安徽省合肥市瑶海区第三十八中分校2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷（Word版 含解析）

合肥市瑶海区第三十八中分校2021-2022学年九年级上学期第一次月考
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列关于x的函数一定为二次函数的是（　　）
A．y＝2x+1
B．y＝﹣5x2﹣3
C．y＝ax2+bx+c
D．y＝x3+x+1
2．如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（　　）
A．a＜0
B．点A的坐标为（﹣4，0）
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴为直线x＝﹣2
3．平移抛物线y＝（x+3）（x﹣1）后得到抛物线y＝（x+1）（x﹣3），则（　　）
A．向左平移2个单位
B．向右平移2个单位
C．向左平移4个单位
D．向右平移4个单位
4．已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＝y2＜y3
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y2＝y3
D．y3＜y1＝y2
5．下表列出了函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（　　）
x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
1
2
1
﹣2
﹣7
A．1与2之间
B．﹣2与﹣1之间
C．﹣1与0之间
D．0与1之间
6．抛物线y＝（x+1）2﹣4（﹣2≤x≤2）如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是（　　）
A．﹣3和5
B．﹣4和5
C．﹣4和﹣3
D．﹣1和5
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（　　）
A．a＜0
B．b＜0
C．c＜0
D．a＜b
8．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第8秒
B．第10秒
C．第12秒
D．第15秒
9．已知一次函数y＝x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：
①abc＜0；②b＞2a；③a+b+c＝0；④8a+c＞0；⑤ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1．
其中正确的命题有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．关于x的函数y＝（m﹣2）x|m|﹣4是二次函数，则m＝　
　．
12．当x＜1时，函数y＝（x﹣m）2﹣2的函数值y随着x的增大而减小，m的取值范围是　
　．
13．当x＝0时，函数y＝2x2+bx+c有最小值1，则b﹣c＝　
　．
14．抛物线y＝ax2﹣4x+5的对称轴为直线x＝2．
（1）a＝　
　；
（2）若抛物线y＝ax2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是
　
　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知点A（a，7）在抛物线y＝x +4x+10上．
（1）求点A的坐标；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．
16．已知二次函数y＝x2﹣4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C．求：
（1）A、B、C三点的坐标；
（2）△ABC的面积．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．设二次函数y＝ax2+bx﹣b﹣a（a，b是常数，a≠0）．
（1）判断该二次函数的图象与x轴的交点的个数，并说明理由；
（2）若该二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，求这个函数图象与x轴交点的坐标．
18．已知y＝y1+y2，其中y1与x﹣3成正比例，y2与x2+1成正比例，且当x＝0时，y＝﹣4，当x＝﹣1时，y＝﹣6．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）判断点A（1，﹣4）是否在此函数图象上，并说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y＝mx+n的图象经过A，C两点．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范围．
20．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点M是第四象限内抛物线上的一点，当△BCM的面积最大时，求点M的坐标．
六、（本题满分12分）
21．如图，二次函数G1：y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，0）和（0，3），对称轴为直线x＝1．
（1）求二次函数G1的解析式；
（2）当﹣1＜x＜2时，求函数G1中y的取值范围；
（3）当直线y＝n与G1、G2：y＝﹣（x﹣4）2+2的图象共有4个公共点时，直接写出n的取值范围．
七、（本题满分12分）
22．如图所示，为了改造小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙的最大可使用长度12m）的空地上建造一个矩形绿化带．除靠墙一边（AD）外，用长为32m的栅栏围成矩形ABCD．设绿化带宽AB为xm，面积为Sm2
（1）求S与x的函数关系式，并直接写求出x的取值范围；
（2）绿化带的面积能达到128m2吗？若能，请求出AB的长度；若不能，请说明理由；
（3）当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大．
八、（本题满分14分）
23．亳州市某超市经销某种特色水果的成本为每千克20元，在一段时间内，销售单价P（元/千克）与时间t（天）的函数图象如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：y＝﹣2t+120（其中天数t为整数）．
