2021-2022学年苏科版数学八年级上册第3章 勾股定理 单元测试卷（word版含答案）

初二数学《勾股定理》单元测试卷
一．选择题
1．下列各组数中，是勾股数的为（　　）
A．1，1，2
B．1.5，2，2.5
C．7，24，25
D．6，12，13
2．满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（　　）
A．BC＝4，AC＝5，AB＝6
B．BC＝，AC＝，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5
D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（　　）
A．60
B．30
C．20
D．32
4．三角形的三边长分别为6，8，10，它的最长边上的高为（　　）
A．6
B．2.4
C．8
D．4.8
5．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断（如图），树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（　　）
A．8
m
B．10
m
C．16
m
D．18
m
6．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，则BC的长为（　　）
A．25
B．7
C．25或7
D．不能确定
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是中线，则CD的长为（　　）
A．2.5
B．3
C．4
D．5
8．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（　　）
A．（a+b）2＝c2
B．（a﹣b）2＝c2
C．a2﹣b2＝c2
D．a2+b2＝c2
9．如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S1的值为（　　）
A．7
B．8
C．9
D．10
10．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）
A．9
B．6
C．4
D．3
二、填空题
11．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5，AB＝13，则BC＝　
　．
12．若直角三角形的三边分别为x，8，10，则x2＝　
　．
13．△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10m，则△ABC周长为　
　cm．
14．△ABC各内角A、B、C所对边的长分别为13、12、5，那么角A的度数是　
　．
15．等腰三角形的腰长为10cm，底边上的高为8cm，则该三角形的面积是　
　cm2．
16．如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝　
　，∠ABC＝　
　°．
三、解答题
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
18．如图，△ABC中，D是BC上的一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，过点C作CE⊥BD交BD于点E，且CE＝AB．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若AB＝AD，求∠ADC的度数．
20．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
21．如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？
参考答案与试题解析
1．下列各组数中，是勾股数的为（　　）
A．1，1，2
B．1.5，2，2.5
C．7，24，25
D．6，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．
【解答】解：A、∵12+12≠22，∴不是勾股数，此选项错误；
B、1.5和2.5不是整数，此选项错误；
C、∵72+242＝252，∴是勾股数，此选项正确；
D、∵62+122≠132，∴不是勾股数，此选项错误．
故选：C．
2．满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（　　）
A．BC＝4，AC＝5，AB＝6
B．BC＝，AC＝，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5
D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】要判断一个角是不是直角，先要知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【解答】解：A．若BC＝4，AC＝5，AB＝6，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形；
B．若BC＝，AC＝，AB＝，则AC2+AB2≠CB2，故△ABC不是直角三角形；
C．若BC：AC：AB＝3：4：5，则BC2+AC2＝AB2，故△ABC是直角三角形；
D．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C＜90°，故△ABC不是直角三角形；
故选：C．
3．若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（　　）
A．60
B．30
C．20
D．32
【分析】设另一直角边为x，根据勾股定理求出x的值，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设另一直角边为x，
∵斜边的长为13，一条直角边长为5，
∴x＝＝12，
∴S＝×5×12＝30．
故选：B．
4．三角形的三边长分别为6，8，10，它的最长边上的高为（　　）
A．6
B．2.4
C．8
D．4.8
【分析】根据已知先判定其形状，再根据三角形的面积公式求得其高．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为6，8，10，符合勾股定理的逆定理62+82＝102，
∴此三角形为直角三角形，则10为直角三角形的斜边，
设三角形最长边上的高是h，
根据三角形的面积公式得：×6×8＝×10h，
解得h＝4.8．
故选：D．
5．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断（如图），树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（　　）
A．8
m
B．10
m
C．16
m
D．18
m
【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【解答】解：由题意得BC＝8m，AB＝6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC＝＝10（米）．
所以大树的高度是10+6＝16（米）．
故选：C．
6．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，则BC的长为（　　）
A．25
B．7
C．25或7
D．不能确定
【分析】已知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角还是锐角三角形，所以需分情况讨论，即∠BAC是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解．
【解答】解：如图1，锐角△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD＝＝＝9，
在Rt△ADC中AC＝20，AD＝12，由勾股定理得
DC＝＝＝16，
BC的长为BD+DC＝9+16＝25．
如图2，钝角△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD＝＝＝9，
在Rt△ACD中AC＝20，AD＝12，由勾股定理得
DC＝＝＝16，
BC＝CD﹣BD＝7．
