新教材专题1：变化率与导数（解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台
变化率与导数
1．变化率
函数的平均变化率为，它是用来刻画函数值在区间[x0，x1]上变化快慢的量．式中Δx，Δy的值可正、可负，当函数f(x)为常数函数时，Δy的值为0，但Δx不能为0.当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点处的瞬时变化率．
例1　甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人在时间段[0，t0]内的平均速度的大小？
【解析】比较在相同的时间段[0，t0]内，两人速度的平均变化率的大小便知结果．
在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，
所以
<.
所以在时间段[0，t0]内，乙的平均速度比甲的大．
【点评】比较两人的平均速度的大小，其实就是比较两人走过的路程相对于时间的变化率的大小．
2．导数的概念及其几何意义
函数y＝f(x)在x0点的导数即为函数y＝f(x)在x0点处的瞬时变化率，即当Δx趋于0时，函数值y关于x的平均变化率
的极限值；Δx趋于0，是指函数自变量之间的间隔能有多小就有多小，但始终不能为零．
函数y＝f(x)在x0点处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即f′(x0)＝k＝tan
α，因此在切线的斜率、切点的横坐标两个量中，只要已知其中一个量，就可以求出另一个量．
例2　在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是__________．
【答案】
【解析】y′＝＝
＝＝
(2x＋Δx)＝2x.
令2x＝tan＝1，∴x＝，y＝.
故所求的点是.
例3　函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE
"F:\\苏德亭\\2018\\同步\\数学
人教A版2-2（最新）\\A版（最新）\\D-4.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"E:\\苏德亭\\2018\\同步\\数学
人A
2-2\\WORD\\D-4.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"\\\\0吕芳\\e\\吕芳\\看幻灯片\\2018\\同步\\数学
人教A版
选修2-2\\全书完整的Word版文档\\D-4.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\吕芳\\看幻灯片\\2018\\同步\\数学
人教A版
选修2-2\\全书完整的Word版文档\\D-4.TIF"
\
MERGEFORMATINET
A．0B．0C．0D．0【答案】C
【解析】根据导数的几何意义，考查函数在点B(2，f(2))及A(3，f(3))处的切线的斜率．
INCLUDEPICTURE
"F:\\苏德亭\\2018\\同步\\数学
人教A版2-2（最新）\\A版（最新）\\D-3.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"E:\\苏德亭\\2018\\同步\\数学
人A
2-2\\WORD\\D-3.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"\\\\0吕芳\\e\\吕芳\\看幻灯片\\2018\\同步\\数学
人教A版
选修2-2\\全书完整的Word版文档\\D-3.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\吕芳\\看幻灯片\\2018\\同步\\数学
人教A版
选修2-2\\全书完整的Word版文档\\D-3.TIF"
\
MERGEFORMATINET
由图可见，过点B的切线的斜率大于过点A的切线的斜率，则有0另一方面，这两点的平均变化率为＝f(3)－f(2)，其几何意义为割线AB的斜率．
由图，可知0【点评】本题通过导数的定义反过来对变化率进行了考查．
通过上述三例可以看出，变化率是一个十分重要的概念，它是连接初等数学与导数的一个桥梁，学好变化率为以后更好地学习导数知识作了铺垫．
函数单调性的多方妙用
山东
王应祥
1．根据函数的单调性求解参数问题
例1　已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，且
，求a，b，c的值．
【解析】f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由于f(x)在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，所以f′(0)＝f′(1)＝0.
又，所以解得
【点评】由于此题给出了函数定义域范围内的所有单调区间，在这种条件下一般都可以分析出函数的极值点，通常情况下单调区间的端点就是极值点，再根据已知函数极值求解参数问题的方法进行解答．
例2　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．
【解析】f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，且在[2，＋∞)上任何子区间上不恒为零，
即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．
∵x2>0，∴2x3－a≥0，
∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a≤(2x3)min.
∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a≤16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是(－∞，16]．
【点评】已知函数的单调性求参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题．一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(递减)等价于不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，且在I的任何子区间上不恒为零，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围，并验证f′(x)＝0是否有有限个解．
2．利用函数的单调性证明不等式
欲证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)≥g(x))成立，可以构造函数φ(x)＝f(x)－g(x)，利用导数进行证明．
例3　已知x>0，求证：ex>1＋x.
【证明】设函数f(x)＝ex－(1＋x)，则f′(x)＝ex－1.
当x>0时，ex>e0＝1，所以f′(x)＝ex－1>0.
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
所以当x>0时，f(x)>f(0)．
又f(0)＝e0－(1＋0)＝0，所以f(x)>0，
即ex－(1＋x)>0.
故ex>1＋x.
【点评】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，则往往需要构造函数，借助函数的单调性来证明．
3．利用函数的单调性判断方程根的个数
若f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]上有唯一实数根；若f(a)f(b)与零的大小无法确定，则f(x)＝0在[a，b]上至多有一个实数根．
例4　试判断函数f(x)＝x－ln
x(x>0)在区间和区间(1，e)内有无零点．
【解析】因为f′(x)＝－.
所以当x∈(3，＋∞)时，y＝f(x)是增函数；
当x∈(0,3)时，y＝f(x)是减函数．
而0<<10，f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，所以函数f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．
【点评】可通过导数确定函数极值点与极值的正负，再结合确定零点的方法确定零点的个数.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)