（1）当0≤t≤40天，求销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式；
（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）在前20天中，超市决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．而且每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．【解答】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、是二次函数，故此选项符合题意；
C、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；
D、x的最高次数是3，故不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：B．
2．【解答】解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上，
∴a＞0，
故A错误，
∵图象对称轴为直线x＝﹣2，且过B（﹣1，0），
∴B点的坐标为（﹣3，0），
故B错误，D正确，
由图象知，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，
故C错误，
故选：D．
3．【解答】解：y＝（x+3）（x﹣1）＝（x+1）2﹣4，顶点坐标是（﹣1，﹣4）．
y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2﹣4，顶点坐标是（1，﹣4）．
所以将抛物线y＝（x+3）（x﹣1）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+1）（x﹣3），
故选：B．
4．【解答】解：当x＝0时，y1＝1+h，
当x＝2时，y2＝1+h，
当x＝3时，y3＝4+h，
∵1+h＝1+h＜4+h，
∴y1＝y2＜y3，
故选：A．
5．【解答】解：∵当x＝0时，y＝1，x＝1时，y＝﹣2，
∴函数在0～1之间由正到负，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在0与1之间，
故选：D．
6．【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线对称轴是：直线x＝﹣1，
∵a＝1＞0，
∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5；x＝﹣1时，y有最小值，是﹣4，
故选：B．
7．【解答】解：∵开口向下，且对称轴位于y轴左侧、抛物线与y轴的交点位于y轴的负半轴，
∴a＜0、b＜0，c＜0，
故此选项A、B、C正确；
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴a﹣b+c＞c，
∴a﹣b＞0，即a＞b，故选项D错误；
故选：D．
8．【解答】解：∵此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴直线是：x＝＝10.5，
∵10.5﹣8＝2.5，10.5﹣10＝0.5，12﹣10.5＝1.5，15﹣10.5＝4.5，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大，
∴x＝10时，函数值最大，
即第10秒炮弹所在高度最高，
故选：B．
9．【解答】解：观察函数图象可知：＞0、c＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴正正半轴．
故选：C．
10．【解答】解：①∵开口向上，∴a＞0，对称轴在y轴的左侧，b＞0，抛物线与y轴交于负半轴，c＜0，∴abc＜0∴①正确；
②﹣＝﹣1，b＝2a，②错误；
③当x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，③正确；
④当x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，∴8a+c＞0，④正确；
⑤∵对称轴为x＝﹣1，抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣3，0），（1，0），∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，⑤正确
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．【解答】解：由题意得：|m|＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．【解答】解：∵函数y＝（x﹣m）2﹣2的二次项系数为1＞0，
∴该二次函数的开口方向向上，
又∵函数的顶点坐标为（m，﹣2），
∴该二次函数图象x＜m时，函数值y随着x的增大而减小，
∵当x＜1时，函数值y随着x的增大而减小，
∴m≥1，
故答案为：m≥1．
13．【解答】解：当x＝﹣时，x＝0，即b＝0，
把x＝0代入y＝2x2+bx+c可得y＝c＝1，
∴c＝1，
∴y＝2x2+1，
当x＝﹣1时y＝2﹣b+c＝3，
∴b﹣c＝2﹣3＝﹣1．
故答案为﹣1．
14．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4x+5的对称轴为直线x＝2．
∴﹣＝2，
∴a＝1；
故答案为：a＝1；
（2）由（1）知：a＝1，
∴抛物线y＝ax2﹣4x+5+m为y＝x2﹣4x+5+m，
∴由Δ≥0得m≤﹣1，
∵对称轴为直线x＝2，
∴抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6内与x轴只有一个交点，分两种情况：
①抛物线y＝x2﹣4x+5+m的顶点是（2，0），
∴0＝4﹣4×2+5+m，解得m＝﹣1，
②当x＝﹣1和x＝6时，对应的函数值异号，
而当x＝﹣1时，y＝10+m，
x＝6时，y＝17+m，
∴或，
解得﹣17＜m＜﹣10，
当m＝﹣17时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6没有交点，
当m＝﹣10时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6有一个交点（5，0），符合题意，
综上所述，m取值范围是m＝﹣1或﹣17＜m≤﹣10，