故选：C．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是中线，则CD的长为（　　）
A．2.5
B．3
C．4
D．5
【分析】由勾股定理可求得斜边的长，从而不难求得斜边上的中线的长．
【解答】解：如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得AB＝＝＝5，
∵CD是斜边的中线，
∴CD＝AB＝×5＝2.5，
故选：A．
8．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（　　）
A．（a+b）2＝c2
B．（a﹣b）2＝c2
C．a2﹣b2＝c2
D．a2+b2＝c2
【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．
【解答】解：根据题意得：S＝（a+b）（a+b），S＝ab+ab+c2，
（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故选：D．
9．如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S1的值为（　　）
A．7
B．8
C．9
D．10
【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．
【解答】解：∵由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴S3+S2＝S1，
∵S1+S2+S3＝16，
∴2S1＝16，
∴S1＝8，
故选：B．
10．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）
A．9
B．6
C．4
D．3
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
故选：D．
11．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5，AB＝13，则BC＝　12　．
【分析】根据勾股定理即可求出答案．
【解答】解：由勾股定理可知：AB2＝AC2+BC2，
∴BC＝12，
故答案为：12
12．若直角三角形的三边分别为x，8，10，则x2＝　36或164　．
【分析】根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答．
【解答】解：分两种情况：
①两直角边分别为8，10，由勾股定理得x2＝82+102＝164，
②一直角边为8，斜边为10，由勾股定理得x2＝102﹣82＝36；
故答案为：36或164．
13．△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10m，则△ABC周长为　2400　cm．
【分析】首先根据三边之比设出未知数，然后可确定各边长，再计算出周长即可．
【解答】解：设△ABC三边分别是3xm、4xm、5xm，
∵最长边为10m，
∴5x＝10，
解得：x＝2，
∴3x＝6，4x＝8，
∴6+8+10＝24（m）＝2400cm，
故答案为：2400．
14．△ABC各内角A、B、C所对边的长分别为13、12、5，那么角A的度数是　90°　．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：∵△ABC各内角A、B、C所对边的长分别为13、12、5，
∴52+122＝132，
∴∠A＝90°，
故答案为：90°
15．等腰三角形的腰长为10cm，底边上的高为8cm，则该三角形的面积是　48　cm2．
【分析】已知等腰三角形的腰长和底边上的高，根据勾股定理，可以求出等腰三角形的底边长，进而可以求出等腰三角形的面积．
【解答】解：如图，根据题意知，
AB＝10，AD⊥BC且AD＝8，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，
BD＝，
∴BC＝2BD＝12，
∴三角形的面积为：×BC×AD＝×12×8＝48．
故应填48．
16．如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝　10　，∠ABC＝　45　°．
【分析】连接AC，根据勾股定理得到AB2，BC2，AC2的长度，证明△ABC是等腰直角三角形，继而可得出∠ABC的度数．
【解答】解：连接AC．
根据勾股定理可以得到：AB2＝12+32＝10，
AC2＝BC2＝12+22＝5，
∵5+5＝10，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
故答案为：10，45．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，
∴BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2,
∴∠CDB＝90°,
∴CD⊥AB；
(2)解：∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+9,
∵∠ADC＝90°,
∴AC2＝AD2+CD2,
∴(AD+9)2＝AD2+122,
∴AD＝,
∴AC＝+9＝．
18．如图，△ABC中，D是BC上的一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积．
【分析】根据AB＝10，BD＝6，AD＝8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．
【解答】解：∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝15，
∴S△ABC＝BC AD＝（BD+CD） AD＝×21×8＝84，
因此△ABC的面积为84．
答：△ABC的面积是84．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，过点C作CE⊥BD交BD于点E，且CE＝AB．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若AB＝AD，求∠ADC的度数．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABD≌△ECB；
（2）由全等三角形的性质可得∠DBC＝∠ADB＝45°，BC＝BD，由等腰三角形的性质可得∠BDC＝67.5°，即可求∠ADC的度数．
【解答】解：（1）∵AD∥BC
∴∠ADB＝∠DBC，且∠A＝∠BEC＝90°，AB＝CE
∴△ABD≌△ECB（AAS）
（2）∵AB＝AD，∠BAD＝90°
∴∠ADB＝∠ABD＝45°
∵△ABD≌△ECB
∴∠DBC＝∠ADB＝45°，BC＝BD
∴∠BDC＝67.5°
∴∠ADC＝112.5°
20．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【分析】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；
（2）利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：AC＝25米，BC＝7米，
AB＝＝24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得：BA′＝20米，
BC′＝＝15（米），
则：CC′＝15﹣7＝8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
21．如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？
【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．
【解答】解：展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，
由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，
答：最短路程是150cm．
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