在R上不一定是增函数,A错误；B：函数在R上为减函数,则对于任意的且,则定成立,所以,
一定成立,所以,若,函数是R上不是减函数,故B正确;
C：若定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则满足对于任意的且,则定成立,所以,
则函数在R上是增函数；符合增函数的定义.故C正确；D：设函数是定义在R上的函数,且在区间上是增函数，在区间上也是增函数，而-1<1但,不符合增函数的定义,所以,函数f(x)在R上是不是增函数.故D错误.故选：BC
10.（2021·全国高一专题练习）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（
）
A．是奇函数
B．是奇函数
C．是偶函数
D．是偶函数
【答案】BD
【详解】对于A：令，则，
所以A中的函数是偶函数，所以A错误；
对于B：令，则，所以B中的函数为奇函数，故B正确；
对于C：令
，则，故C错误；
对于D：令，则，故D正确．故选：BD
11．（2021·全国高一专题练习）已知函数（），，（），则下列结论正确的是（
）
A．，恒成立，则实数的取值范围是
B．，恒成立，则实数的取值范围是
C．，，则实数的取值范围是
D．，，
【答案】AC
【详解】在A中，因为是减函数，所以当时，函数取得最小值，最小值为，因此，A正确；
在B中，因为减函数，所以当时，函数取得最大值，最大值为，因此，B错误；
在C中，，所以当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最大值为，故函数的值域为，由有解，知，C正确；
在D中，等价于的值域是的值域的子集，而的值域是，的值域，D错误.故选：AC
12．（2021·南京市第十三中学高一期末）定义一种运算.设（为常数），且，则使函数最大值为4的值可以是（
）
A．-2
B．6
C．4
D．-4
【答案】AC
【详解】在，上的最大值为5，所以由，解得或，
所以时，，所以要使函数最大值为4，则根据定义可知，
当时，即时，，此时解得，符合题意；
当时，即时，，此时解得，符合题意；故或4，故选：AC
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·全国）若f（x）为R上的奇函数，给出下列四个说法：
①f（x）+f（-x）=0；②f（x）-f（-x）=2f（x）；③f（x）·f（-x）<0；④=-1.
其中一定正确的为___________.（填序号）
【答案】①②
【详解】∵f（x）在R上为奇函数，∴f（-x）=-f（x）.
∴f（x）+f（-x）=f（x）-f（x）=0，故①正确.
f（x）-f（-x）=f（x）+f（x）=2f（x），故②正确.
当时，f（x）·f（-x）=0，故③不正确.
当时，分母为0，无意义，故④不正确.故答案为：①②
14．（2021·鸡泽县第一中学高二月考）已知是奇函数，当时，，则时_______．
【答案】
【详解】当时，，又因为当
x＞0
时，，所以，
因为为奇函数，所以，所以当时，，故答案为：.
15．（2020·江苏省西亭高级中学）已知函数，且，那么的值为_________.
【答案】-8
【详解】由，构造函数.
因为，
所以，即为奇函数.
所以，所以.
因为，所以.故答案为：-8.
16．（2022·浙江高三专题练习）当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是
．
【答案】
【详解】不等式有解即不等式有解，
令，当时，，
因为当时不等式有解，所以，实数的取值范围是.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021·广西钦州·）已知函数，且．
（1）求的解析式；
（2）写出的单调增区间和单调减区间．
【答案】（1）；（2）函数的减区间是，，增区间是.
【详解】（1）因为，且，
所以解得，所以；
（2）画出函数的图象，如图所示：
函数的减区间是，，增区间是
18．（2021·江苏省平潮高级中学高一月考）已知函数.
（1）求的定义域 值域；
（2）判断并证明函数在的单调性；
（3）若时函数的最大值与最小值的差为，求的值.
【答案】（1）定义域：，值域：；（2）在上是单调增函数，证明见解析；（3）.
【详解】（1）定义域：
∴值域：；
（2）函数在上是单调增函数.
证明如下：任取，且，
则
因为，且，所以，即.
所以在上是单调增函数.
（3）由（2）知在递增，所以，所以.
19．（2021·全国高一专题练习）设函数．
（1）当时，求函数的最小值的表达式；（2）求函数的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：，对称轴：；
①当时，在上单调递增，；
②当时，在上单调递减，；
③当时，在上单调递减，在上单调递增；
综上：
①当时，，此时，；
②当时，
，此时，；
③当时，，此时，；综上：.
20．（2021·全国高一课时练习）已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在上的单调性.
【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）在上单调递增，证明见解析.
【详解】解：（1）依题意，.
∴∴，
又因为的定义域为，所以函数为偶函数.
（2）由④知，
，
∵，，，∴，
∴即在上单调递增.
21．（2021·江苏南京市第二十九中学）已知函数，．若对任意，存在，使，求实数的最大值．
已知偶函数在上是增函数，如果在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】;
【详解】解：根据题意，可将问题转化为.
，
当，即时，函数在上单调递减，；
当，即时，.
而在上单调递增，故.
所以或，解得，所以实数的最大值为.
由偶函数在上是增函数，可知在上是减函数，
所以由在上恒成立，可知在上恒成立，即
所以在上恒成立，由，.
则实数的取值范围是.
22．（2021·上海普陀·曹杨二中）设函数（）.
（1）若在上最小值为，求的值；
（2）若对任意的负实数，存在，使得，求实数的最大值.
【答案】（1）或；（2）.
【详解】（1）若，在上严格单调递增，
所以在上无最小值；
若，在上单调递增，所以在上无最小值；
若，，所以，
即，解得：或综上所述：或
（2）当，在上单调递增，
所以，.
由题意可得：，令，
所以
令，由，解得，
当时，；，可得，
当时，，，可得
所以当时，最小为即
所以，所以实数的最大值为.
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精品试卷·第
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