故答案为：m＝﹣1或﹣17＜m≤﹣10．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．【解答】解：（1）∵点A（a，7）在抛物线y＝x +4x+10上，
∴a2+4a+10＝7，
解得，a＝﹣1或﹣3，
∴点A的坐标为（﹣1，7）或（﹣3，7）；
（2）y＝x +4x+10＝（x+2）2+6，
抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，6）．
16．【解答】【答案】
【解析】（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3），∴二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交点分别是A（1，0），B（3，0）；
令x＝0，则y＝3，即点C的坐标是（0，3）；
（2）由（1）知，A（1，0），B（3，0），C（0，3），则S△ABC＝×2×3＝3，即△ABC的面积是3．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．【解答】解：（1）令y＝0，则0＝ax2+bx﹣b﹣a，
∵△＝b2﹣4 a[﹣（a+b）]＝b2+4ab+4a2＝（2a+b）2≥0，
∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个；
（2）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴二次函数为y＝ax2+2ax﹣3a，
令y＝0，则ax2+2ax﹣3a＝0（a≠0），
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴这个函数图象与x轴交点的坐标为（﹣3，0），（1，0）．
18．【解答】解：（1）设y1＝k1（x﹣3），y2＝k（x2+1），
则y＝y1+y2＝k1（x﹣3）+k（x2+1），
把x＝0，y＝﹣4；x＝﹣1，y＝﹣6代入得：，
解得：k1＝1，k＝﹣1，
则y＝x﹣3﹣（x2+1）＝﹣x2+x﹣4；
（2）点A（1，﹣4）在此函数图象上，理由为：
把x＝1代入得：y＝﹣x2+x﹣4＝﹣1+1﹣4＝﹣4，
则A（1，﹣4）在此函数图象上．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），
∴，得，
∴y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴二次函数的对称轴为直线x＝2，
∵B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，
∴点C（4，3），
设∵一次函数y＝mx+n的图象经过A，C两点，
∴，得，
∴一次函数y＝x﹣1，
即二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3，一次函数的解析式为y＝x﹣1；
（2）由图象可知，
不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范围：x＜1或x＞4．
20．【解答】解：（1）由已知可求B（3，0），将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，作MD⊥x轴交直线BC于点D，
∴BC的解析式为y＝x﹣3，设点M（m，m2﹣2m﹣3），则点D（m，m﹣3），
∴MD＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴S△BCM＝MD （xB﹣xM）+MD （xM﹣xC）
＝MD （xB﹣xC）
＝（﹣m2+3m） 3
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，△BCM的面积最大，此时M（，﹣）．
六、（本题满分12分）
21．【解答】解：（1）根据题意得，解得，
所以二次函数G1的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）因为y＝﹣（x﹣1）2+4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，4）；
当x＝﹣1时，y＝0；x＝2时，y＝3；
而抛物线的顶点坐标为（1，4），且开口向下，
所以当﹣1＜x＜2时，0＜y≤4；
（3）解﹣（x﹣4）2+2═﹣（x﹣1）2+4得x＝，
代入y＝﹣（x﹣1）2+4求得y＝，
由图象可知当直线y＝n与G1、G2的图象共有4个公共点时，n的取值范围为＜n＜2或n＜．
七、（本题满分12分）
22．【解答】解：（1）S＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x，（10≤x＜16）；
（2）根据题意得，﹣2x2+32x＝128，
解得：x＝8，
当AB＝CD＝8时，BC＝16＞12，
故绿化带的面积不能达到128m2；
（3）∵S＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，
∴当x＝10时，绿化带面积最大，S最大＝120m2．
八、（本题满分14分）
23．【解答】解：（1）当0≤t≤40天，设销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p＝kt+30，
∴40＝40t+30，
解得t＝，
∴当0≤t≤40天，销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p＝t+30；
（2）设日销售利润为w元，
当0≤t≤40天时，
w＝（p﹣20）y
＝（t+30）（﹣2t+120）
＝﹣（t﹣10）2+1250，
∴当t＝10时，w有最大值为1250；
当t＞40时，
w＝（p﹣20）y
＝20（﹣2t+120）
＝﹣40t+2400＜800，
∴第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元；
（3）∵w＝（p﹣20﹣n）（﹣2t+120）
＝﹣t2+（2n+10）t+1200﹣120n，
∴a＝﹣，对称轴为直线x＝2n+10，
∵每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，
∴，
∴4.75＜n＜9．
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